Theorem hdmapneg 42338

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12b.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
hdmap12b.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
hdmap12b.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12b.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapneg	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Proof of Theorem hdmapneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12b.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hdmap12b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmap12b.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap12b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12b.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9	hdmapcl 42322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
12		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmap12b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
14	7, 11, 12, 13	lmodvnegid 20894	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
15	4, 10, 14	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
16	1, 5, 3	dvhlmod 41602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
18		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
19		hdmap12b.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
20	6, 17, 18, 19	lmodvnegid 20894	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
21	16, 9, 20	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
22	6, 19	lmodvnegcl 20893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
23	16, 9, 22	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
24	6, 17	lmodvacl 20865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
25	16, 9, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
26	1, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25	hdmapeq0 42336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶) ↔ (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈)))
27	21, 26	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
28	1, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23	hdmapadd 42335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))))
29	15, 27, 28	3eqtr2rd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
30	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23	hdmapcl 42322	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
31	7, 13	lmodvnegcl 20893	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
32	4, 10, 31	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
33	7, 11	lmodlcan 20867	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))) → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
34	4, 30, 32, 10, 33	syl13anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
35	29, 34	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  inv_gcminusg 18901  LModclmod 20850  HLchlt 39842  LHypclh 40476  DVecHcdvh 41570  LCDualclcd 42078  HDMapchdma 42284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39445

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-nzr 20485  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lsatoms 39468  df-lshyp 39469  df-lcv 39511  df-lfl 39550  df-lkr 39578  df-ldual 39616  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-llines 39990  df-lplanes 39991  df-lvols 39992  df-lines 39993  df-psubsp 39995  df-pmap 39996  df-padd 40288  df-lhyp 40480  df-laut 40481  df-ldil 40596  df-ltrn 40597  df-trl 40651  df-tgrp 41235  df-tendo 41247  df-edring 41249  df-dveca 41495  df-disoa 41521  df-dvech 41571  df-dib 41631  df-dic 41665  df-dih 41721  df-doch 41840  df-djh 41887  df-lcdual 42079  df-mapd 42117  df-hvmap 42249  df-hdmap1 42285  df-hdmap 42286

This theorem is referenced by:  hdmapsub  42339