Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmfg 43659
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2762 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21ressid 17280 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3 lnmlmod 43656 . . . 4 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4 eqid 2762 . . . . 5 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
51, 4lss1 21005 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
63, 5syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7 eqid 2762 . . . 4 (𝑀s (Base‘𝑀)) = (𝑀s (Base‘𝑀))
84, 7lnmlssfg 43657 . . 3 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
96, 8mpdan 697 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
102, 9eqeltrrd 2863 1 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2142  cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  s cress 17266  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998  LFinGenclfig 43644  LNoeMclnm 43652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-ress 17267  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lnm 43653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator