Theorem zlmlmod 21076

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ℤ. Also see zlmassa 21456. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmlmod	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21068	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	zlmplusg 21070	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
8	1	zlmsca 21074	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
10	1, 9	zlmvsca 21075	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
12		zringbas 21023	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ = (Base‘ℤring))
14		zringplusg 21024	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → + = (+g‘ℤring))
16		zringmulr 21027	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → · = (.r‘ℤring))
18		zring1 21029	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 1 = (1r‘ℤring))
20		zringring 21020	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring ∈ Ring)
22	3, 6	ablprop 19661	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ Abel)
23		ablgrp 19653	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
24	22, 23	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
25		ablgrp 19653	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
26	2, 9	mulgcl 18971	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
28	2, 9, 5	mulgdi 19694	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)))
29	2, 9, 5	mulgdir 18986	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
30	25, 29	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
31	2, 9	mulgass 18991	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
32	25, 31	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
33	2, 9	mulg1 18961	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
34	33	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
35	4, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34	islmodd 20477	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
36		lmodabl 20519	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
37	36, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
38	35, 37	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  ℤcz 12558  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198   ·_𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  ._gcmg 18950  Abelcabl 19649  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  ℤ_ringczring 21017  ℤModczlm 21050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zlm 21054

This theorem is referenced by:  zlmassa  21456  zlmclm  24628  nmmulg  32948  cnzh  32950  rezh  32951