Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincext3 46527
Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0 0 = (0g𝑅)
lincext.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincext.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincext.f 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
Assertion
Ref Expression
lincext3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp1r 1198 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑋𝑆)
433ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋𝑆)
5 lincext.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 lincext.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
7 lincext.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
8 lincext.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 lincext.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑀)
10 lincext.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
11 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 46525 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
13123adant3 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 46526 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15143adant3r 1181 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 finSupp 0 )
16 elmapi 8787 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
1711fdmdifeqresdif 46407 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
19183ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
20193ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
21 eqid 2736 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
22 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑀)
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 46495 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1392 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
25 oveq1 7364 . . . . . 6 ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
2625eqcoms 2744 . . . . 5 ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
2726adantl 482 . . . 4 ((𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
28273ad2ant3 1135 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)))
29 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invg𝑀) = (invg𝑀)
30 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑀 ∈ LMod)
31 elelpwi 4570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
3231expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
3433com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵))
35343ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵))
3635impcom 408 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋𝐵)
37 simpr1 1194 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌𝐸)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 20366 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑁𝑌)( ·𝑠𝑀)𝑋))
39 iftrue 4492 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)) = (𝑁𝑌))
403adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑋𝑆)
41 fvexd 6857 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) ∈ V)
4211, 39, 40, 41fvmptd3 6971 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹𝑋) = (𝑁𝑌))
4342eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) = (𝐹𝑋))
4443oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑁𝑌)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
4538, 44eqtr2d 2777 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)))
4645oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋))))
475, 6, 21, 7lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐸𝑋𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
4830, 37, 36, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ 𝐵)
495, 22, 9, 29lmodvnegid 20364 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋))) = 𝑍)
5030, 48, 49syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((invg𝑀)‘(𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋))) = 𝑍)
5146, 50eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = 𝑍)
52513adant3 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋)(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = 𝑍)
5328, 52eqtrd 2776 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋}))(+g𝑀)((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋)) = 𝑍)
5424, 53eqtrd 2776 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 finSupp 0 ∧ (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑋) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  invgcminusg 18749  LModclmod 20322   linC clinc 46475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-linc 46477
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  46528  islindeps2  46554
  Copyright terms: Public domain W3C validator