Theorem lnmlsslnm 41808

Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnmlssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r	⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lnmlsslnm	⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 41806	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2		lnmlssfg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)
3		lnmlssfg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lsslmod 20563	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
6	2	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑎) = ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎)
7		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
10	8, 9	lssss 20539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	12, 3	lssss 20539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
14	2, 12	ressbas2 17178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
17	11, 16	sseqtrrd 4022	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ 𝑈)
18		ressabs 17190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
19	7, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
20	6, 19	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
21		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
22	2, 3, 9	lsslss 20564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
23	1, 22	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
24	23	simprbda 499	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
25		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎)
26	3, 25	lnmlssfg 41807	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	21, 24, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
28	20, 27	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
29	28	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
30	9	islnm 41804	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
31	5, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LFinGenclfig 41794  LNoeMclnm 41802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lnm 41803

This theorem is referenced by: (None)