Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmfg 41438
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21ressid 17132 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3 lnmlmod 41435 . . . 4 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
51, 4lss1 20415 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
63, 5syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7 eqid 2737 . . . 4 (𝑀s (Base‘𝑀)) = (𝑀s (Base‘𝑀))
84, 7lnmlssfg 41436 . . 3 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
96, 8mpdan 686 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
102, 9eqeltrrd 2839 1 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  s cress 17119  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LFinGenclfig 41423  LNoeMclnm 41431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-ress 17120  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lnm 41432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator