Theorem issubmndb 18434

Description: The submonoid predicate. Analogous to issubg 18745. (Contributed by AV, 1-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmndb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmndb.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubmndb	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem issubmndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubmndb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		issubmndb.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	1, 2, 3	issubm2 18433	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)))
5		3anrot 1099	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd))
6		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ↔ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)))
7	5, 6	bitr3i 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd) ↔ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)))
8	4, 7	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆))))
9	8	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆))))
10		submrcl 18431	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
11	10	pm4.71ri 561	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)))
12		anass 469	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆))))
13	9, 11, 12	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16902   ↾_s cress 16931  0_gc0g 17140  Mndcmnd 18375  SubMndcsubmnd 18419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-submnd 18421

This theorem is referenced by:  resmndismnd  18437  nsmndex1  18542  symgsubmefmndALT  19001