Theorem f1ocnvdm 7278

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6830	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6818	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7074	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5653  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7345  f1ocnvfv3  7400  dif1enlem  9170  dif1enlemOLD  9171  rexdif1en  9172  rexdif1enOLD  9173  dif1en  9174  dif1enOLD  9176  uzrdglem  13975  uzrdgsuci  13978  fzennn  13986  cardfz  13988  fzfi  13990  iunmbl2  25510  noseqrdglem  28251  noseqrdgsuc  28254  f1otrg  28850  axcontlem10  28952  wlkiswwlks2lem5  29855  clwlkclwwlklem2a  29979  cnvbraval  32091  cnvbracl  32092  cycpmco2lem6  33142  cycpmco2  33144  mndpluscn  33957  ismtycnv  37826  rngoisocnv  38005  lautcnvclN  40107  lautcnvle  40108  lautcvr  40111  lautj  40112  lautm  40113  ltrncnvatb  40157  diacnvclN  41070  dihcnvcl  41290  dihlspsnat  41352  dihglblem6  41359  dochocss  41385  dochnoncon  41410  mapdcnvcl  41671  rmxyelxp  42936  cantnfub  43345  isuspgrim0lem  47906  isuspgrim0  47907  upgrimwlklem2  47911  upgrimtrls  47919  uhgrimisgrgriclem  47943  clnbgrgrimlem  47946  uspgrlimlem3  48002  grlicsym  48018  imaf1homlem  49066