Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lautcnvle 37217
Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcnvle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l = (le‘𝐾)
lautcnvle.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lautcnvle (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐾𝑉𝐹𝐼))
2 lautcnvle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lautcnvle.i . . . . . 6 𝐼 = (LAut‘𝐾)
42, 3laut1o 37213 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
54adantr 483 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
6 simprl 769 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
7 f1ocnvdm 7033 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
85, 6, 7syl2anc 586 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
9 simprr 771 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
10 f1ocnvdm 7033 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)
115, 9, 10syl2anc 586 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)
12 lautcnvle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
132, 12, 3lautle 37212 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌))))
141, 8, 11, 13syl12anc 834 . 2 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌))))
15 f1ocnvfv2 7026 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
165, 6, 15syl2anc 586 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
17 f1ocnvfv2 7026 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
185, 9, 17syl2anc 586 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
1916, 18breq12d 5070 . 2 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌)) ↔ 𝑋 𝑌))
2014, 19bitr2d 282 1 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108   class class class wbr 5057  ccnv 5547  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  Basecbs 16475  lecple 16564  LAutclaut 37113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8400  df-laut 37117
This theorem is referenced by:  lautcnv  37218  lautj  37221  lautm  37222  ltrncnvleN  37258  ltrneq2  37276
  Copyright terms: Public domain W3C validator