Theorem f1ocnvdm 7321

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6874	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6862	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7118	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5699  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7388  f1ocnvfv3  7443  dif1enlem  9222  dif1enlemOLD  9223  rexdif1en  9224  rexdif1enOLD  9225  dif1en  9226  dif1enOLD  9228  uzrdglem  14008  uzrdgsuci  14011  fzennn  14019  cardfz  14021  fzfi  14023  iunmbl2  25611  noseqrdglem  28329  noseqrdgsuc  28332  f1otrg  28897  axcontlem10  29006  wlkiswwlks2lem5  29906  clwlkclwwlklem2a  30030  cnvbraval  32142  cnvbracl  32143  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2  33126  mndpluscn  33872  ismtycnv  37762  rngoisocnv  37941  lautcnvclN  40045  lautcnvle  40046  lautcvr  40049  lautj  40050  lautm  40051  ltrncnvatb  40095  diacnvclN  41008  dihcnvcl  41228  dihlspsnat  41290  dihglblem6  41297  dochocss  41323  dochnoncon  41348  mapdcnvcl  41609  rmxyelxp  42869  cantnfub  43283  isuspgrim0lem  47755  isuspgrim0  47756  uspgrimprop  47757  uhgrimisgrgriclem  47782  clnbgrgrimlem  47785  uspgrlimlem3  47814  grlicsym  47830