Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincext3 47224
Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)
Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1195 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 simp1r 1196 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
3 simp2 1135 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
433ad2ant2 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
5 lincext.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
6 lincext.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
7 lincext.e . . . . 5 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
8 lincext.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
9 lincext.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
10 lincext.n . . . . 5 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
11 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 47222 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
13123adant3 1130 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 47223 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
15143adant3r 1179 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
16 elmapi 8845 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
1711fdmdifeqresdif 47105 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
19183ad2ant3 1133 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
20193ad2ant2 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
21 eqid 2730 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
22 eqid 2730 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 47192 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1390 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
25 oveq1 7418 . . . . . 6 ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
2625eqcoms 2738 . . . . 5 ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
2726adantl 480 . . . 4 ((𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
28273ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
29 eqid 2730 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
30 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
31 elelpwi 4611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3231expcom 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3433com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
35343ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3635impcom 406 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
37 simpr1 1192 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 20660 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜π‘Œ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))
39 iftrue 4533 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 β†’ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) = (π‘β€˜π‘Œ))
403adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
41 fvexd 6905 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ V)
4211, 39, 40, 41fvmptd3 7020 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘Œ))
4342eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘‹))
4443oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))
4538, 44eqtr2d 2771 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
4645oveq2d 7427 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))))
475, 6, 21, 7lmodvscl 20632 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡)
4830, 37, 36, 47syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡)
495, 22, 9, 29lmodvnegid 20658 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))) = 𝑍)
5030, 48, 49syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜(π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))) = 𝑍)
5146, 50eqtrd 2770 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍)
52513adant3 1130 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍)
5328, 52eqtrd 2770 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍)
5424, 53eqtrd 2770 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  invgcminusg 18856  LModclmod 20614   linC clinc 47172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-linc 47174
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  47225  islindeps2  47251
  Copyright terms: Public domain W3C validator