Theorem iunmapdisj 10115

Description: The union ∪ 𝑛 ∈ 𝐶(𝐴 ↑_m 𝑛) is a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iunmapdisj	⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛)

Distinct variable group:   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem iunmapdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 3668	. . . 4 ⊢ ∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵
2		elmapi 8883	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛) → 𝐵:𝑛⟶𝐴)
3		fdm 6730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → dom 𝐵 = 𝑛)
4	3	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → 𝑛 = dom 𝐵)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛) → 𝑛 = dom 𝐵)
6	5	moimi 2573	. . . 4 ⊢ (∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵 → ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛)
8	7	moani 2581	. 2 ⊢ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))
9		df-rmo 3369	. 2 ⊢ (∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛) ↔ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛)))
10	8, 9	mpbir 234	1 ⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃*wmo 2565  ∃*wrmo 3368  dom cdm 5655  ⟶wf 6543  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-map 8863

This theorem is used by: (None)