Theorem lautcnvclN 39263

Description: Reverse closure of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
laut1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcnvclN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lautcnvclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laut1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		laut1o.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
3	1, 2	laut1o 39260	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
4		f1ocnvdm 7286	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylan 579	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ^◡ccnv 5676  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  Basecbs 17149  LAutclaut 39160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8825  df-laut 39164

This theorem is referenced by: (None)