Theorem lnmfg 43075

Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lnmfg	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	ressid 17174	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3		lnmlmod 43072	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
5	1, 4	lss1 20860	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = (𝑀 ↾s (Base‘𝑀))
8	4, 7	lnmlssfg 43073	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
9	6, 8	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
10	2, 9	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LFinGenclfig 43060  LNoeMclnm 43068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-ress 17161  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lnm 43069

This theorem is referenced by: (None)