Theorem f1ocnvdm 7283

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6833	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6820	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7079	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ^◡ccnv 5659  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544

This theorem is used by:  f1oiso2  7350  f1ocnvfv3  7407  dif1enlem  9142  rexdif1en  9143  dif1en  9144  uzrdglem  14000  uzrdgsuci  14003  fzennn  14011  cardfz  14013  fzfi  14015  iunmbl2  25727  addonbday  28483  noseqrdglem  28509  noseqrdgsuc  28512  bdayfinlem  28690  f1otrg  29231  axcontlem10  29334  wlkiswwlks2lem5  30233  clwlkclwwlklem2a  30360  cnvbraval  32473  cnvbracl  32474  cycpmco2lem6  33460  cycpmco2  33462  mndpluscn  34325  vonf1oonfo  35607  ismtycnv  38481  rngoisocnv  38660  lautcnvclN  40890  lautcnvle  40891  lautcvr  40894  lautj  40895  lautm  40896  ltrncnvatb  40940  diacnvclN  41853  dihcnvcl  42073  dihlspsnat  42135  dihglblem6  42142  dochocss  42168  dochnoncon  42193  mapdcnvcl  42454  rmxyelxp  43667  cantnfub  44076  isuspgrim0lem  48686  isuspgrim0  48687  upgrimwlklem2  48691  upgrimtrls  48699  uhgrimisgrgriclem  48723  clnbgrgrimlem  48726  uspgrlimlem3  48783  grlicsym  48806  imaf1homlem  49913  uptrar  50022