Theorem ressid 17434

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3934	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6907	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17424	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-ress 17421

This theorem is used by:  ressval3d  17436  submgmid  18907  submid  19017  subgid  19350  gaid2  19529  subrngid  20813  subrgid  20837  sdrgid  21061  rlmval2  21479  rlmsca  21485  rlmsca2  21486  pjff  22030  dsmmfi  22056  frlmip  22096  evlrhm  22422  evlsscasrng  22426  evlsvarsrng  22428  evlsevl  22453  evlvvval  22454  evl1sca  22664  evl1var  22666  evls1scasrng  22669  evls1varsrng  22670  pf1ind  22685  evl1gsumadd  22688  evl1varpw  22691  ressply1evl  22700  cnstrcvs  25474  cncvs  25478  rlmbn  25694  ishl2  25703  rrxprds  25722  dchrptlem2  27604  evl1fpws  34149  evlextv  34227  resssra  34272  qusdimsum  34313  fldextid  34344  riccrng1  43722  ricdrng1  43732  evlvvvallem  43755  mhphf4  43768  lnmfg  44224  lmhmfgsplit  44228  pwslnmlem2  44235  simpcntrab  48019