Theorem zlmlmod 21483

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ℤ. Also see zlmassa 21863. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmlmod	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21478	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	zlmplusg 21479	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
8	1	zlmsca 21481	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
9		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
10	1, 9	zlmvsca 21482	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
12		zringbas 21414	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ = (Base‘ℤring))
14		zringplusg 21415	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → + = (+g‘ℤring))
16		zringmulr 21418	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → · = (.r‘ℤring))
18		zring1 21420	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 1 = (1r‘ℤring))
20		zringring 21410	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring ∈ Ring)
22	3, 6	ablprop 19774	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ Abel)
23		ablgrp 19766	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
24	22, 23	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
25		ablgrp 19766	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
26	2, 9	mulgcl 19074	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
28	2, 9, 5	mulgdi 19807	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)))
29	2, 9, 5	mulgdir 19089	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
30	25, 29	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
31	2, 9	mulgass 19094	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
32	25, 31	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
33	2, 9	mulg1 19064	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
35	4, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34	islmodd 20823	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
36		lmodabl 20866	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
37	36, 22	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
38	35, 37	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  ℤcz 12588  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272   ·_𝑠 cvsca 17275  Grpcgrp 18916  ._gcmg 19050  Abelcabl 19762  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  LModclmod 20817  ℤ_ringczring 21407  ℤModczlm 21461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zlm 21465

This theorem is referenced by:  zlmassa  21863  zlmclm  25063  nmmulg  33997  cnzh  33999  rezh  34000