Theorem ressid 17308

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3959	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6895	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 17298	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-ress 17295

This theorem is used by:  ressval3d  17310  submgmid  18768  submid  18872  subgid  19198  gaid2  19377  subrngid  20657  subrgid  20681  sdrgid  20904  rlmval2  21322  rlmsca  21328  rlmsca2  21329  pjff  21871  dsmmfi  21897  frlmip  21937  evlrhm  22261  evlsscasrng  22265  evlsvarsrng  22267  evlsevl  22292  evlvvval  22293  evl1sca  22503  evl1var  22505  evls1scasrng  22508  evls1varsrng  22509  pf1ind  22524  evl1gsumadd  22527  evl1varpw  22530  ressply1evl  22539  cnstrcvs  25309  cncvs  25313  rlmbn  25529  ishl2  25538  rrxprds  25557  dchrptlem2  27438  evl1fpws  33863  evlextv  33941  resssra  33986  qusdimsum  34027  fldextid  34058  riccrng1  43317  ricdrng1  43324  evlvvvallem  43347  mhphf4  43360  lnmfg  43837  lmhmfgsplit  43841  pwslnmlem2  43848  simpcntrab  47612