Theorem ressid 17299

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3959	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6895	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17289	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-ress 17286

This theorem is referenced by:  ressval3d  17301  submgmid  18759  submid  18863  subgid  19189  gaid2  19368  subrngid  20648  subrgid  20672  sdrgid  20895  rlmval2  21313  rlmsca  21319  rlmsca2  21320  pjff  21862  dsmmfi  21888  frlmip  21928  evlrhm  22252  evlsscasrng  22256  evlsvarsrng  22258  evlsevl  22283  evlvvval  22284  evl1sca  22494  evl1var  22496  evls1scasrng  22499  evls1varsrng  22500  pf1ind  22515  evl1gsumadd  22518  evl1varpw  22521  ressply1evl  22530  cnstrcvs  25300  cncvs  25304  rlmbn  25520  ishl2  25529  rrxprds  25548  dchrptlem2  27429  evl1fpws  33854  evlextv  33932  resssra  33977  qusdimsum  34018  fldextid  34049  riccrng1  43309  ricdrng1  43316  evlvvvallem  43339  mhphf4  43352  lnmfg  43829  lmhmfgsplit  43833  pwslnmlem2  43840  simpcntrab  47604