Theorem hdmapneg 42505

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12b.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
hdmap12b.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
hdmap12b.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12b.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapneg	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Proof of Theorem hdmapneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12b.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hdmap12b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmap12b.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap12b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12b.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9	hdmapcl 42489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmap12b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
14	7, 11, 12, 13	lmodvnegid 20999	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
15	4, 10, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
16	1, 5, 3	dvhlmod 41769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
18		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
19		hdmap12b.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
20	6, 17, 18, 19	lmodvnegid 20999	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
21	16, 9, 20	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
22	6, 19	lmodvnegcl 20998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
23	16, 9, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
24	6, 17	lmodvacl 20970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
25	16, 9, 23, 24	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
26	1, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25	hdmapeq0 42503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶) ↔ (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈)))
27	21, 26	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
28	1, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23	hdmapadd 42502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))))
29	15, 27, 28	3eqtr2rd 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
30	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23	hdmapcl 42489	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
31	7, 13	lmodvnegcl 20998	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
32	4, 10, 31	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
33	7, 11	lmodlcan 20972	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))) → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
34	4, 30, 32, 10, 33	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
35	29, 34	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  inv_gcminusg 18997  LModclmod 20955  HLchlt 40009  LHypclh 40643  DVecHcdvh 41737  LCDualclcd 42245  HDMapchdma 42451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-riotaBAD 39612

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17490  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-oppg 19412  df-lsm 19702  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20592  df-rlreg 20775  df-domn 20776  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lvec 21198  df-lsatoms 39635  df-lshyp 39636  df-lcv 39678  df-lfl 39717  df-lkr 39745  df-ldual 39783  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-llines 40157  df-lplanes 40158  df-lvols 40159  df-lines 40160  df-psubsp 40162  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-lhyp 40647  df-laut 40648  df-ldil 40763  df-ltrn 40764  df-trl 40818  df-tgrp 41402  df-tendo 41414  df-edring 41416  df-dveca 41662  df-disoa 41688  df-dvech 41738  df-dib 41798  df-dic 41832  df-dih 41888  df-doch 42007  df-djh 42054  df-lcdual 42246  df-mapd 42284  df-hvmap 42416  df-hdmap1 42452  df-hdmap 42453

This theorem is referenced by:  hdmapsub  42506