Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlsslnm 39671
Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 39669 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2 lnmlssfg.r . . . 4 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
3 lnmlssfg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
42, 3lsslmod 19724 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
51, 4sylan 582 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
62oveq1i 7158 . . . . 5 (𝑅s 𝑎) = ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎)
7 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈𝑆)
8 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
108, 9lssss 19700 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
1110adantl 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1312, 3lssss 19700 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
142, 12ressbas2 16547 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈 = (Base‘𝑅))
1615ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1711, 16sseqtrrd 4006 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑈)
18 ressabs 16555 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑎𝑈) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
197, 17, 18syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
206, 19syl5eq 2866 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
21 simpll 765 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
222, 3, 9lsslss 19725 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
231, 22sylan 582 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
2423simprbda 501 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑆)
25 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑀s 𝑎) = (𝑀s 𝑎)
263, 25lnmlssfg 39670 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎𝑆) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2721, 24, 26syl2anc 586 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2820, 27eqeltrd 2911 . . 3 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
2928ralrimiva 3180 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
309islnm 39667 . 2 (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen))
315, 29, 30sylanbrc 585 1 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wss 3934  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  s cress 16476  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LFinGenclfig 39657  LNoeMclnm 39665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lnm 39666
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator