Theorem lnmlsslnm 43539

Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnmlssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r	⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lnmlsslnm	⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 43537	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2		lnmlssfg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)
3		lnmlssfg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lsslmod 20953	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
6	2	oveq1i 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑎) = ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎)
7		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
10	8, 9	lssss 20929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
11	10	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	12, 3	lssss 20929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
14	2, 12	ressbas2 17203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antlr 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
17	11, 16	sseqtrrd 3953	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ 𝑈)
18		ressabs 17213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
19	7, 17, 18	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
20	6, 19	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
21		simpll 773	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
22	2, 3, 9	lsslss 20954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
23	1, 22	sylan 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
24	23	simprbda 500	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
25		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎)
26	3, 25	lnmlssfg 43538	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	21, 24, 26	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
28	20, 27	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
29	28	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
30	9	islnm 43535	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
31	5, 29, 30	sylanbrc 590	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  LModclmod 20853  LSubSpclss 20924  LFinGenclfig 43525  LNoeMclnm 43533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lnm 43534

This theorem is referenced by: (None)