Theorem isfin1-4 10074

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin1-3 10073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	compssiso 10061	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4		isofr 7193	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
6	1, 5	bitr4d 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  𝒫 cpw 4530   ↦ cmpt 5153   Fr wfr 5532  ^◡ccnv 5579   Isom wiso 6419   [⊊] crpss 7553  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-rpss 7554  df-om 7688  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by: (None)