Theorem ressid 16796

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3923	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6731	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 16788	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1454	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-ress 16785

This theorem is referenced by:  ressval3d  16798  submid  18237  subgid  18545  gaid2  18697  subrgid  19802  sdrgid  19840  rlmval2  20231  rlmsca  20237  rlmsca2  20238  pjff  20674  dsmmfi  20700  frlmip  20740  evlrhm  21056  evlsscasrng  21057  evlsvarsrng  21059  evl1sca  21250  evl1var  21252  evls1scasrng  21255  evls1varsrng  21256  pf1ind  21271  evl1gsumadd  21274  evl1varpw  21277  cnstrcvs  24038  cncvs  24042  rlmbn  24258  ishl2  24267  rrxprds  24286  dchrptlem2  26146  rgmoddim  31407  qusdimsum  31423  fldextid  31448  lnmfg  40610  lmhmfgsplit  40614  pwslnmlem2  40621  simpcntrab  44058  submgmid  45020