Theorem kercvrlsm 43074

Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kercvrlsm.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
kercvrlsm.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
kercvrlsm.cv	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
kercvrlsm	⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kercvrlsm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		lmhmlmod1 20996	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
4		kercvrlsm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
5		kercvrlsm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
6		kercvrlsm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
7	4, 5, 6	lmhmkerlss 21014	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
9		kercvrlsm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
10		kercvrlsm.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
11	6, 10	lsmcl 21046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
12	3, 8, 9, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
13		kercvrlsm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14	13, 6	lssss 20898	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
16		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17	13, 16	lmhmf 20997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19	18	ffnd 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
20		fnfvelrn 7075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
21	19, 20	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
22		kercvrlsm.cv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
24	21, 23	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷))
25	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
26	13, 6	lssss 20898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑈 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
27	9, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
29		fvelimab 6956	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
30	25, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
31	24, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
32		lmodgrp 20829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
33	3, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
35		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
36	27	sselda 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
37	36	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
38		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
39		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
40	13, 38, 39	grpnpcan 19020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
41	34, 35, 37, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
43	3	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
44	13, 6	lssss 20898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐾 ⊆ 𝐵)
47	27	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
48		eqcom 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
49		lmghm 20994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
52	13, 5, 4, 39	ghmeqker 19231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
53	51, 35, 37, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
54	48, 53	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
55	54	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
56		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
57	13, 38, 10	lsmelvalix 19627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
58	43, 46, 47, 55, 56, 57	syl32anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
59	42, 58	eqeltrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
61	60	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
62	61	rexlimdva 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
63	31, 62	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
64	15, 63	eqelssd 3985	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923   GrpHom cghm 19200  LSSumclsm 19620  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893   LMHom clmhm 20982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lmhm 20985

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  43077