Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem laut1o 39558
Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
laut1o.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
laut1o ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)

Proof of Theorem laut1o
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 laut1o.i . . 3 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
41, 2, 3islaut 39556 . 2 (𝐾 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ 𝐼 ↔ (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘¦)))))
54simprbda 498 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6547  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  LAutclaut 39458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-laut 39462
This theorem is referenced by:  laut11  39559  lautcl  39560  lautcnvclN  39561  lautcnvle  39562  lautcnv  39563  lautcvr  39565  lautj  39566  lautm  39567  lautco  39570  ldil1o  39585  ltrn1o  39597
  Copyright terms: Public domain W3C validator