MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmlmod 21408
Description: The β„€-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over β„€. Also see zlmassa 21792. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w π‘Š = (β„€Modβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
zlmlmod (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5 π‘Š = (β„€Modβ€˜πΊ)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2zlmbas 21400 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)
43a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š))
5 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
61, 5zlmplusg 21402 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘Š))
81zlmsca 21406 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘Š))
9 eqid 2726 . . . . 5 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
101, 9zlmvsca 21407 . . . 4 (.gβ€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1110a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (.gβ€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
12 zringbas 21335 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
1312a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ = (Baseβ€˜β„€ring))
14 zringplusg 21336 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
1514a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ + = (+gβ€˜β„€ring))
16 zringmulr 21339 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
1716a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ Β· = (.rβ€˜β„€ring))
18 zring1 21341 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„€ring)
1918a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ 1 = (1rβ€˜β„€ring))
20 zringring 21331 . . . 4 β„€ring ∈ Ring
2120a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ring ∈ Ring)
223, 6ablprop 19710 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ Abel)
23 ablgrp 19702 . . . 4 (π‘Š ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ Grp)
2422, 23sylbi 216 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ Grp)
25 ablgrp 19702 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
262, 9mulgcl 19015 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2725, 26syl3an1 1160 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
282, 9, 5mulgdi 19743 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)(π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
292, 9, 5mulgdir 19030 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)(+gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
3025, 29sylan 579 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)(+gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
312, 9mulgass 19035 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
3225, 31sylan 579 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
332, 9mulg1 19005 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (1(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
3433adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (1(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
354, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34islmodd 20709 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ LMod)
36 lmodabl 20752 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3736, 22sylibr 233 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3835, 37impbii 208 1 (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„€cz 12559  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204   ·𝑠 cvsca 17207  Grpcgrp 18860  .gcmg 18992  Abelcabl 19698  1rcur 20083  Ringcrg 20135  LModclmod 20703  β„€ringczring 21328  β„€Modczlm 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zlm 21386
This theorem is referenced by:  zlmassa  21792  zlmclm  24989  nmmulg  33477  cnzh  33479  rezh  33480
  Copyright terms: Public domain W3C validator