Theorem isuvtx 27177

Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isuvtx	⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxval 27169	. 2 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
3		isuvtx.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	nbgrel 27122	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5		df-3an 1085	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
6	4, 5	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
7		prcom 4668	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
8	7	sseq1i 3995	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
9	8	rexbii 3247	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
10		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑉)
11		eldifi 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘 ∈ 𝑉)
12	10, 11	anim12ci 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
13		eldifsni 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘 ≠ 𝑣)
14	13	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘 ≠ 𝑣)
15	12, 14	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣))
16	15	biantrurd 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
17	9, 16	syl5rbb 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
18	6, 17	syl5bb 285	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
19	18	ralbidva 3196	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
20	19	rabbiia 3472	. 2 ⊢ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
21	2, 20	eqtri 2844	1 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Vtxcvtx 26781  Edgcedg 26832   NeighbVtx cnbgr 27114  UnivVtxcuvtx 27167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-nbgr 27115  df-uvtx 27168

This theorem is referenced by:  uvtxel1  27178