Theorem f1ocnvdm 7305

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6860	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6848	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7104	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5684  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7372  f1ocnvfv3  7426  dif1enlem  9196  dif1enlemOLD  9197  rexdif1en  9198  rexdif1enOLD  9199  dif1en  9200  dif1enOLD  9202  uzrdglem  13998  uzrdgsuci  14001  fzennn  14009  cardfz  14011  fzfi  14013  iunmbl2  25592  noseqrdglem  28311  noseqrdgsuc  28314  f1otrg  28879  axcontlem10  28988  wlkiswwlks2lem5  29893  clwlkclwwlklem2a  30017  cnvbraval  32129  cnvbracl  32130  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2  33153  mndpluscn  33925  ismtycnv  37809  rngoisocnv  37988  lautcnvclN  40090  lautcnvle  40091  lautcvr  40094  lautj  40095  lautm  40096  ltrncnvatb  40140  diacnvclN  41053  dihcnvcl  41273  dihlspsnat  41335  dihglblem6  41342  dochocss  41368  dochnoncon  41393  mapdcnvcl  41654  rmxyelxp  42924  cantnfub  43334  isuspgrim0lem  47871  isuspgrim0  47872  uspgrimprop  47873  uhgrimisgrgriclem  47898  clnbgrgrimlem  47901  uspgrlimlem3  47957  grlicsym  47973