Theorem f1ocnvdm 7157

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6728	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6716	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelrnda 6961	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5588  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7223  f1ocnvfv3  7271  dif1enlem  8943  rexdif1en  8944  dif1en  8945  uzrdglem  13677  uzrdgsuci  13680  fzennn  13688  cardfz  13690  fzfi  13692  iunmbl2  24721  f1otrg  27232  axcontlem10  27341  wlkiswwlks2lem5  28238  clwlkclwwlklem2a  28362  cnvbraval  30472  cnvbracl  30473  cycpmco2lem6  31398  cycpmco2  31400  mndpluscn  31876  ismtycnv  35960  rngoisocnv  36139  lautcnvclN  38102  lautcnvle  38103  lautcvr  38106  lautj  38107  lautm  38108  ltrncnvatb  38152  diacnvclN  39065  dihcnvcl  39285  dihlspsnat  39347  dihglblem6  39354  dochocss  39380  dochnoncon  39405  mapdcnvcl  39666  rmxyelxp  40734  isomuspgrlem1  45279  isomgrsym  45288