MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvdm 7227
Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvdm ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6793 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 6781 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
43ffvelcdmda 7031 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  ccnv 5630  wf 6489  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501
This theorem is referenced by:  f1oiso2  7293  f1ocnvfv3  7348  dif1enlem  9096  dif1enlemOLD  9097  rexdif1en  9098  rexdif1enOLD  9099  dif1en  9100  dif1enOLD  9102  uzrdglem  13854  uzrdgsuci  13857  fzennn  13865  cardfz  13867  fzfi  13869  iunmbl2  24905  f1otrg  27699  axcontlem10  27808  wlkiswwlks2lem5  28704  clwlkclwwlklem2a  28828  cnvbraval  30938  cnvbracl  30939  cycpmco2lem6  31863  cycpmco2  31865  mndpluscn  32376  ismtycnv  36228  rngoisocnv  36407  lautcnvclN  38518  lautcnvle  38519  lautcvr  38522  lautj  38523  lautm  38524  ltrncnvatb  38568  diacnvclN  39481  dihcnvcl  39701  dihlspsnat  39763  dihglblem6  39770  dochocss  39796  dochnoncon  39821  mapdcnvcl  40082  rmxyelxp  41174  cantnfub  41593  isomuspgrlem1  45951  isomgrsym  45960
  Copyright terms: Public domain W3C validator