Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapneg 40355
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12b.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap12b.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12b.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap12b.m 𝑀 = (invgβ€˜π‘ˆ)
hdmap12b.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12b.i 𝐼 = (invgβ€˜πΆ)
hdmap12b.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12b.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap12b.x (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapneg (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡)) = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡)))

Proof of Theorem hdmapneg
StepHypRef Expression
1 hdmap12b.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap12b.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap12b.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40101 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 hdmap12b.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 hdmap12b.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
8 hdmap12b.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmap12b.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
101, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9hdmapcl 40339 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
11 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
13 hdmap12b.i . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜πΆ)
147, 11, 12, 13lmodvnegid 20379 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))) = (0gβ€˜πΆ))
154, 10, 14syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))) = (0gβ€˜πΆ))
161, 5, 3dvhlmod 39619 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
17 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
18 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
19 hdmap12b.m . . . . . 6 𝑀 = (invgβ€˜π‘ˆ)
206, 17, 18, 19lmodvnegid 20379 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) β†’ (𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2116, 9, 20syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡)) = (0gβ€˜π‘ˆ))
226, 19lmodvnegcl 20378 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜π‘‡) ∈ 𝑉)
2316, 9, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) ∈ 𝑉)
246, 17lmodvacl 20351 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ (π‘€β€˜π‘‡) ∈ 𝑉) β†’ (𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡)) ∈ 𝑉)
2516, 9, 23, 24syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡)) ∈ 𝑉)
261, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25hdmapeq0 40353 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡))) = (0gβ€˜πΆ) ↔ (𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡)) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
2721, 26mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡))) = (0gβ€˜πΆ))
281, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23hdmapadd 40352 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑇(+gβ€˜π‘ˆ)(π‘€β€˜π‘‡))) = ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡))))
2915, 27, 283eqtr2rd 2780 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡))) = ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))))
301, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23hdmapcl 40339 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡)) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
317, 13lmodvnegcl 20378 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡)) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
324, 10, 31syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡)) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
337, 11lmodlcan 20353 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡)) ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡)) ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (π‘†β€˜π‘‡) ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡))) = ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))) ↔ (π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡)) = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))))
344, 30, 32, 10, 33syl13anc 1373 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡))) = ((π‘†β€˜π‘‡)(+gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))) ↔ (π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡)) = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡))))
3529, 34mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘€β€˜π‘‡)) = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  invgcminusg 18754  LModclmod 20336  HLchlt 37858  LHypclh 38493  DVecHcdvh 39587  LCDualclcd 40095  HDMapchdma 40301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-oppg 19129  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-lsatoms 37484  df-lshyp 37485  df-lcv 37527  df-lfl 37566  df-lkr 37594  df-ldual 37632  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tgrp 39252  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-dveca 39512  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738  df-doch 39857  df-djh 39904  df-lcdual 40096  df-mapd 40134  df-hvmap 40266  df-hdmap1 40302  df-hdmap 40303
This theorem is referenced by:  hdmapsub  40356
  Copyright terms: Public domain W3C validator