Theorem ressid 17214

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6854	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17204	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1455	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-ress 17201

This theorem is referenced by:  ressval3d  17216  submgmid  18674  submid  18778  subgid  19104  gaid2  19278  subrngid  20526  subrgid  20550  sdrgid  20769  rlmval2  21187  rlmsca  21193  rlmsca2  21194  pjff  21692  dsmmfi  21718  frlmip  21758  evlrhm  22079  evlsscasrng  22083  evlsvarsrng  22085  evl1sca  22299  evl1var  22301  evls1scasrng  22304  evls1varsrng  22305  pf1ind  22320  evl1gsumadd  22323  evl1varpw  22326  ressply1evl  22335  cnstrcvs  25108  cncvs  25112  rlmbn  25328  ishl2  25337  rrxprds  25356  dchrptlem2  27228  evl1fpws  33624  evlextv  33686  resssra  33731  qusdimsum  33772  fldextid  33803  riccrng1  42966  ricdrng1  42973  evlsevl  43007  evlvvval  43008  evlvvvallem  43009  mhphf4  43033  lnmfg  43510  lmhmfgsplit  43514  pwslnmlem2  43521  simpcntrab  47298