Theorem f1ocnvdm 7219

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6775	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6763	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7017	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5613  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7286  f1ocnvfv3  7341  dif1enlem  9069  rexdif1en  9070  dif1en  9071  uzrdglem  13864  uzrdgsuci  13867  fzennn  13875  cardfz  13877  fzfi  13879  iunmbl2  25485  noseqrdglem  28235  noseqrdgsuc  28238  f1otrg  28849  axcontlem10  28951  wlkiswwlks2lem5  29851  clwlkclwwlklem2a  29978  cnvbraval  32090  cnvbracl  32091  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2  33102  mndpluscn  33939  ismtycnv  37841  rngoisocnv  38020  lautcnvclN  40186  lautcnvle  40187  lautcvr  40190  lautj  40191  lautm  40192  ltrncnvatb  40236  diacnvclN  41149  dihcnvcl  41369  dihlspsnat  41431  dihglblem6  41438  dochocss  41464  dochnoncon  41489  mapdcnvcl  41750  rmxyelxp  43004  cantnfub  43413  isuspgrim0lem  47992  isuspgrim0  47993  upgrimwlklem2  47997  upgrimtrls  48005  uhgrimisgrgriclem  48029  clnbgrgrimlem  48032  uspgrlimlem3  48089  grlicsym  48112  imaf1homlem  49207  uptrar  49316