Theorem laut1o 40345

Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
laut1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
laut1o	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem laut1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laut1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		laut1o.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	1, 2, 3	islaut 40343	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐼 ↔ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑦)))))
5	4	simprbda 498	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   class class class wbr 5098  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  LAutclaut 40245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-laut 40249

This theorem is referenced by:  laut11  40346  lautcl  40347  lautcnvclN  40348  lautcnvle  40349  lautcnv  40350  lautcvr  40352  lautj  40353  lautm  40354  lautco  40357  ldil1o  40372  ltrn1o  40384