Theorem lautcnvle 40718

Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcnvle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lautcnvle.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcnvle	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
2		lautcnvle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lautcnvle.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	2, 3	laut1o 40714	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		f1ocnvdm 7271	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
9		simprr 782	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		f1ocnvdm 7271	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	5, 9, 10	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
12		lautcnvle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	2, 12, 3	lautle 40713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
14	1, 8, 11, 13	syl12anc 847	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
15		f1ocnvfv2 7263	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
16	5, 6, 15	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
17		f1ocnvfv2 7263	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
18	5, 9, 17	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
19	16, 18	breq12d 5115	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
20	14, 19	bitr2d 282	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  lecple 17295  LAutclaut 40614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-laut 40618

This theorem is referenced by:  lautcnv  40719  lautj  40722  lautm  40723  ltrncnvleN  40759  ltrneq2  40777