Theorem ressid 17339

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6893	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17329	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ress 17326

This theorem is used by:  ressval3d  17341  submgmid  18811  submid  18921  subgid  19254  gaid2  19433  subrngid  20714  subrgid  20738  sdrgid  20961  rlmval2  21379  rlmsca  21385  rlmsca2  21386  pjff  21928  dsmmfi  21954  frlmip  21994  evlrhm  22320  evlsscasrng  22324  evlsvarsrng  22326  evlsevl  22351  evlvvval  22352  evl1sca  22562  evl1var  22564  evls1scasrng  22567  evls1varsrng  22568  pf1ind  22583  evl1gsumadd  22586  evl1varpw  22589  ressply1evl  22598  cnstrcvs  25372  cncvs  25376  rlmbn  25592  ishl2  25601  rrxprds  25620  dchrptlem2  27504  evl1fpws  33977  evlextv  34055  resssra  34100  qusdimsum  34141  fldextid  34172  riccrng1  43406  ricdrng1  43413  evlvvvallem  43436  mhphf4  43449  lnmfg  43926  lmhmfgsplit  43930  pwslnmlem2  43937  simpcntrab  47701