Theorem ressid 17304

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3967	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6896	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17294	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1478	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-ress 17291

This theorem is referenced by:  ressval3d  17306  submgmid  18764  submid  18868  subgid  19194  gaid2  19373  subrngid  20634  subrgid  20658  sdrgid  20873  rlmval2  21291  rlmsca  21297  rlmsca2  21298  pjff  21831  dsmmfi  21857  frlmip  21897  evlrhm  22221  evlsscasrng  22225  evlsvarsrng  22227  evlsevl  22252  evlvvval  22253  evl1sca  22463  evl1var  22465  evls1scasrng  22468  evls1varsrng  22469  pf1ind  22484  evl1gsumadd  22487  evl1varpw  22490  ressply1evl  22499  cnstrcvs  25269  cncvs  25273  rlmbn  25489  ishl2  25498  rrxprds  25517  dchrptlem2  27395  evl1fpws  33799  evlextv  33877  resssra  33922  qusdimsum  33963  fldextid  33994  riccrng1  43181  ricdrng1  43188  evlvvvallem  43211  mhphf4  43224  lnmfg  43701  lmhmfgsplit  43705  pwslnmlem2  43712  simpcntrab  47476