Theorem f1ocnvdm 7222

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6776	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6764	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7018	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5618  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7289  f1ocnvfv3  7344  dif1enlem  9073  rexdif1en  9074  dif1en  9075  uzrdglem  13864  uzrdgsuci  13867  fzennn  13875  cardfz  13877  fzfi  13879  iunmbl2  25456  noseqrdglem  28206  noseqrdgsuc  28209  f1otrg  28820  axcontlem10  28922  wlkiswwlks2lem5  29822  clwlkclwwlklem2a  29946  cnvbraval  32058  cnvbracl  32059  cycpmco2lem6  33082  cycpmco2  33084  mndpluscn  33909  ismtycnv  37802  rngoisocnv  37981  lautcnvclN  40087  lautcnvle  40088  lautcvr  40091  lautj  40092  lautm  40093  ltrncnvatb  40137  diacnvclN  41050  dihcnvcl  41270  dihlspsnat  41332  dihglblem6  41339  dochocss  41365  dochnoncon  41390  mapdcnvcl  41651  rmxyelxp  42905  cantnfub  43314  isuspgrim0lem  47897  isuspgrim0  47898  upgrimwlklem2  47902  upgrimtrls  47910  uhgrimisgrgriclem  47934  clnbgrgrimlem  47937  uspgrlimlem3  47994  grlicsym  48017  imaf1homlem  49112  uptrar  49221