Theorem ressid 17466

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3935	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6930	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17456	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1482	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-ress 17453

This theorem is used by:  ressval3d  17468  submgmid  18945  submid  19055  subgid  19388  gaid2  19568  subrngid  20852  subrgid  20876  sdrgid  21100  rlmval2  21518  rlmsca  21524  rlmsca2  21525  pjff  22073  dsmmfi  22099  frlmip  22139  evlrhm  22465  evlsscasrng  22469  evlsvarsrng  22471  evlsevl  22496  evlvvval  22497  evl1sca  22707  evl1var  22709  evls1scasrng  22712  evls1varsrng  22713  pf1ind  22728  evl1gsumadd  22731  evl1varpw  22734  ressply1evl  22743  cnstrcvs  25517  cncvs  25521  rlmbn  25737  ishl2  25746  rrxprds  25765  dchrptlem2  27649  evl1fpws  34199  evlextv  34285  resssra  34330  qusdimsum  34371  fldextid  34402  riccrng1  43848  ricdrng1  43858  evlvvvallem  43881  mhphf4  43894  lnmfg  44350  lmhmfgsplit  44354  pwslnmlem2  44361  simpcntrab  48153