MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmlmod 20943
Description: The β„€-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over β„€. Also see zlmassa 21321. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w π‘Š = (β„€Modβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
zlmlmod (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5 π‘Š = (β„€Modβ€˜πΊ)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2zlmbas 20935 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š)
43a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘Š))
5 eqid 2737 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
61, 5zlmplusg 20937 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘Š))
81zlmsca 20941 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘Š))
9 eqid 2737 . . . . 5 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
101, 9zlmvsca 20942 . . . 4 (.gβ€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1110a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (.gβ€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
12 zringbas 20891 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
1312a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ = (Baseβ€˜β„€ring))
14 zringplusg 20892 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
1514a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ + = (+gβ€˜β„€ring))
16 zringmulr 20894 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
1716a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ Β· = (.rβ€˜β„€ring))
18 zring1 20896 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„€ring)
1918a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ 1 = (1rβ€˜β„€ring))
20 zringring 20888 . . . 4 β„€ring ∈ Ring
2120a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ β„€ring ∈ Ring)
223, 6ablprop 19582 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ Abel)
23 ablgrp 19574 . . . 4 (π‘Š ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ Grp)
2422, 23sylbi 216 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ Grp)
25 ablgrp 19574 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
262, 9mulgcl 18900 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2725, 26syl3an1 1164 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
282, 9, 5mulgdi 19612 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)(π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
292, 9, 5mulgdir 18915 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)(+gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
3025, 29sylan 581 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝑧)(+gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
312, 9mulgass 18920 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
3225, 31sylan 581 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(.gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(.gβ€˜πΊ)(𝑦(.gβ€˜πΊ)𝑧)))
332, 9mulg1 18890 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (1(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
3433adantl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (1(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
354, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34islmodd 20344 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ LMod)
36 lmodabl 20385 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3736, 22sylibr 233 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3835, 37impbii 208 1 (𝐺 ∈ Abel ↔ π‘Š ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„€cz 12506  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141   ·𝑠 cvsca 17144  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  Abelcabl 19570  1rcur 19920  Ringcrg 19971  LModclmod 20338  β„€ringczring 20885  β„€Modczlm 20917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zlm 20921
This theorem is referenced by:  zlmassa  21321  zlmclm  24491  nmmulg  32589  cnzh  32591  rezh  32592
  Copyright terms: Public domain W3C validator