Theorem lnmfg 42778

Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lnmfg	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	ressid 17251	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3		lnmlmod 42775	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
5	1, 4	lss1 20909	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = (𝑀 ↾s (Base‘𝑀))
8	4, 7	lnmlssfg 42776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
9	6, 8	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
10	2, 9	eqeltrrd 2827	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206   ↾_s cress 17235  LModclmod 20830  LSubSpclss 20902  LFinGenclfig 42763  LNoeMclnm 42771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ress 17236  df-0g 17449  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-grp 18924  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-lnm 42772

This theorem is referenced by: (None)