Theorem f1ocnvdm 7282

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6826	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6813	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7073	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5647  ⟶wf 6524  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536

This theorem is used by:  f1oiso2  7349  f1ocnvfv3  7404  dif1enlem  9154  rexdif1en  9155  dif1en  9156  uzrdglem  14054  uzrdgsuci  14057  fzennn  14065  cardfz  14067  fzfi  14069  iunmbl2  25825  addonbday  28584  noseqrdglem  28610  noseqrdgsuc  28613  bdayfinlem  28791  f1otrg  29367  axcontlem10  29470  wlkiswwlks2lem5  30381  clwlkclwwlklem2a  30508  cnvbraval  32631  cnvbracl  32632  cycpmco2lem6  33611  cycpmco2  33613  mndpluscn  34477  vonf1oonfo  35813  ismtycnv  38650  rngoisocnv  38829  lautcnvclN  41059  lautcnvle  41060  lautcvr  41063  lautj  41064  lautm  41065  ltrncnvatb  41109  diacnvclN  42022  dihcnvcl  42242  dihlspsnat  42304  dihglblem6  42311  dochocss  42337  dochnoncon  42362  mapdcnvcl  42623  rmxyelxp  43851  cantnfub  44260  isuspgrim0lem  48907  isuspgrim0  48908  upgrimwlklem2  48912  upgrimtrls  48920  uhgrimisgrgriclem  48944  clnbgrgrimlem  48947  uspgrlimlem3  49004  grlicsym  49027  imaf1homlem  50131  uptrar  50240