MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvnegcl 20923
Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegcl.n 𝑁 = (invg𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvnegcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvnegcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20887 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvnegcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvnegcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝑊)
42, 3grpinvcl 19027 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
51, 4sylan 579 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cfv 6573  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  invgcminusg 18974  LModclmod 20880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-lmod 20882
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20925  lspsnneg  21027  lspsntrim  21120  baerlem5amN  41673  baerlem5bmN  41674  baerlem5abmN  41675  hdmapneg  41803  hdmapsub  41804
  Copyright terms: Public domain W3C validator