Theorem iunmapdisj 9298

Description: The union ∪ 𝑛 ∈ 𝐶(𝐴 ↑_𝑚 𝑛) is a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iunmapdisj	⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)

Distinct variable group:   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem iunmapdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 3635	. . . 4 ⊢ ∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵
2		elmapi 8281	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) → 𝐵:𝑛⟶𝐴)
3		fdm 6393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → dom 𝐵 = 𝑛)
4	3	eqcomd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → 𝑛 = dom 𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) → 𝑛 = dom 𝐵)
6	5	moimi 2580	. . . 4 ⊢ (∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵 → ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)
8	7	moani 2592	. 2 ⊢ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛))
9		df-rmo 3112	. 2 ⊢ (∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) ↔ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)))
10	8, 9	mpbir 232	1 ⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∃*wmo 2573  ∃*wrmo 3107  dom cdm 5446  ⟶wf 6224  (class class class)co 7019   ↑_𝑚 cmap 8259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-fv 6236  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-map 8261

This theorem is referenced by: (None)