Theorem lautcl 40111

Description: A lattice automorphism value belongs to the base set. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
laut1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lautcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laut1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		laut1o.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
3	1, 2	laut1o 40109	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
4		f1of 6823	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7079	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  LAutclaut 40009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-laut 40013

This theorem is referenced by:  lautlt  40115  lautcvr  40116  lautj  40117  lautm  40118  lauteq  40119  lautco  40121  ltrncl  40149