Theorem f1ocnvdm 7233

Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvdm	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6787	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1of 6775	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	3	ffvelcdmda 7031	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5624  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501

This theorem is referenced by:  f1oiso2  7300  f1ocnvfv3  7355  dif1enlem  9088  rexdif1en  9089  dif1en  9090  uzrdglem  13884  uzrdgsuci  13887  fzennn  13895  cardfz  13897  fzfi  13899  iunmbl2  25518  addonbday  28279  noseqrdglem  28305  noseqrdgsuc  28308  bdayfinlem  28486  f1otrg  28947  axcontlem10  29050  wlkiswwlks2lem5  29950  clwlkclwwlklem2a  30077  cnvbraval  32189  cnvbracl  32190  cycpmco2lem6  33215  cycpmco2  33217  mndpluscn  34085  ismtycnv  38005  rngoisocnv  38184  lautcnvclN  40416  lautcnvle  40417  lautcvr  40420  lautj  40421  lautm  40422  ltrncnvatb  40466  diacnvclN  41379  dihcnvcl  41599  dihlspsnat  41661  dihglblem6  41668  dochocss  41694  dochnoncon  41719  mapdcnvcl  41980  rmxyelxp  43221  cantnfub  43630  isuspgrim0lem  48206  isuspgrim0  48207  upgrimwlklem2  48211  upgrimtrls  48219  uhgrimisgrgriclem  48243  clnbgrgrimlem  48246  uspgrlimlem3  48303  grlicsym  48326  imaf1homlem  49419  uptrar  49528