Theorem iccsplit 13245

Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccsplit	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Proof of Theorem iccsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simplr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)
3		simpr1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4		iccssre 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5	4	sseld 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ))
6	5	3impia 1115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		ltle 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶))
9	3, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶))
10	9	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶)
11	1, 2, 10	3jca 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
12	11	orcd 869	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
13		simplr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝐶 ≤ 𝑥)
15		simplr3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
16	13, 14, 15	3jca 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
17	16	olcd 870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
18	12, 17, 3, 7	ltlecasei 11111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
19	18	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
20		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ))
22		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥))
24		elicc2 13172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
25	20	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simp1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
28		simp1r 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶)
30	29	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
31		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
32	31	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
33	25, 27, 28, 30, 32	letrd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
34	33	3exp 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)))
35	24, 34	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)))
36	35	3impia 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵))
37	21, 23, 36	3jcad 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
38		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
40		simp1l 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	26	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	38	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
44	43	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
45		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝑥)
46	45	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝑥)
47	40, 41, 42, 44, 46	letrd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48	47	3exp 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)))
49	24, 48	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)))
50	49	3impia 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥))
51		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵))
53	39, 50, 52	3jcad 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
54	37, 53	jaod 855	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
55	19, 54	impbid 211	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
56		elicc2 13172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
57	56	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
58	5	imdistani 568	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
59	58	3impa 1108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
60		elicc2 13172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
61	60	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
62		elicc2 13172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
63	62	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
64	63	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
65	61, 64	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
66	59, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
67	55, 57, 66	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵))))
68		elun 4086	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)))
69	67, 68	bitr4di 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵))))
70	69	eqrdv 2731	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ∪ cun 3887   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  ℝcr 10898   < clt 11037   ≤ cle 11038  [,]cicc 13110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-icc 13114

This theorem is referenced by:  cnmpopc  24119  volcn  24798  itgspliticc  25029  cvmliftlem10  33284  iblspltprt  43549