Theorem kercvrlsm 39690

Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kercvrlsm.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
kercvrlsm.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
kercvrlsm.cv	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
kercvrlsm	⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kercvrlsm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		lmhmlmod1 19807	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
4		kercvrlsm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
5		kercvrlsm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
6		kercvrlsm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
7	4, 5, 6	lmhmkerlss 19825	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
9		kercvrlsm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
10		kercvrlsm.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
11	6, 10	lsmcl 19857	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
12	3, 8, 9, 11	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
13		kercvrlsm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14	13, 6	lssss 19710	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
16		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17	13, 16	lmhmf 19808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19	18	ffnd 6517	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
20		fnfvelrn 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
21	19, 20	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
22		kercvrlsm.cv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
23	22	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
24	21, 23	eleqtrrd 2918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷))
25	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
26	13, 6	lssss 19710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑈 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
27	9, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
28	27	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
29		fvelimab 6739	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
30	25, 28, 29	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
31	24, 30	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
32		lmodgrp 19643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
33	3, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34	33	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
35		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
36	27	sselda 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
37	36	adantrl 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
38		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
39		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
40	13, 38, 39	grpnpcan 18193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
41	34, 35, 37, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
42	41	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
43	3	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
44	13, 6	lssss 19710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐾 ⊆ 𝐵)
47	27	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
48		eqcom 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
49		lmghm 19805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
51	50	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
52	13, 5, 4, 39	ghmeqker 18387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
53	51, 35, 37, 52	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
54	48, 53	syl5bb 285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
55	54	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
56		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
57	13, 38, 10	lsmelvalix 18768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
58	43, 46, 47, 55, 56, 57	syl32anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
59	42, 58	eqeltrrd 2916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
60	59	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
61	60	anassrs 470	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
62	61	rexlimdva 3286	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
63	31, 62	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
64	15, 63	eqelssd 3990	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ^◡ccnv 5556  ran crn 5558   “ cima 5560   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  -_gcsg 18107   GrpHom cghm 18357  LSSumclsm 18761  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705   LMHom clmhm 19793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lmhm 19796

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  39693