Theorem f1ocnvdm 7283

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6833	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6820	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7079	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ^◡ccnv 5660  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7350  f1ocnvfv3  7405  dif1enlem  9143  rexdif1en  9144  dif1en  9145  uzrdglem  13992  uzrdgsuci  13995  fzennn  14003  cardfz  14005  fzfi  14007  iunmbl2  25695  addonbday  28448  noseqrdglem  28474  noseqrdgsuc  28477  bdayfinlem  28655  f1otrg  29186  axcontlem10  29289  wlkiswwlks2lem5  30188  clwlkclwwlklem2a  30315  cnvbraval  32428  cnvbracl  32429  cycpmco2lem6  33417  cycpmco2  33419  mndpluscn  34282  vonf1oonfo  35553  ismtycnv  38397  rngoisocnv  38576  lautcnvclN  40808  lautcnvle  40809  lautcvr  40812  lautj  40813  lautm  40814  ltrncnvatb  40858  diacnvclN  41771  dihcnvcl  41991  dihlspsnat  42053  dihglblem6  42060  dochocss  42086  dochnoncon  42111  mapdcnvcl  42372  rmxyelxp  43587  cantnfub  43996  isuspgrim0lem  48603  isuspgrim0  48604  upgrimwlklem2  48608  upgrimtrls  48616  uhgrimisgrgriclem  48640  clnbgrgrimlem  48643  uspgrlimlem3  48700  grlicsym  48723  imaf1homlem  49830  uptrar  49939