Theorem lnmfg 43071

Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lnmfg	⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	ressid 17290	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3		lnmlmod 43068	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
5	1, 4	lss1 20954	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) = (𝑀 ↾s (Base‘𝑀))
8	4, 7	lnmlssfg 43069	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
9	6, 8	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀 ↾s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
10	2, 9	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LFinGenclfig 43056  LNoeMclnm 43064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-ress 17275  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lnm 43065

This theorem is referenced by: (None)