Theorem lnmfg 43988

Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lnmfg	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	ressid 17361	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3		lnmlmod 43985	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
5	1, 4	lss1 21152	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = (𝑀 ↾s (Base‘𝑀))
8	4, 7	lnmlssfg 43986	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
9	6, 8	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
10	2, 9	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326   ↾_s cress 17347  LModclmod 21074  LSubSpclss 21145  LFinGenclfig 43973  LNoeMclnm 43981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-ress 17348  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lnm 43982

This theorem is used by: (None)