Theorem ressid 17280

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6881	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17270	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1473	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-ress 17267

This theorem is referenced by:  ressval3d  17282  submgmid  18740  submid  18844  subgid  19170  gaid2  19343  subrngid  20599  subrgid  20623  sdrgid  20841  rlmval2  21259  rlmsca  21265  rlmsca2  21266  pjff  21764  dsmmfi  21790  frlmip  21830  evlrhm  22154  evlsscasrng  22158  evlsvarsrng  22160  evlsevl  22185  evlvvval  22186  evl1sca  22397  evl1var  22399  evls1scasrng  22402  evls1varsrng  22403  pf1ind  22418  evl1gsumadd  22421  evl1varpw  22424  ressply1evl  22433  cnstrcvs  25203  cncvs  25207  rlmbn  25423  ishl2  25432  rrxprds  25451  dchrptlem2  27329  evl1fpws  33760  evlextv  33839  resssra  33884  qusdimsum  33925  fldextid  33956  riccrng1  43139  ricdrng1  43146  evlvvvallem  43169  mhphf4  43182  lnmfg  43659  lmhmfgsplit  43663  pwslnmlem2  43670  simpcntrab  47444