Theorem isuvtx 29478

Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isuvtx	⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxval 29470	. 2 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
3		isuvtx.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	nbgrel 29423	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
6	4, 5	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
7		prcom 4677	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
8	7	sseq1i 3951	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
9	8	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
10		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑉)
11		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘 ∈ 𝑉)
12	10, 11	anim12ci 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
13		eldifsni 4734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘 ≠ 𝑣)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘 ≠ 𝑣)
15	12, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣))
16	15	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
17	9, 16	bitr2id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
18	6, 17	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
19	18	ralbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
20	19	rabbiia 3394	. 2 ⊢ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
21	2, 20	eqtri 2760	1 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130   NeighbVtx cnbgr 29415  UnivVtxcuvtx 29468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-nbgr 29416  df-uvtx 29469

This theorem is referenced by:  uvtxel1  29479