Theorem zlmlmod 21459

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ℤ. Also see zlmassa 21843. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmlmod	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21451	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	zlmplusg 21453	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
8	1	zlmsca 21457	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
9		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
10	1, 9	zlmvsca 21458	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
12		zringbas 21386	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ = (Base‘ℤring))
14		zringplusg 21387	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → + = (+g‘ℤring))
16		zringmulr 21390	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → · = (.r‘ℤring))
18		zring1 21392	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 1 = (1r‘ℤring))
20		zringring 21382	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring ∈ Ring)
22	3, 6	ablprop 19755	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ Abel)
23		ablgrp 19747	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
24	22, 23	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
25		ablgrp 19747	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
26	2, 9	mulgcl 19053	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
28	2, 9, 5	mulgdi 19788	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)))
29	2, 9, 5	mulgdir 19068	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
30	25, 29	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
31	2, 9	mulgass 19073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
32	25, 31	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
33	2, 9	mulg1 19043	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
34	33	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
35	4, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34	islmodd 20756	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
36		lmodabl 20799	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
37	36, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
38	35, 37	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  ℤcz 12596  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241   ·_𝑠 cvsca 17244  Grpcgrp 18897  ._gcmg 19030  Abelcabl 19743  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  ℤ_ringczring 21379  ℤModczlm 21433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zlm 21437

This theorem is referenced by:  zlmassa  21843  zlmclm  25059  nmmulg  33602  cnzh  33604  rezh  33605