Theorem f1ocnvdm 7271

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6821	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6808	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7067	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ^◡ccnv 5648  ⟶wf 6519  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7338  f1ocnvfv3  7393  dif1enlem  9130  rexdif1en  9131  dif1en  9132  uzrdglem  13972  uzrdgsuci  13975  fzennn  13983  cardfz  13985  fzfi  13987  iunmbl2  25621  addonbday  28374  noseqrdglem  28400  noseqrdgsuc  28403  bdayfinlem  28581  f1otrg  29073  axcontlem10  29176  wlkiswwlks2lem5  30075  clwlkclwwlklem2a  30202  cnvbraval  32315  cnvbracl  32316  cycpmco2lem6  33313  cycpmco2  33315  mndpluscn  34225  vonf1oonfo  35462  ismtycnv  38306  rngoisocnv  38485  lautcnvclN  40717  lautcnvle  40718  lautcvr  40721  lautj  40722  lautm  40723  ltrncnvatb  40767  diacnvclN  41680  dihcnvcl  41900  dihlspsnat  41962  dihglblem6  41969  dochocss  41995  dochnoncon  42020  mapdcnvcl  42281  rmxyelxp  43494  cantnfub  43903  isuspgrim0lem  48520  isuspgrim0  48521  upgrimwlklem2  48525  upgrimtrls  48533  uhgrimisgrgriclem  48557  clnbgrgrimlem  48560  uspgrlimlem3  48617  grlicsym  48640  imaf1homlem  49733  uptrar  49842