Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kercvrlsm 41396
Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z 0 = (0g𝑇)
kercvrlsm.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d (𝜑𝐷𝑈)
kercvrlsm.cv (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 20494 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
4 kercvrlsm.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
5 kercvrlsm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑇)
6 kercvrlsm.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
74, 5, 6lmhmkerlss 20512 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑈)
9 kercvrlsm.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑈)
10 kercvrlsm.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑆)
116, 10lsmcl 20544 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑈𝐷𝑈) → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
123, 8, 9, 11syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
13 kercvrlsm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1413, 6lssss 20397 . . 3 ((𝐾 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
16 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1713, 16lmhmf 20495 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
1918ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
20 fnfvelrn 7031 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
2119, 20sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
22 kercvrlsm.cv . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2421, 23eleqtrrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷))
2519adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
2613, 6lssss 20397 . . . . . . 7 (𝐷𝑈𝐷𝐵)
279, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐷𝐵)
29 fvelimab 6914 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3025, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3124, 30mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
32 lmodgrp 20329 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
333, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
35 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑎𝐵)
3627sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐵)
3736adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑏𝐵)
38 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑆) = (+g𝑆)
39 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (-g𝑆) = (-g𝑆)
4013, 38, 39grpnpcan 18839 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4134, 35, 37, 40syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4241adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
433ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
4413, 6lssss 20397 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝑈𝐾𝐵)
458, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝐵)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐾𝐵)
4727ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐷𝐵)
48 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
49 lmghm 20492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5213, 5, 4, 39ghmeqker 19035 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5351, 35, 37, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5448, 53bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5554biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
56 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑏𝐷)
5713, 38, 10lsmelvalix 19423 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐵𝐷𝐵) ∧ ((𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5843, 46, 47, 55, 56, 57syl32anc 1378 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5942, 58eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6059ex 413 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6160anassrs 468 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6261rexlimdva 3152 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6331, 62mpd 15 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6415, 63eqelssd 3965 1 (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wss 3910  {csn 4586  ccnv 5632  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750   GrpHom cghm 19005  LSSumclsm 19416  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392   LMHom clmhm 20480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  41399
  Copyright terms: Public domain W3C validator