Theorem f1ocnvdm 7286

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6845	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6833	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7086	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ^◡ccnv 5675  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7352  f1ocnvfv3  7407  dif1enlem  9160  dif1enlemOLD  9161  rexdif1en  9162  rexdif1enOLD  9163  dif1en  9164  dif1enOLD  9166  uzrdglem  13927  uzrdgsuci  13930  fzennn  13938  cardfz  13940  fzfi  13942  iunmbl2  25307  f1otrg  28390  axcontlem10  28499  wlkiswwlks2lem5  29395  clwlkclwwlklem2a  29519  cnvbraval  31631  cnvbracl  31632  cycpmco2lem6  32561  cycpmco2  32563  mndpluscn  33205  ismtycnv  36974  rngoisocnv  37153  lautcnvclN  39263  lautcnvle  39264  lautcvr  39267  lautj  39268  lautm  39269  ltrncnvatb  39313  diacnvclN  40226  dihcnvcl  40446  dihlspsnat  40508  dihglblem6  40515  dochocss  40541  dochnoncon  40566  mapdcnvcl  40827  rmxyelxp  41954  cantnfub  42374  isomuspgrlem1  46794  isomgrsym  46803