Theorem isfin1-4 9900

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin1-3 9899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	compssiso 9887	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4		isofr 7121	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥)) Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( [⊊] Fr 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
6	1, 5	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3850  𝒫 cpw 4498   ↦ cmpt 5120   Fr wfr 5490  ^◡ccnv 5534   Isom wiso 6351   [⊊] crpss 7479  Fincfn 8568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-rpss 7480  df-om 7613  df-1o 8144  df-en 8569  df-fin 8572

This theorem is referenced by: (None)