Theorem f1ocnvdm 7242

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6794	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6782	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7038	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5630  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7309  f1ocnvfv3  7364  dif1enlem  9097  dif1enlemOLD  9098  rexdif1en  9099  rexdif1enOLD  9100  dif1en  9101  dif1enOLD  9103  uzrdglem  13900  uzrdgsuci  13903  fzennn  13911  cardfz  13913  fzfi  13915  iunmbl2  25492  noseqrdglem  28240  noseqrdgsuc  28243  f1otrg  28852  axcontlem10  28954  wlkiswwlks2lem5  29854  clwlkclwwlklem2a  29978  cnvbraval  32090  cnvbracl  32091  cycpmco2lem6  33104  cycpmco2  33106  mndpluscn  33910  ismtycnv  37790  rngoisocnv  37969  lautcnvclN  40076  lautcnvle  40077  lautcvr  40080  lautj  40081  lautm  40082  ltrncnvatb  40126  diacnvclN  41039  dihcnvcl  41259  dihlspsnat  41321  dihglblem6  41328  dochocss  41354  dochnoncon  41379  mapdcnvcl  41640  rmxyelxp  42895  cantnfub  43304  isuspgrim0lem  47887  isuspgrim0  47888  upgrimwlklem2  47892  upgrimtrls  47900  uhgrimisgrgriclem  47924  clnbgrgrimlem  47927  uspgrlimlem3  47983  grlicsym  47999  imaf1homlem  49090  uptrar  49199