Theorem lnmlsslnm 43072

Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnmlssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r	⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lnmlsslnm	⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 43070	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2		lnmlssfg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)
3		lnmlssfg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lsslmod 20922	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
6	2	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑎) = ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎)
7		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
10	8, 9	lssss 20898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	12, 3	lssss 20898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
14	2, 12	ressbas2 17264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
17	11, 16	sseqtrrd 4001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ 𝑈)
18		ressabs 17274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
19	7, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
20	6, 19	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
21		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
22	2, 3, 9	lsslss 20923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
23	1, 22	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
24	23	simprbda 498	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎)
26	3, 25	lnmlssfg 43071	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	21, 24, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
28	20, 27	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
29	28	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
30	9	islnm 43068	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
31	5, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LFinGenclfig 43058  LNoeMclnm 43066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lnm 43067

This theorem is referenced by: (None)