Theorem isfin1-4 10392

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin1-3 10391	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	compssiso 10379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4		isofr 7346	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
6	1, 5	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5190   Fr wfr 5609  ^◡ccnv 5658   Isom wiso 6538   [⊊] crpss 7726  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-rpss 7727  df-om 7866  df-1o 8458  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959

This theorem is used by: (None)