Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincext3 44879
 Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0 0 = (0g𝑅)
lincext.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincext.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincext.f 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
Assertion
Ref Expression
lincext3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp1r 1195 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑋𝑆)
433ad2ant2 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋𝑆)
5 lincext.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 lincext.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
7 lincext.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
8 lincext.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 lincext.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑀)
10 lincext.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
11 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 44877 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
13123adant3 1129 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 44878 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15143adant3r 1178 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 finSupp 0 )
16 elmapi 8413 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
1711fdmdifeqresdif 44758 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
19183ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
20193ad2ant2 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
21 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
22 eqid 2798 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑀)
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 44847 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1389 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
25 oveq1 7142 . . . . . 6 ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
2625eqcoms 2806 . . . . 5 ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
2726adantl 485 . . . 4 ((𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
28273ad2ant3 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
29 eqid 2798 . . . . . . . 8 (invg𝑀) = (invg𝑀)
30 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
31 elelpwi 4509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
3231expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
3332adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
3433com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵))
35343ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵))
3635impcom 411 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋𝐵)
37 simpr1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌𝐸)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 19674 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑁𝑌)( ·𝑠𝑀)𝑋))
39 iftrue 4431 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)) = (𝑁𝑌))
403adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋𝑆)
41 fvexd 6660 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) ∈ V)
4211, 39, 40, 41fvmptd3 6768 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹𝑋) = (𝑁𝑌))
4342eqcomd 2804 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) = (𝐹𝑋))
4443oveq1d 7150 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑁𝑌)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
4538, 44eqtr2d 2834 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)))
4645oveq2d 7151 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋))))
475, 6, 21, 7lmodvscl 19647 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐸𝑋𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
4830, 37, 36, 47syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
495, 22, 9, 29lmodvnegid 19672 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋))) = 𝑍)
5030, 48, 49syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋))) = 𝑍)
5146, 50eqtrd 2833 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = 𝑍)
52513adant3 1129 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = 𝑍)
5328, 52eqtrd 2833 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = 𝑍)
5424, 53eqtrd 2833 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391   finSupp cfsupp 8819  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  invgcminusg 18098  LModclmod 19630   linC clinc 44827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13689  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-linc 44829 This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  44880  islindeps2  44906
 Copyright terms: Public domain W3C validator