Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kercvrlsm 41439
Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z 0 = (0g𝑇)
kercvrlsm.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d (𝜑𝐷𝑈)
kercvrlsm.cv (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 20510 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
4 kercvrlsm.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
5 kercvrlsm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑇)
6 kercvrlsm.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
74, 5, 6lmhmkerlss 20528 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑈)
9 kercvrlsm.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑈)
10 kercvrlsm.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑆)
116, 10lsmcl 20560 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑈𝐷𝑈) → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
123, 8, 9, 11syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
13 kercvrlsm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1413, 6lssss 20413 . . 3 ((𝐾 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
16 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1713, 16lmhmf 20511 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
1918ffnd 6674 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
20 fnfvelrn 7036 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
2119, 20sylan 581 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
22 kercvrlsm.cv . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2322adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2421, 23eleqtrrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷))
2519adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
2613, 6lssss 20413 . . . . . . 7 (𝐷𝑈𝐷𝐵)
279, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
2827adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐷𝐵)
29 fvelimab 6919 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3025, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3124, 30mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
32 lmodgrp 20345 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
333, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
35 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑎𝐵)
3627sselda 3949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐵)
3736adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑏𝐵)
38 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝑆) = (+g𝑆)
39 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (-g𝑆) = (-g𝑆)
4013, 38, 39grpnpcan 18846 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4134, 35, 37, 40syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4241adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
433ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
4413, 6lssss 20413 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝑈𝐾𝐵)
458, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝐵)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐾𝐵)
4727ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐷𝐵)
48 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
49 lmghm 20508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5213, 5, 4, 39ghmeqker 19042 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5351, 35, 37, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5448, 53bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5554biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
56 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑏𝐷)
5713, 38, 10lsmelvalix 19430 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐵𝐷𝐵) ∧ ((𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5843, 46, 47, 55, 56, 57syl32anc 1379 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5942, 58eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6059ex 414 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6160anassrs 469 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6261rexlimdva 3153 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6331, 62mpd 15 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6415, 63eqelssd 3970 1 (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3074  wss 3915  {csn 4591  ccnv 5637  ran crn 5639  cima 5641   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757   GrpHom cghm 19012  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408   LMHom clmhm 20496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lmhm 20499
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  41442
  Copyright terms: Public domain W3C validator