Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincext3 46690
Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)
Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 simp1r 1198 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
3 simp2 1137 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
433ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
5 lincext.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
6 lincext.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
7 lincext.e . . . . 5 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
8 lincext.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
9 lincext.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
10 lincext.n . . . . 5 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
11 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 46688 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
13123adant3 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 46689 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
15143adant3r 1181 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
16 elmapi 8809 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
1711fdmdifeqresdif 46570 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
19183ad2ant3 1135 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
20193ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
21 eqid 2731 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
22 eqid 2731 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 46658 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1392 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
25 oveq1 7384 . . . . . 6 ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
2625eqcoms 2739 . . . . 5 ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
2726adantl 482 . . . 4 ((𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
28273ad2ant3 1135 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
29 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
30 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
31 elelpwi 4590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3231expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3433com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
35343ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3635impcom 408 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
37 simpr1 1194 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 20438 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜π‘Œ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))
39 iftrue 4512 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 β†’ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) = (π‘β€˜π‘Œ))
403adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
41 fvexd 6877 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ V)
4211, 39, 40, 41fvmptd3 6991 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘Œ))
4342eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘‹))
4443oveq1d 7392 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))
4538, 44eqtr2d 2772 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
4645oveq2d 7393 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))))
475, 6, 21, 7lmodvscl 20411 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡)
4830, 37, 36, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡)
495, 22, 9, 29lmodvnegid 20436 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))) = 𝑍)
5030, 48, 49syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))) = 𝑍)
5146, 50eqtrd 2771 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍)
52513adant3 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍)
5328, 52eqtrd 2771 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍)
5424, 53eqtrd 2771 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3459   βˆ– cdif 3925  ifcif 4506  π’« cpw 4580  {csn 4606   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208   β†Ύ cres 5655  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787   finSupp cfsupp 9327  Basecbs 17109  +gcplusg 17162  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  0gc0g 17350  invgcminusg 18778  LModclmod 20393   linC clinc 46638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-seq 13932  df-hash 14256  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-linc 46640
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  46691  islindeps2  46717
  Copyright terms: Public domain W3C validator