Theorem zlmlmod 21489

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ℤ. Also see zlmassa 21871. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmlmod	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	zlmbas 21484	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	zlmplusg 21485	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
8	1	zlmsca 21487	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
10	1, 9	zlmvsca 21488	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
12		zringbas 21420	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ = (Base‘ℤring))
14		zringplusg 21421	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → + = (+g‘ℤring))
16		zringmulr 21424	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → · = (.r‘ℤring))
18		zring1 21426	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 1 = (1r‘ℤring))
20		zringring 21416	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring ∈ Ring)
22	3, 6	ablprop 19734	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ Abel)
23		ablgrp 19726	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
24	22, 23	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
25		ablgrp 19726	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
26	2, 9	mulgcl 19033	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
28	2, 9, 5	mulgdi 19767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(.g‘𝐺)𝑧)))
29	2, 9, 5	mulgdir 19048	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
30	25, 29	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g‘𝐺)𝑧)(+g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
31	2, 9	mulgass 19053	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
32	25, 31	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(.g‘𝐺)(𝑦(.g‘𝐺)𝑧)))
33	2, 9	mulg1 19023	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
35	4, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34	islmodd 20829	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
36		lmodabl 20872	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
37	36, 22	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
38	35, 37	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℤcz 12500  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190   ·_𝑠 cvsca 17193  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  Abelcabl 19722  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  ℤ_ringczring 21413  ℤModczlm 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zlm 21471

This theorem is referenced by:  zlmassa  21871  zlmclm  25080  nmmulg  34143  cnzh  34145  rezh  34146