Theorem f1ocnvdm 7233

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6783	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6771	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7029	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ^◡ccnv 5620  ⟶wf 6485  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7300  f1ocnvfv3  7355  dif1enlem  9088  rexdif1en  9089  dif1en  9090  uzrdglem  13914  uzrdgsuci  13917  fzennn  13925  cardfz  13927  fzfi  13929  iunmbl2  25546  addonbday  28293  noseqrdglem  28319  noseqrdgsuc  28322  bdayfinlem  28500  f1otrg  28961  axcontlem10  29064  wlkiswwlks2lem5  29963  clwlkclwwlklem2a  30090  cnvbraval  32203  cnvbracl  32204  cycpmco2lem6  33216  cycpmco2  33218  mndpluscn  34122  ismtycnv  38184  rngoisocnv  38363  lautcnvclN  40595  lautcnvle  40596  lautcvr  40599  lautj  40600  lautm  40601  ltrncnvatb  40645  diacnvclN  41558  dihcnvcl  41778  dihlspsnat  41840  dihglblem6  41847  dochocss  41873  dochnoncon  41898  mapdcnvcl  42159  rmxyelxp  43372  cantnfub  43781  isuspgrim0lem  48398  isuspgrim0  48399  upgrimwlklem2  48403  upgrimtrls  48411  uhgrimisgrgriclem  48435  clnbgrgrimlem  48438  uspgrlimlem3  48495  grlicsym  48518  imaf1homlem  49611  uptrar  49720