Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kercvrlsm 40428
 Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z 0 = (0g𝑇)
kercvrlsm.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d (𝜑𝐷𝑈)
kercvrlsm.cv (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 19878 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
4 kercvrlsm.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
5 kercvrlsm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑇)
6 kercvrlsm.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
74, 5, 6lmhmkerlss 19896 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑈)
9 kercvrlsm.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑈)
10 kercvrlsm.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑆)
116, 10lsmcl 19928 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑈𝐷𝑈) → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
123, 8, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
13 kercvrlsm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1413, 6lssss 19781 . . 3 ((𝐾 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
16 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1713, 16lmhmf 19879 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
1918ffnd 6503 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
20 fnfvelrn 6844 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
2119, 20sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
22 kercvrlsm.cv . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2421, 23eleqtrrd 2855 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷))
2519adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
2613, 6lssss 19781 . . . . . . 7 (𝐷𝑈𝐷𝐵)
279, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐷𝐵)
29 fvelimab 6729 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3025, 28, 29syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3124, 30mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
32 lmodgrp 19714 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
333, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
3433adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
35 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑎𝐵)
3627sselda 3894 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐵)
3736adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑏𝐵)
38 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (+g𝑆) = (+g𝑆)
39 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (-g𝑆) = (-g𝑆)
4013, 38, 39grpnpcan 18263 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4134, 35, 37, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4241adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
433ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
4413, 6lssss 19781 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝑈𝐾𝐵)
458, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝐵)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐾𝐵)
4727ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐷𝐵)
48 eqcom 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
49 lmghm 19876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5150adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5213, 5, 4, 39ghmeqker 18457 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5351, 35, 37, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5448, 53syl5bb 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5554biimpa 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
56 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑏𝐷)
5713, 38, 10lsmelvalix 18838 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐵𝐷𝐵) ∧ ((𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5843, 46, 47, 55, 56, 57syl32anc 1375 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5942, 58eqeltrrd 2853 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6059ex 416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6160anassrs 471 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6261rexlimdva 3208 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6331, 62mpd 15 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6415, 63eqelssd 3915 1 (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860  {csn 4525  ◡ccnv 5526  ran crn 5528   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  +gcplusg 16628  0gc0g 16776  Grpcgrp 18174  -gcsg 18176   GrpHom cghm 18427  LSSumclsm 18831  LModclmod 19707  LSubSpclss 19776   LMHom clmhm 19864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-lsm 18833  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lmhm 19867 This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  40431
 Copyright terms: Public domain W3C validator