Theorem laut1o 40859

Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
laut1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
laut1o	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem laut1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laut1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		laut1o.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	1, 2, 3	islaut 40857	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐼 ↔ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝐾)(𝐹‘𝑦)))))
5	4	simprbda 503	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  LAutclaut 40759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-laut 40763

This theorem is referenced by:  laut11  40860  lautcl  40861  lautcnvclN  40862  lautcnvle  40863  lautcnv  40864  lautcvr  40866  lautj  40867  lautm  40868  lautco  40871  ldil1o  40886  ltrn1o  40898