Theorem lmodvnegcl 20918

Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20882	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvnegcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvnegcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
4	2, 3	grpinvcl 19018	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  LModclmod 20875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-lmod 20877

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20920  lspsnneg  21022  lspsntrim  21115  baerlem5amN  41699  baerlem5bmN  41700  baerlem5abmN  41701  hdmapneg  41829  hdmapsub  41830