Theorem f1ocnvdm 7237

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6790	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6778	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7034	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5627  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7304  f1ocnvfv3  7359  dif1enlem  9091  rexdif1en  9092  dif1en  9093  uzrdglem  13916  uzrdgsuci  13919  fzennn  13927  cardfz  13929  fzfi  13931  iunmbl2  25540  addonbday  28291  noseqrdglem  28317  noseqrdgsuc  28320  bdayfinlem  28498  f1otrg  28959  axcontlem10  29062  wlkiswwlks2lem5  29962  clwlkclwwlklem2a  30089  cnvbraval  32202  cnvbracl  32203  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2  33215  mndpluscn  34092  ismtycnv  38145  rngoisocnv  38324  lautcnvclN  40556  lautcnvle  40557  lautcvr  40560  lautj  40561  lautm  40562  ltrncnvatb  40606  diacnvclN  41519  dihcnvcl  41739  dihlspsnat  41801  dihglblem6  41808  dochocss  41834  dochnoncon  41859  mapdcnvcl  42120  rmxyelxp  43366  cantnfub  43775  isuspgrim0lem  48389  isuspgrim0  48390  upgrimwlklem2  48394  upgrimtrls  48402  uhgrimisgrgriclem  48426  clnbgrgrimlem  48429  uspgrlimlem3  48486  grlicsym  48509  imaf1homlem  49602  uptrar  49711