Theorem isfin1-4 10347

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin1-3 10346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	compssiso 10334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4		isofr 7320	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
6	1, 5	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914  𝒫 cpw 4566   ↦ cmpt 5191   Fr wfr 5591  ^◡ccnv 5640   Isom wiso 6515   [⊊] crpss 7701  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-rpss 7702  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925

This theorem is referenced by: (None)