Theorem f1ocnvdm 7242

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6794	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6782	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7038	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5630  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7309  f1ocnvfv3  7364  dif1enlem  9097  dif1enlemOLD  9098  rexdif1en  9099  rexdif1enOLD  9100  dif1en  9101  dif1enOLD  9103  uzrdglem  13898  uzrdgsuci  13901  fzennn  13909  cardfz  13911  fzfi  13913  iunmbl2  25491  noseqrdglem  28239  noseqrdgsuc  28242  f1otrg  28851  axcontlem10  28953  wlkiswwlks2lem5  29853  clwlkclwwlklem2a  29977  cnvbraval  32089  cnvbracl  32090  cycpmco2lem6  33103  cycpmco2  33105  mndpluscn  33909  ismtycnv  37789  rngoisocnv  37968  lautcnvclN  40075  lautcnvle  40076  lautcvr  40079  lautj  40080  lautm  40081  ltrncnvatb  40125  diacnvclN  41038  dihcnvcl  41258  dihlspsnat  41320  dihglblem6  41327  dochocss  41353  dochnoncon  41378  mapdcnvcl  41639  rmxyelxp  42894  cantnfub  43303  isuspgrim0lem  47886  isuspgrim0  47887  upgrimwlklem2  47891  upgrimtrls  47899  uhgrimisgrgriclem  47923  clnbgrgrimlem  47926  uspgrlimlem3  47982  grlicsym  47998  imaf1homlem  49089  uptrar  49198