MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnegid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvnegid 20362
Description: Addition of a vector with its negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvnegid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegid.p + = (+g𝑊)
lmodvnegid.z 0 = (0g𝑊)
lmodvnegid.n 𝑁 = (invg𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvnegid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem lmodvnegid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20327 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvnegid.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvnegid.p . . 3 + = (+g𝑊)
4 lmodvnegid.z . . 3 0 = (0g𝑊)
5 lmodvnegid.n . . 3 𝑁 = (invg𝑊)
62, 3, 4, 5grprinv 18799 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )
71, 6sylan 580 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  0gc0g 17320  Grpcgrp 18747  invgcminusg 18748  LModclmod 20320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-lmod 20322
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20363  hdmapneg  40300  lincext3  46509
  Copyright terms: Public domain W3C validator