Theorem lnmlsslnm 44026

Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnmlssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r	⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lnmlsslnm	⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 44024	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2		lnmlssfg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)
3		lnmlssfg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lsslmod 21196	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
6	2	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑎) = ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎)
7		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
10	8, 9	lssss 21172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	12, 3	lssss 21172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
14	2, 12	ressbas2 17377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
17	11, 16	sseqtrrd 3967	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ 𝑈)
18		ressabs 17387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
19	7, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
20	6, 19	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
21		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
22	2, 3, 9	lsslss 21197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
23	1, 22	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
24	23	simprbda 504	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎)
26	3, 25	lnmlssfg 44025	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	21, 24, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
28	20, 27	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
29	28	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
30	9	islnm 44022	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
31	5, 29, 30	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  LModclmod 21096  LSubSpclss 21167  LFinGenclfig 44012  LNoeMclnm 44020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lnm 44021

This theorem is used by: (None)