Theorem kercvrlsm 42280

Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kercvrlsm.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
kercvrlsm.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
kercvrlsm.cv	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
kercvrlsm	⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kercvrlsm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		lmhmlmod1 20866	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
4		kercvrlsm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
5		kercvrlsm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
6		kercvrlsm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
7	4, 5, 6	lmhmkerlss 20884	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
9		kercvrlsm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
10		kercvrlsm.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
11	6, 10	lsmcl 20916	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
12	3, 8, 9, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
13		kercvrlsm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14	13, 6	lssss 20768	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
16		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17	13, 16	lmhmf 20867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19	18	ffnd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
20		fnfvelrn 7072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
21	19, 20	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
22		kercvrlsm.cv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
24	21, 23	eleqtrrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷))
25	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
26	13, 6	lssss 20768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑈 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
27	9, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
29		fvelimab 6954	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
30	25, 28, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
31	24, 30	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
32		lmodgrp 20698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
33	3, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
35		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
36	27	sselda 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
37	36	adantrl 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
38		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
39		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
40	13, 38, 39	grpnpcan 18947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
41	34, 35, 37, 40	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
43	3	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
44	13, 6	lssss 20768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
46	45	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐾 ⊆ 𝐵)
47	27	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
48		eqcom 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
49		lmghm 20864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
52	13, 5, 4, 39	ghmeqker 19153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
53	51, 35, 37, 52	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
54	48, 53	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
55	54	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
56		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
57	13, 38, 10	lsmelvalix 19546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
58	43, 46, 47, 55, 56, 57	syl32anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
59	42, 58	eqeltrrd 2826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
61	60	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
62	61	rexlimdva 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
63	31, 62	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
64	15, 63	eqelssd 3995	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3940  {csn 4620  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667   “ cima 5669   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18850  -_gcsg 18852   GrpHom cghm 19123  LSSumclsm 19539  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763   LMHom clmhm 20852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lmhm 20855

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  42283