Theorem hdmapneg 37859

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12b.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12b.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
hdmap12b.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
hdmap12b.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12b.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12b.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapneg	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Proof of Theorem hdmapneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12b.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 37605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hdmap12b.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmap12b.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap12b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12b.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 9	hdmapcl 37843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
11		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
12		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmap12b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐶)
14	7, 11, 12, 13	lmodvnegid 19220	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
15	4, 10, 14	syl2anc 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
16	1, 5, 3	dvhlmod 37123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
18		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
19		hdmap12b.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑈)
20	6, 17, 18, 19	lmodvnegid 19220	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
21	16, 9, 20	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈))
22	6, 19	lmodvnegcl 19219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
23	16, 9, 22	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉)
24	6, 17	lmodvacl 19192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀‘𝑇) ∈ 𝑉) → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
25	16, 9, 23, 24	syl3anc 1491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) ∈ 𝑉)
26	1, 5, 6, 18, 2, 12, 8, 3, 25	hdmapeq0 37857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶) ↔ (𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇)) = (0g‘𝑈)))
27	21, 26	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = (0g‘𝐶))
28	1, 5, 6, 17, 2, 11, 8, 3, 9, 23	hdmapadd 37856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑇(+g‘𝑈)(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))))
29	15, 27, 28	3eqtr2rd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
30	1, 5, 6, 2, 7, 8, 3, 23	hdmapcl 37843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
31	7, 13	lmodvnegcl 19219	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
32	4, 10, 31	syl2anc 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶))
33	7, 11	lmodlcan 19194	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘(𝑀‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝐼‘(𝑆‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))) → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
34	4, 30, 32, 10, 33	syl13anc 1492	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝑆‘(𝑀‘𝑇))) = ((𝑆‘𝑇)(+g‘𝐶)(𝐼‘(𝑆‘𝑇))) ↔ (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇))))
35	29, 34	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑀‘𝑇)) = (𝐼‘(𝑆‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  +_gcplusg 16264  0_gc0g 16412  inv_gcminusg 17736  LModclmod 19178  HLchlt 35363  LHypclh 35997  DVecHcdvh 37091  LCDualclcd 37599  HDMapchdma 37805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-riotaBAD 34966

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-undef 7635  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-0g 16414  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-lsm 18361  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34989  df-lshyp 34990  df-lcv 35032  df-lfl 35071  df-lkr 35099  df-ldual 35137  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-llines 35511  df-lplanes 35512  df-lvols 35513  df-lines 35514  df-psubsp 35516  df-pmap 35517  df-padd 35809  df-lhyp 36001  df-laut 36002  df-ldil 36117  df-ltrn 36118  df-trl 36172  df-tgrp 36756  df-tendo 36768  df-edring 36770  df-dveca 37016  df-disoa 37042  df-dvech 37092  df-dib 37152  df-dic 37186  df-dih 37242  df-doch 37361  df-djh 37408  df-lcdual 37600  df-mapd 37638  df-hvmap 37770  df-hdmap1 37806  df-hdmap 37807

This theorem is referenced by:  hdmapsub  37860