Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmfg 43094
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21ressid 17290 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3 lnmlmod 43091 . . . 4 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
51, 4lss1 20936 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
63, 5syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7 eqid 2737 . . . 4 (𝑀s (Base‘𝑀)) = (𝑀s (Base‘𝑀))
84, 7lnmlssfg 43092 . . 3 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
96, 8mpdan 687 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
102, 9eqeltrrd 2842 1 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LFinGenclfig 43079  LNoeMclnm 43087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-ress 17275  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lnm 43088
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator