Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautcnvle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lautcnvle 39263
Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcnvle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautcnvle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lautcnvle.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautcnvle (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘‹) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautcnvle
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
2 lautcnvle.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 lautcnvle.i . . . . . 6 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
42, 3laut1o 39259 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
54adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
6 simprl 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 f1ocnvdm 7285 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
85, 6, 7syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
9 simprr 769 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
10 f1ocnvdm 7285 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
115, 9, 10syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
12 lautcnvle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
132, 12, 3lautle 39258 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘‹) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Œ))))
141, 8, 11, 13syl12anc 833 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘‹) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Œ))))
15 f1ocnvfv2 7277 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
165, 6, 15syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
17 f1ocnvfv2 7277 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
185, 9, 17syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
1916, 18breq12d 5160 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2014, 19bitr2d 279 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘‹) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  LAutclaut 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-laut 39163
This theorem is referenced by:  lautcnv  39264  lautj  39267  lautm  39268  ltrncnvleN  39304  ltrneq2  39322
  Copyright terms: Public domain W3C validator