Theorem ressid 17422

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6899	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17412	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-ress 17409

This theorem is used by:  ressval3d  17424  submgmid  18895  submid  19005  subgid  19338  gaid2  19517  subrngid  20801  subrgid  20825  sdrgid  21049  rlmval2  21467  rlmsca  21473  rlmsca2  21474  pjff  22018  dsmmfi  22044  frlmip  22084  evlrhm  22410  evlsscasrng  22414  evlsvarsrng  22416  evlsevl  22441  evlvvval  22442  evl1sca  22652  evl1var  22654  evls1scasrng  22657  evls1varsrng  22658  pf1ind  22673  evl1gsumadd  22676  evl1varpw  22679  ressply1evl  22688  cnstrcvs  25462  cncvs  25466  rlmbn  25682  ishl2  25691  rrxprds  25710  dchrptlem2  27592  evl1fpws  34096  evlextv  34174  resssra  34219  qusdimsum  34260  fldextid  34291  riccrng1  43582  ricdrng1  43592  evlvvvallem  43615  mhphf4  43628  lnmfg  44083  lmhmfgsplit  44087  pwslnmlem2  44094  simpcntrab  47879