MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmlmod 21459
Description: The β„€-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over β„€. Also see zlmassa 21843. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w π‘Š = (β„€Modβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
zlmlmod (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5 π‘Š = (β„€Modβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2zlmbas 21451 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)
43a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š))
5 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
61, 5zlmplusg 21453 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘Š))
81zlmsca 21457 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘Š))
9 eqid 2728 . . . . 5 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
101, 9zlmvsca 21458 . . . 4 (.gβ€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1110a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (.gβ€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
12 zringbas 21386 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
1312a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ = (Baseβ€˜β„€ring))
14 zringplusg 21387 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
1514a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ + = (+gβ€˜β„€ring))
16 zringmulr 21390 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
1716a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ Β· = (.rβ€˜β„€ring))
18 zring1 21392 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„€ring)
1918a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ 1 = (1rβ€˜β„€ring))
20 zringring 21382 . . . 4 β„€ring ∈ Ring
2120a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ring ∈ Ring)
223, 6ablprop 19755 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ Abel)
23 ablgrp 19747 . . . 4 (π‘Š ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ Grp)
2422, 23sylbi 216 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ Grp)
25 ablgrp 19747 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
262, 9mulgcl 19053 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2725, 26syl3an1 1160 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
282, 9, 5mulgdi 19788 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)(π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
292, 9, 5mulgdir 19068 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)(+gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
3025, 29sylan 578 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)(+gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
312, 9mulgass 19073 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
3225, 31sylan 578 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
332, 9mulg1 19043 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (1(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
3433adantl 480 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (1(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
354, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34islmodd 20756 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ LMod)
36 lmodabl 20799 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3736, 22sylibr 233 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3835, 37impbii 208 1 (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151  β„€cz 12596  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241   ·𝑠 cvsca 17244  Grpcgrp 18897  .gcmg 19030  Abelcabl 19743  1rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  β„€ringczring 21379  β„€Modczlm 21433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zlm 21437
This theorem is referenced by:  zlmassa  21843  zlmclm  25059  nmmulg  33602  cnzh  33604  rezh  33605
  Copyright terms: Public domain W3C validator