Theorem lincext3 49704

Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simp1r 1217	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
4	3	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5		lincext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		lincext.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
7		lincext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
8		lincext.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		lincext.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
10		lincext.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
11		lincext.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lincext1 49702	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
13	12	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lincext2 49703	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	3adant3r 1200	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 finSupp 0 )
16		elmapi 8877	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
17	11	fdmdifeqresdif 49590	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
19	18	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
20	19	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	5, 6, 7, 21, 22, 8	lincdifsn 49672	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
24	1, 2, 4, 13, 15, 20, 23	syl321anc 1419	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
25		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
26	25	eqcoms 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
27	26	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
28	27	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
29		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
30		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
31		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	expcom 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
33	32	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
34	33	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵))
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵))
36	35	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37		simpr1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
38	5, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37	lmodvsneg 21190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑁‘𝑌)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))
39		iftrue 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) = (𝑁‘𝑌))
40	3	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋 ∈ 𝑆)
41		fvexd 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ V)
42	11, 39, 40, 41	fvmptd3 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
43	42	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) = (𝐹‘𝑋))
44	43	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑁‘𝑌)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = ((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))
45	38, 44	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = ((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)))
46	45	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))))
47	5, 6, 21, 7	lmodvscl 21162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
48	30, 37, 36, 47	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
49	5, 22, 9, 29	lmodvnegid 21188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))) = 𝑍)
50	30, 48, 49	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((invg‘𝑀)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋))) = 𝑍)
51	46, 50	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = 𝑍)
52	51	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = 𝑍)
53	28, 52	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g‘𝑀)((𝐹‘𝑋)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋)) = 𝑍)
54	24, 53	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5653  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  0_gc0g 17619  inv_gcminusg 19154  LModclmod 21144   linC clinc 49652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-linc 49654

This theorem is used by:  lindslinindsimp1  49705  islindeps2  49731