Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lautcnvle 40072
Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcnvle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l = (le‘𝐾)
lautcnvle.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lautcnvle (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐾𝑉𝐹𝐼))
2 lautcnvle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lautcnvle.i . . . . . 6 𝐼 = (LAut‘𝐾)
42, 3laut1o 40068 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
54adantr 480 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
6 simprl 771 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
7 f1ocnvdm 7305 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
85, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
9 simprr 773 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
10 f1ocnvdm 7305 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)
115, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)
12 lautcnvle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
132, 12, 3lautle 40067 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌))))
141, 8, 11, 13syl12anc 837 . 2 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌))))
15 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
165, 6, 15syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
17 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
185, 9, 17syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
1916, 18breq12d 5161 . 2 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌)) ↔ 𝑋 𝑌))
2014, 19bitr2d 280 1 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  ccnv 5688  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  LAutclaut 39968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-laut 39972
This theorem is referenced by:  lautcnv  40073  lautj  40076  lautm  40077  ltrncnvleN  40113  ltrneq2  40131
  Copyright terms: Public domain W3C validator