Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlsslnm 42401
Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 42399 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2 lnmlssfg.r . . . 4 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
3 lnmlssfg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
42, 3lsslmod 20807 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
51, 4sylan 579 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
62oveq1i 7415 . . . . 5 (𝑅s 𝑎) = ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎)
7 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈𝑆)
8 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
108, 9lssss 20783 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
1110adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1312, 3lssss 20783 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
142, 12ressbas2 17191 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈 = (Base‘𝑅))
1615ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1711, 16sseqtrrd 4018 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑈)
18 ressabs 17203 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑎𝑈) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
197, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
206, 19eqtrid 2778 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
21 simpll 764 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
222, 3, 9lsslss 20808 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
231, 22sylan 579 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
2423simprbda 498 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑆)
25 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑀s 𝑎) = (𝑀s 𝑎)
263, 25lnmlssfg 42400 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎𝑆) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2721, 24, 26syl2anc 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2820, 27eqeltrd 2827 . . 3 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
2928ralrimiva 3140 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
309islnm 42397 . 2 (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen))
315, 29, 30sylanbrc 582 1 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wss 3943  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  s cress 17182  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LFinGenclfig 42387  LNoeMclnm 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lnm 42396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator