Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lautlt 39265
Description: Less-than property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautlt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
lautlt.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautlt ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautlt
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
2 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
3 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 lautlt.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 lautlt.i . . . . 5 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
85, 6, 7lautle 39258 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
91, 2, 3, 4, 8syl22anc 837 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
105, 7laut11 39260 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 837 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
1211bicomd 222 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)))
1312necon3bid 2985 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘Œ)))
149, 13anbi12d 631 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘Œ))))
15 lautlt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
166, 15pltval 18289 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
17163adant3r1 1182 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
185, 7lautcl 39261 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
191, 2, 3, 18syl21anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
205, 7lautcl 39261 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
211, 2, 4, 20syl21anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
226, 15pltval 18289 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘Œ))))
231, 19, 21, 22syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘Œ))))
2414, 17, 233bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  ltcplt 18265  LAutclaut 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-plt 18287  df-laut 39163
This theorem is referenced by:  lautcvr  39266
  Copyright terms: Public domain W3C validator