Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapneg 38969
 Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12b.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12b.m 𝑀 = (invg𝑈)
hdmap12b.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.i 𝐼 = (invg𝐶)
hdmap12b.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap12b.x (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapneg (𝜑 → (𝑆‘(𝑀𝑇)) = (𝐼‘(𝑆𝑇)))

Proof of Theorem hdmapneg
StepHypRef Expression
1 hdmap12b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap12b.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap12b.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 38715 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hdmap12b.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmap12b.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8 hdmap12b.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap12b.x . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
101, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9hdmapcl 38953 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
11 eqid 2819 . . . . 5 (+g𝐶) = (+g𝐶)
12 eqid 2819 . . . . 5 (0g𝐶) = (0g𝐶)
13 hdmap12b.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐶)
147, 11, 12, 13lmodvnegid 19668 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝐼‘(𝑆𝑇))) = (0g𝐶))
154, 10, 14syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝐼‘(𝑆𝑇))) = (0g𝐶))
161, 5, 3dvhlmod 38233 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
17 eqid 2819 . . . . . 6 (+g𝑈) = (+g𝑈)
18 eqid 2819 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
19 hdmap12b.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝑈)
206, 17, 18, 19lmodvnegid 19668 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇)) = (0g𝑈))
2116, 9, 20syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇)) = (0g𝑈))
226, 19lmodvnegcl 19667 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑀𝑇) ∈ 𝑉)
2316, 9, 22syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑇) ∈ 𝑉)
246, 17lmodvacl 19640 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉 ∧ (𝑀𝑇) ∈ 𝑉) → (𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇)) ∈ 𝑉)
2516, 9, 23, 24syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇)) ∈ 𝑉)
261, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25hdmapeq0 38967 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇))) = (0g𝐶) ↔ (𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇)) = (0g𝑈)))
2721, 26mpbird 259 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇))) = (0g𝐶))
281, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23hdmapadd 38966 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g𝑈)(𝑀𝑇))) = ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝑆‘(𝑀𝑇))))
2915, 27, 283eqtr2rd 2861 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝑆‘(𝑀𝑇))) = ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝐼‘(𝑆𝑇))))
301, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23hdmapcl 38953 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝑀𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
317, 13lmodvnegcl 19667 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝐼‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
324, 10, 31syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
337, 11lmodlcan 19642 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘(𝑀𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝐼‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆𝑇) ∈ (Base‘𝐶))) → (((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝑆‘(𝑀𝑇))) = ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝐼‘(𝑆𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀𝑇)) = (𝐼‘(𝑆𝑇))))
344, 30, 32, 10, 33syl13anc 1366 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝑆‘(𝑀𝑇))) = ((𝑆𝑇)(+g𝐶)(𝐼‘(𝑆𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀𝑇)) = (𝐼‘(𝑆𝑇))))
3529, 34mpbid 234 1 (𝜑 → (𝑆‘(𝑀𝑇)) = (𝐼‘(𝑆𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  invgcminusg 18096  LModclmod 19626  HLchlt 36473  LHypclh 37107  DVecHcdvh 38201  LCDualclcd 38709  HDMapchdma 38915 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36076 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36099  df-lshyp 36100  df-lcv 36142  df-lfl 36181  df-lkr 36209  df-ldual 36247  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-llines 36621  df-lplanes 36622  df-lvols 36623  df-lines 36624  df-psubsp 36626  df-pmap 36627  df-padd 36919  df-lhyp 37111  df-laut 37112  df-ldil 37227  df-ltrn 37228  df-trl 37282  df-tgrp 37866  df-tendo 37878  df-edring 37880  df-dveca 38126  df-disoa 38152  df-dvech 38202  df-dib 38262  df-dic 38296  df-dih 38352  df-doch 38471  df-djh 38518  df-lcdual 38710  df-mapd 38748  df-hvmap 38880  df-hdmap1 38916  df-hdmap 38917 This theorem is referenced by:  hdmapsub  38970
 Copyright terms: Public domain W3C validator