Theorem hdmapneg 41865

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12b.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
hdmap12b.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
hdmap12b.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12b.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapneg	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Proof of Theorem hdmapneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12b.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 41611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hdmap12b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmap12b.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap12b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12b.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9	hdmapcl 41849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmap12b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
14	7, 11, 12, 13	lmodvnegid 20861	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
15	4, 10, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
16	1, 5, 3	dvhlmod 41129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
18		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
19		hdmap12b.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
20	6, 17, 18, 19	lmodvnegid 20861	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
21	16, 9, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
22	6, 19	lmodvnegcl 20860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
23	16, 9, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
24	6, 17	lmodvacl 20832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
25	16, 9, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
26	1, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25	hdmapeq0 41863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶) ↔ (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈)))
27	21, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
28	1, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23	hdmapadd 41862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))))
29	15, 27, 28	3eqtr2rd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
30	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23	hdmapcl 41849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
31	7, 13	lmodvnegcl 20860	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
32	4, 10, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
33	7, 11	lmodlcan 20834	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))) → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
34	4, 30, 32, 10, 33	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
35	29, 34	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  inv_gcminusg 18917  LModclmod 20817  HLchlt 39368  LHypclh 40003  DVecHcdvh 41097  LCDualclcd 41605  HDMapchdma 41811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-nzr 20473  df-rlreg 20654  df-domn 20655  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-lsatoms 38994  df-lshyp 38995  df-lcv 39037  df-lfl 39076  df-lkr 39104  df-ldual 39142  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tgrp 40762  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dveca 41022  df-disoa 41048  df-dvech 41098  df-dib 41158  df-dic 41192  df-dih 41248  df-doch 41367  df-djh 41414  df-lcdual 41606  df-mapd 41644  df-hvmap 41776  df-hdmap1 41812  df-hdmap 41813

This theorem is referenced by:  hdmapsub  41866