Theorem hdmapneg 42620

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12b.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
hdmap12b.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
hdmap12b.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12b.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapneg	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Proof of Theorem hdmapneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12b.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hdmap12b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmap12b.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap12b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12b.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9	hdmapcl 42604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmap12b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
14	7, 11, 12, 13	lmodvnegid 21025	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
15	4, 10, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
16	1, 5, 3	dvhlmod 41884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
19		hdmap12b.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
20	6, 17, 18, 19	lmodvnegid 21025	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
21	16, 9, 20	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
22	6, 19	lmodvnegcl 21024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
23	16, 9, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
24	6, 17	lmodvacl 20996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
25	16, 9, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
26	1, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25	hdmapeq0 42618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶) ↔ (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈)))
27	21, 26	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
28	1, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23	hdmapadd 42617	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))))
29	15, 27, 28	3eqtr2rd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
30	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23	hdmapcl 42604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
31	7, 13	lmodvnegcl 21024	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
32	4, 10, 31	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
33	7, 11	lmodlcan 20998	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))) → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
34	4, 30, 32, 10, 33	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
35	29, 34	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  inv_gcminusg 18996  LModclmod 20981  HLchlt 40124  LHypclh 40758  DVecHcdvh 41852  LCDualclcd 42360  HDMapchdma 42566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39750  df-lshyp 39751  df-lcv 39793  df-lfl 39832  df-lkr 39860  df-ldual 39898  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tgrp 41517  df-tendo 41529  df-edring 41531  df-dveca 41777  df-disoa 41803  df-dvech 41853  df-dib 41913  df-dic 41947  df-dih 42003  df-doch 42122  df-djh 42169  df-lcdual 42361  df-mapd 42399  df-hvmap 42531  df-hdmap1 42567  df-hdmap 42568

This theorem is referenced by:  hdmapsub  42621