Theorem lautcnvle 40091

Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcnvle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lautcnvle.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcnvle	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
2		lautcnvle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lautcnvle.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	2, 3	laut1o 40087	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		f1ocnvdm 7305	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
9		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		f1ocnvdm 7305	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
12		lautcnvle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	2, 12, 3	lautle 40086	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
14	1, 8, 11, 13	syl12anc 837	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
15		f1ocnvfv2 7297	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
16	5, 6, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
17		f1ocnvfv2 7297	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
18	5, 9, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
19	16, 18	breq12d 5156	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
20	14, 19	bitr2d 280	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LAutclaut 39987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-laut 39991

This theorem is referenced by:  lautcnv  40092  lautj  40095  lautm  40096  ltrncnvleN  40132  ltrneq2  40150