Theorem lautcl 40750

Description: A lattice automorphism value belongs to the base set. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
laut1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lautcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laut1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		laut1o.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
3	1, 2	laut1o 40748	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
4		f1of 6821	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7080	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  LAutclaut 40648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-laut 40652

This theorem is referenced by:  lautlt  40754  lautcvr  40755  lautj  40756  lautm  40757  lauteq  40758  lautco  40760  ltrncl  40788