Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lautcnvle 40091
Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcnvle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l = (le‘𝐾)
lautcnvle.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lautcnvle (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐾𝑉𝐹𝐼))
2 lautcnvle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lautcnvle.i . . . . . 6 𝐼 = (LAut‘𝐾)
42, 3laut1o 40087 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
54adantr 480 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
6 simprl 771 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
7 f1ocnvdm 7305 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
85, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
9 simprr 773 . . . 4 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
10 f1ocnvdm 7305 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)
115, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)
12 lautcnvle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
132, 12, 3lautle 40086 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ ((𝐹𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌))))
141, 8, 11, 13syl12anc 837 . 2 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌))))
15 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
165, 6, 15syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
17 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
185, 9, 17syl2anc 584 . . 3 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
1916, 18breq12d 5156 . 2 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐹‘(𝐹𝑋)) (𝐹‘(𝐹𝑌)) ↔ 𝑋 𝑌))
2014, 19bitr2d 280 1 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  ccnv 5684  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LAutclaut 39987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-laut 39991
This theorem is referenced by:  lautcnv  40092  lautj  40095  lautm  40096  ltrncnvleN  40132  ltrneq2  40150
  Copyright terms: Public domain W3C validator