Theorem lincext3 48947

Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1204	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp1r 1205	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
4	3	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5		lincext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		lincext.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
7		lincext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
8		lincext.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		lincext.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
10		lincext.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
11		lincext.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lincext1 48945	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
13	12	3adant3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lincext2 48946	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	3adant3r 1188	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 finSupp 0 )
16		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
17	11	fdmdifeqresdif 48833	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
19	18	3ad2ant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
20	19	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
21		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
22		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	5, 6, 7, 21, 22, 8	lincdifsn 48915	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
24	1, 2, 4, 13, 15, 20, 23	syl321anc 1400	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
25		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
26	25	eqcoms 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
27	26	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
28	27	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
29		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
30		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
31		elelpwi 4539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	expcom 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵))
35	34	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵))
36	35	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37		simpr1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
38	5, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37	lmodvsneg 20896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑁‘𝑌)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))
39		iftrue 4460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) = (𝑁‘𝑌))
40	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
41		fvexd 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ V)
42	11, 39, 40, 41	fvmptd3 6959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
43	42	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) = (𝐹‘𝑋))
44	43	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑁‘𝑌)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = ((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))
45	38, 44	eqtr2d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = ((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
46	45	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))))
47	5, 6, 21, 7	lmodvscl 20868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
48	30, 37, 36, 47	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
49	5, 22, 9, 29	lmodvnegid 20894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))) = 𝑍)
50	30, 48, 49	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))) = 𝑍)
51	46, 50	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = 𝑍)
52	51	3adant3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = 𝑍)
53	28, 52	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = 𝑍)
54	24, 53	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  inv_gcminusg 18901  LModclmod 20850   linC clinc 48895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-linc 48897

This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  48948  islindeps2  48974