Theorem lautcnvle 40891

Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcnvle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lautcnvle.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcnvle	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
2		lautcnvle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lautcnvle.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	2, 3	laut1o 40887	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		f1ocnvdm 7283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
9		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		f1ocnvdm 7283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	5, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
12		lautcnvle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	2, 12, 3	lautle 40886	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
14	1, 8, 11, 13	syl12anc 849	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
15		f1ocnvfv2 7275	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
16	5, 6, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
17		f1ocnvfv2 7275	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
18	5, 9, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
19	16, 18	breq12d 5121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
20	14, 19	bitr2d 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  lecple 17323  LAutclaut 40787

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-laut 40791

This theorem is used by:  lautcnv  40892  lautj  40895  lautm  40896  ltrncnvleN  40932  ltrneq2  40950