Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlsslnm 42570
Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 42568 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2 lnmlssfg.r . . . 4 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
3 lnmlssfg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
42, 3lsslmod 20848 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
51, 4sylan 578 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
62oveq1i 7426 . . . . 5 (𝑅s 𝑎) = ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎)
7 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈𝑆)
8 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
108, 9lssss 20824 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
1110adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1312, 3lssss 20824 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
142, 12ressbas2 17217 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈 = (Base‘𝑅))
1615ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1711, 16sseqtrrd 4014 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑈)
18 ressabs 17229 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑎𝑈) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
197, 17, 18syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
206, 19eqtrid 2777 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
21 simpll 765 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
222, 3, 9lsslss 20849 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
231, 22sylan 578 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
2423simprbda 497 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑆)
25 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑀s 𝑎) = (𝑀s 𝑎)
263, 25lnmlssfg 42569 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎𝑆) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2721, 24, 26syl2anc 582 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2820, 27eqeltrd 2825 . . 3 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
2928ralrimiva 3136 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
309islnm 42566 . 2 (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen))
315, 29, 30sylanbrc 581 1 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wss 3939  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  s cress 17208  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LFinGenclfig 42556  LNoeMclnm 42564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lnm 42565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator