Theorem lautlt 40085

Description: Less-than property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lautlt.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautlt	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝐴)
2		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lautlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lautlt.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
8	5, 6, 7	lautle 40078	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
10	5, 7	laut11 40080	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	11	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))
13	12	necon3bid 2969	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
14	9, 13	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
15		lautlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	6, 15	pltval 18291	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
17	16	3adant3r1 1183	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
18	5, 7	lautcl 40081	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 2, 3, 18	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
20	5, 7	lautcl 40081	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4, 20	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
22	6, 15	pltval 18291	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
23	1, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
24	14, 17, 23	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  LAutclaut 39979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-plt 18289  df-laut 39983

This theorem is referenced by:  lautcvr  40086