Theorem f1ocnvdm 7229

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6781	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6769	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7025	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5619  ⟶wf 6483  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7296  f1ocnvfv3  7351  dif1enlem  9083  rexdif1en  9084  dif1en  9085  uzrdglem  13908  uzrdgsuci  13911  fzennn  13919  cardfz  13921  fzfi  13923  iunmbl2  25512  addonbday  28259  noseqrdglem  28285  noseqrdgsuc  28288  bdayfinlem  28466  f1otrg  28927  axcontlem10  29030  wlkiswwlks2lem5  29929  clwlkclwwlklem2a  30056  cnvbraval  32169  cnvbracl  32170  cycpmco2lem6  33180  cycpmco2  33182  mndpluscn  34058  ismtycnv  38111  rngoisocnv  38290  lautcnvclN  40522  lautcnvle  40523  lautcvr  40526  lautj  40527  lautm  40528  ltrncnvatb  40572  diacnvclN  41485  dihcnvcl  41705  dihlspsnat  41767  dihglblem6  41774  dochocss  41800  dochnoncon  41825  mapdcnvcl  42086  rmxyelxp  43328  cantnfub  43737  isuspgrim0lem  48357  isuspgrim0  48358  upgrimwlklem2  48362  upgrimtrls  48370  uhgrimisgrgriclem  48394  clnbgrgrimlem  48397  uspgrlimlem3  48454  grlicsym  48477  imaf1homlem  49570  uptrar  49679