Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem laut11 40066
Description: One-to-one property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
laut11 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem laut11
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 laut1o.i . . . 4 𝐼 = (LAut‘𝐾)
31, 2laut1o 40065 . . 3 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
4 f1of1 6845 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1𝐵)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1𝐵)
6 f1fveq 7280 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐵 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
75, 6sylan 580 1 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  1-1wf1 6556  1-1-ontowf1o 6558  cfv 6559  Basecbs 17243  LAutclaut 39965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-map 8864  df-laut 39969
This theorem is referenced by:  lautlt  40071  ltrn11  40106
  Copyright terms: Public domain W3C validator