Theorem lautcnvle 41066

Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcnvle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lautcnvle.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcnvle	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
2		lautcnvle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lautcnvle.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	2, 3	laut1o 41062	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		f1ocnvdm 7281	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
9		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		f1ocnvdm 7281	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	5, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
12		lautcnvle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	2, 12, 3	lautle 41061	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
14	1, 8, 11, 13	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
15		f1ocnvfv2 7273	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
16	5, 6, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
17		f1ocnvfv2 7273	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
18	5, 9, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
19	16, 18	breq12d 5115	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
20	14, 19	bitr2d 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  lecple 17396  LAutclaut 40962

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8827  df-laut 40966

This theorem is used by:  lautcnv  41067  lautj  41070  lautm  41071  ltrncnvleN  41107  ltrneq2  41125