Theorem f1ocnvdm 7285

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6845	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6833	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7086	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5675  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7351  f1ocnvfv3  7406  dif1enlem  9158  dif1enlemOLD  9159  rexdif1en  9160  rexdif1enOLD  9161  dif1en  9162  dif1enOLD  9164  uzrdglem  13924  uzrdgsuci  13927  fzennn  13935  cardfz  13937  fzfi  13939  iunmbl2  25081  f1otrg  28160  axcontlem10  28269  wlkiswwlks2lem5  29165  clwlkclwwlklem2a  29289  cnvbraval  31401  cnvbracl  31402  cycpmco2lem6  32331  cycpmco2  32333  mndpluscn  32975  ismtycnv  36756  rngoisocnv  36935  lautcnvclN  39045  lautcnvle  39046  lautcvr  39049  lautj  39050  lautm  39051  ltrncnvatb  39095  diacnvclN  40008  dihcnvcl  40228  dihlspsnat  40290  dihglblem6  40297  dochocss  40323  dochnoncon  40348  mapdcnvcl  40609  rmxyelxp  41733  cantnfub  42153  isomuspgrlem1  46574  isomgrsym  46583