Theorem f1ocnvdm 7313

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6856	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴)
2		f1of 6843	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7105	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ^◡ccnv 5654  ⟶wf 6551  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563

This theorem is used by:  f1oiso2  7380  f1ocnvfv3  7435  dif1enlem  9200  rexdif1en  9201  dif1en  9202  uzrdglem  14124  uzrdgsuci  14127  fzennn  14135  cardfz  14137  fzfi  14139  iunmbl2  25905  addonbday  28692  noseqrdglem  28718  noseqrdgsuc  28721  bdayfinlem  28899  f1otrg  29475  axcontlem10  29578  wlkiswwlks2lem5  30489  clwlkclwwlklem2a  30616  cnvbraval  32739  cnvbracl  32740  cycpmco2lem6  33759  cycpmco2  33761  mndpluscn  34625  dfk12  36011  dfk22  36012  dfk32  36013  k1on  36014  k2on  36015  k39o  36016  jk1k2k3  36017  vonf1oonfo  36048  ismtycnv  38927  rngoisocnv  39106  lautcnvclN  41336  lautcnvle  41337  lautcvr  41340  lautj  41341  lautm  41342  ltrncnvatb  41386  diacnvclN  42299  dihcnvcl  42519  dihlspsnat  42581  dihglblem6  42588  dochocss  42614  dochnoncon  42639  mapdcnvcl  42900  rmxyelxp  44110  cantnfub  44513  isuspgrim0lem  49194  isuspgrim0  49195  upgrimwlklem2  49199  upgrimtrls  49207  uhgrimisgrgriclem  49231  clnbgrgrimlem  49234  uspgrlimlem3  49291  grlicsym  49314  imaf1homlem  50426  uptrar  50535