Theorem lautlt 39558

Description: Less-than property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lautlt.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautlt	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝐴)
2		simpr1 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr2 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr3 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lautlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lautlt.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
8	5, 6, 7	lautle 39551	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
10	5, 7	laut11 39553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	11	bicomd 222	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))
13	12	necon3bid 2981	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
14	9, 13	anbi12d 631	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
15		lautlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	6, 15	pltval 18317	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
17	16	3adant3r1 1180	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
18	5, 7	lautcl 39554	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 2, 3, 18	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
20	5, 7	lautcl 39554	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4, 20	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
22	6, 15	pltval 18317	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
23	1, 19, 21, 22	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))))
24	14, 17, 23	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233  ltcplt 18293  LAutclaut 39452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8840  df-plt 18315  df-laut 39456

This theorem is referenced by:  lautcvr  39559