Theorem f1ocnvdm 7289

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6834	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6821	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7080	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5658  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is used by:  f1oiso2  7356  f1ocnvfv3  7411  dif1enlem  9157  rexdif1en  9158  dif1en  9159  uzrdglem  14023  uzrdgsuci  14026  fzennn  14034  cardfz  14036  fzfi  14038  iunmbl2  25786  addonbday  28542  noseqrdglem  28568  noseqrdgsuc  28571  bdayfinlem  28749  f1otrg  29313  axcontlem10  29416  wlkiswwlks2lem5  30327  clwlkclwwlklem2a  30454  cnvbraval  32577  cnvbracl  32578  cycpmco2lem6  33558  cycpmco2  33560  mndpluscn  34423  vonf1oonfo  35699  ismtycnv  38539  rngoisocnv  38718  lautcnvclN  40948  lautcnvle  40949  lautcvr  40952  lautj  40953  lautm  40954  ltrncnvatb  40998  diacnvclN  41911  dihcnvcl  42131  dihlspsnat  42193  dihglblem6  42200  dochocss  42226  dochnoncon  42251  mapdcnvcl  42512  rmxyelxp  43740  cantnfub  44149  isuspgrim0lem  48796  isuspgrim0  48797  upgrimwlklem2  48801  upgrimtrls  48809  uhgrimisgrgriclem  48833  clnbgrgrimlem  48836  uspgrlimlem3  48893  grlicsym  48916  imaf1homlem  50020  uptrar  50129