MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvnegcl 20316
Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegcl.n 𝑁 = (invg𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvnegcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvnegcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20282 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvnegcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvnegcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝑊)
42, 3grpinvcl 18758 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
51, 4sylan 580 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  Basecbs 17043  Grpcgrp 18708  invgcminusg 18709  LModclmod 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-lmod 20277
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20318  lspsnneg  20420  lspsntrim  20512  baerlem5amN  40117  baerlem5bmN  40118  baerlem5abmN  40119  hdmapneg  40247  hdmapsub  40248
  Copyright terms: Public domain W3C validator