Theorem isfin1-4 10436

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin1-3 10435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	compssiso 10423	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4		isofr 7338	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
6	1, 5	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185   Fr wfr 5597  ^◡ccnv 5646   Isom wiso 6528   [⊊] crpss 7721  Fincfn 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1o 8454  df-en 8952  df-dom 8953  df-fin 8955

This theorem is used by: (None)