Theorem ressid 17328

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3960	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6899	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17318	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-ress 17315

This theorem is used by:  ressval3d  17330  submgmid  18798  submid  18907  subgid  19240  gaid2  19419  subrngid  20700  subrgid  20724  sdrgid  20947  rlmval2  21365  rlmsca  21371  rlmsca2  21372  pjff  21914  dsmmfi  21940  frlmip  21980  evlrhm  22304  evlsscasrng  22308  evlsvarsrng  22310  evlsevl  22335  evlvvval  22336  evl1sca  22546  evl1var  22548  evls1scasrng  22551  evls1varsrng  22552  pf1ind  22567  evl1gsumadd  22570  evl1varpw  22573  ressply1evl  22582  cnstrcvs  25353  cncvs  25357  rlmbn  25573  ishl2  25582  rrxprds  25601  dchrptlem2  27482  evl1fpws  33920  evlextv  33998  resssra  34043  qusdimsum  34084  fldextid  34115  riccrng1  43349  ricdrng1  43356  evlvvvallem  43379  mhphf4  43392  lnmfg  43869  lmhmfgsplit  43873  pwslnmlem2  43880  simpcntrab  47644