Theorem ressid 17169

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3954	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6846	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17159	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1454	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-ress 17156

This theorem is referenced by:  ressval3d  17171  submgmid  18629  submid  18733  subgid  19056  gaid2  19230  subrngid  20480  subrgid  20504  sdrgid  20723  rlmval2  21142  rlmsca  21148  rlmsca2  21149  pjff  21665  dsmmfi  21691  frlmip  21731  evlrhm  22054  evlsscasrng  22058  evlsvarsrng  22060  evl1sca  22276  evl1var  22278  evls1scasrng  22281  evls1varsrng  22282  pf1ind  22297  evl1gsumadd  22300  evl1varpw  22303  ressply1evl  22312  cnstrcvs  25095  cncvs  25099  rlmbn  25315  ishl2  25324  rrxprds  25343  dchrptlem2  27230  evl1fpws  33594  evlextv  33656  resssra  33692  rgmoddimOLD  33716  qusdimsum  33734  fldextid  33765  riccrng1  42718  ricdrng1  42725  evlsevl  42759  evlvvval  42760  evlvvvallem  42761  mhphf4  42785  lnmfg  43266  lmhmfgsplit  43270  pwslnmlem2  43277  simpcntrab  47056