Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmlmod 20646
 Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmlmod (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem zlmlmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2zlmbas 20641 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
5 eqid 2821 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
61, 5zlmplusg 20642 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝑊)
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → (+g𝐺) = (+g𝑊))
81zlmsca 20644 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
9 eqid 2821 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
101, 9zlmvsca 20645 . . . 4 (.g𝐺) = ( ·𝑠𝑊)
1110a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → (.g𝐺) = ( ·𝑠𝑊))
12 zringbas 20599 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
1312a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → ℤ = (Base‘ℤring))
14 zringplusg 20600 . . . 4 + = (+g‘ℤring)
1514a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → + = (+g‘ℤring))
16 zringmulr 20602 . . . 4 · = (.r‘ℤring)
1716a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → · = (.r‘ℤring))
18 zring1 20604 . . . 4 1 = (1r‘ℤring)
1918a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 1 = (1r‘ℤring))
20 zringring 20596 . . . 4 ring ∈ Ring
2120a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → ℤring ∈ Ring)
223, 6ablprop 18897 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ Abel)
23 ablgrp 18890 . . . 4 (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
2422, 23sylbi 220 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ Grp)
25 ablgrp 18890 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
262, 9mulgcl 18224 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
2725, 26syl3an1 1160 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(.g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
282, 9, 5mulgdi 18926 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑥(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(.g𝐺)𝑧)))
292, 9, 5mulgdir 18238 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g𝐺)𝑧)(+g𝐺)(𝑦(.g𝐺)𝑧)))
3025, 29sylan 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 + 𝑦)(.g𝐺)𝑧) = ((𝑥(.g𝐺)𝑧)(+g𝐺)(𝑦(.g𝐺)𝑧)))
312, 9mulgass 18243 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g𝐺)𝑧) = (𝑥(.g𝐺)(𝑦(.g𝐺)𝑧)))
3225, 31sylan 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 · 𝑦)(.g𝐺)𝑧) = (𝑥(.g𝐺)(𝑦(.g𝐺)𝑧)))
332, 9mulg1 18214 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
3433adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
354, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34islmodd 19616 . 2 (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
36 lmodabl 19657 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3736, 22sylibr 237 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
3835, 37impbii 212 1 (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  ℤcz 11959  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  .rcmulr 16545   ·𝑠 cvsca 16548  Grpcgrp 18082  .gcmg 18203  Abelcabl 18886  1rcur 19230  Ringcrg 19276  LModclmod 19610  ℤringzring 20593  ℤModczlm 20624 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-cnfld 20522  df-zring 20594  df-zlm 20628 This theorem is referenced by:  zlmassa  20647  zlmclm  23696  nmmulg  31217  cnzh  31219  rezh  31220
 Copyright terms: Public domain W3C validator