MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isuvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isuvtx 27743
Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isuvtx (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtx
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxval 27735 . 2 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
3 isuvtx.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 3nbgrel 27688 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5 df-3an 1087 . . . . . 6 (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
64, 5bitri 274 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
7 prcom 4673 . . . . . . . 8 {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
87sseq1i 3953 . . . . . . 7 ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
98rexbii 3179 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑉𝑣𝑉)
11 eldifi 4065 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑉)
1210, 11anim12ci 613 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘𝑉𝑣𝑉))
13 eldifsni 4728 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑣)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘𝑣)
1512, 14jca 511 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣))
1615biantrurd 532 . . . . . 6 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
179, 16bitr2id 283 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
186, 17syl5bb 282 . . . 4 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
1918ralbidva 3121 . . 3 (𝑣𝑉 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
2019rabbiia 3404 . 2 {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
212, 20eqtri 2767 1 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  {crab 3069  cdif 3888  wss 3891  {csn 4566  {cpr 4568  cfv 6430  (class class class)co 7268  Vtxcvtx 27347  Edgcedg 27398   NeighbVtx cnbgr 27680  UnivVtxcuvtx 27733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-nbgr 27681  df-uvtx 27734
This theorem is referenced by:  uvtxel1  27744
  Copyright terms: Public domain W3C validator