MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin1-4 9498
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-4 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin1-3 9497 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
2 eqid 2800 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32compssiso 9485 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥)) Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4 isofr 6821 . . 3 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥)) Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [] Fr 𝒫 𝐴 [] Fr 𝒫 𝐴))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ( [] Fr 𝒫 𝐴 [] Fr 𝒫 𝐴))
61, 5bitr4d 274 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2157  cdif 3767  𝒫 cpw 4350  cmpt 4923   Fr wfr 5269  ccnv 5312   Isom wiso 6103   [] crpss 7171  Fincfn 8196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-rpss 7172  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator