Theorem f1ocnvdm 7263

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6815	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6803	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7059	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5640  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7330  f1ocnvfv3  7385  dif1enlem  9126  dif1enlemOLD  9127  rexdif1en  9128  rexdif1enOLD  9129  dif1en  9130  dif1enOLD  9132  uzrdglem  13929  uzrdgsuci  13932  fzennn  13940  cardfz  13942  fzfi  13944  iunmbl2  25465  noseqrdglem  28206  noseqrdgsuc  28209  f1otrg  28805  axcontlem10  28907  wlkiswwlks2lem5  29810  clwlkclwwlklem2a  29934  cnvbraval  32046  cnvbracl  32047  cycpmco2lem6  33095  cycpmco2  33097  mndpluscn  33923  ismtycnv  37803  rngoisocnv  37982  lautcnvclN  40089  lautcnvle  40090  lautcvr  40093  lautj  40094  lautm  40095  ltrncnvatb  40139  diacnvclN  41052  dihcnvcl  41272  dihlspsnat  41334  dihglblem6  41341  dochocss  41367  dochnoncon  41392  mapdcnvcl  41653  rmxyelxp  42908  cantnfub  43317  isuspgrim0lem  47897  isuspgrim0  47898  upgrimwlklem2  47902  upgrimtrls  47910  uhgrimisgrgriclem  47934  clnbgrgrimlem  47937  uspgrlimlem3  47993  grlicsym  48009  imaf1homlem  49100  uptrar  49209