Theorem lmodvnegcl 20739

Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20703	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvnegcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvnegcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
4	2, 3	grpinvcl 18907	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  Basecbs 17143  Grpcgrp 18853  inv_gcminusg 18854  LModclmod 20696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-lmod 20698

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20741  lspsnneg  20843  lspsntrim  20936  baerlem5amN  41077  baerlem5bmN  41078  baerlem5abmN  41079  hdmapneg  41207  hdmapsub  41208