Theorem lautlt 40074

Description: Less-than property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lautlt.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautlt	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝐴)
2		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lautlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lautlt.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
8	5, 6, 7	lautle 40067	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
10	5, 7	laut11 40069	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	11	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))
13	12	necon3bid 2983	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
14	9, 13	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
15		lautlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	6, 15	pltval 18390	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
17	16	3adant3r1 1181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
18	5, 7	lautcl 40070	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 2, 3, 18	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
20	5, 7	lautcl 40070	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4, 20	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
22	6, 15	pltval 18390	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
23	1, 19, 21, 22	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
24	14, 17, 23	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  LAutclaut 39968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-plt 18388  df-laut 39972

This theorem is referenced by:  lautcvr  40075