Theorem lmodvnegcl 21088

Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 21052	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvnegcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvnegcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
4	2, 3	grpinvcl 19112	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
5	1, 4	sylan 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059  LModclmod 21045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-lmod 21047

This theorem is used by:  lmodvneg1  21090  lspsnneg  21191  lspsntrim  21283  baerlem5amN  42590  baerlem5bmN  42591  baerlem5abmN  42592  hdmapneg  42720  hdmapsub  42721