Theorem zlmlmod 21432

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ℤ. Also see zlmassa 21812. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmlmod	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21427	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	zlmplusg 21428	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
8	1	zlmsca 21430	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
10	1, 9	zlmvsca 21431	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
12		zringbas 21363	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ = (Base‘ℤring))
14		zringplusg 21364	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → + = (+g‘ℤring))
16		zringmulr 21367	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → · = (.r‘ℤring))
18		zring1 21369	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 1 = (1r‘ℤring))
20		zringring 21359	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring ∈ Ring)
22	3, 6	ablprop 19723	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ Abel)
23		ablgrp 19715	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
24	22, 23	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
25		ablgrp 19715	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
26	2, 9	mulgcl 19023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
28	2, 9, 5	mulgdi 19756	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)))
29	2, 9, 5	mulgdir 19038	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
30	25, 29	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
31	2, 9	mulgass 19043	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
32	25, 31	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
33	2, 9	mulg1 19013	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
35	4, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34	islmodd 20772	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
36		lmodabl 20815	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
37	36, 22	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
38	35, 37	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  ℤcz 12529  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18865  ._gcmg 18999  Abelcabl 19711  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  ℤ_ringczring 21356  ℤModczlm 21410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zlm 21414

This theorem is referenced by:  zlmassa  21812  zlmclm  25012  nmmulg  33956  cnzh  33958  rezh  33959