Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmfg 39075
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2779 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21ressid 16415 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3 lnmlmod 39072 . . . 4 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4 eqid 2779 . . . . 5 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
51, 4lss1 19432 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
63, 5syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7 eqid 2779 . . . 4 (𝑀s (Base‘𝑀)) = (𝑀s (Base‘𝑀))
84, 7lnmlssfg 39073 . . 3 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
96, 8mpdan 674 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
102, 9eqeltrrd 2868 1 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2050  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  s cress 16340  LModclmod 19356  LSubSpclss 19425  LFinGenclfig 39060  LNoeMclnm 39068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-ress 16347  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lnm 39069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator