Theorem ressid 17171

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6848	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17161	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1454	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-ress 17158

This theorem is referenced by:  ressval3d  17173  submgmid  18631  submid  18735  subgid  19058  gaid2  19232  subrngid  20482  subrgid  20506  sdrgid  20725  rlmval2  21144  rlmsca  21150  rlmsca2  21151  pjff  21667  dsmmfi  21693  frlmip  21733  evlrhm  22056  evlsscasrng  22060  evlsvarsrng  22062  evl1sca  22278  evl1var  22280  evls1scasrng  22283  evls1varsrng  22284  pf1ind  22299  evl1gsumadd  22302  evl1varpw  22305  ressply1evl  22314  cnstrcvs  25097  cncvs  25101  rlmbn  25317  ishl2  25326  rrxprds  25345  dchrptlem2  27232  evl1fpws  33645  evlextv  33707  resssra  33743  rgmoddimOLD  33767  qusdimsum  33785  fldextid  33816  riccrng1  42786  ricdrng1  42793  evlsevl  42827  evlvvval  42828  evlvvvallem  42829  mhphf4  42853  lnmfg  43334  lmhmfgsplit  43338  pwslnmlem2  43345  simpcntrab  47124