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Theorem iccsplit 12622
Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccsplit ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Proof of Theorem iccsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1232 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 simplr2 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝐴𝑥)
3 simpr1 1205 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 iccssre 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
54sseld 3819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ))
653impia 1106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
76adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8 ltle 10465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐶𝑥𝐶))
93, 7, 8syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥 < 𝐶𝑥𝐶))
109imp 397 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥𝐶)
111, 2, 103jca 1119 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶))
1211orcd 862 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)))
13 simplr1 1232 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝐶𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝐶𝑥) → 𝐶𝑥)
15 simplr3 1236 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝐶𝑥) → 𝑥𝐵)
1613, 14, 153jca 1119 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝐶𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵))
1716olcd 863 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) ∧ 𝐶𝑥) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)))
1812, 17, 3, 7ltlecasei 10484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)))
1918ex 403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵))))
20 simp1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ))
22 simp2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝐴𝑥)
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝐴𝑥))
24 elicc2 12550 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
25203ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 simp1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
27263ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
28 simp1r 1212 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29 simp3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
30293ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥𝐶)
31 simp3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
32313ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
3325, 27, 28, 30, 32letrd 10533 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥𝐵)
34333exp 1109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝑥𝐵)))
3524, 34sylbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝑥𝐵)))
36353impia 1106 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → 𝑥𝐵))
3721, 23, 363jcad 1120 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
38 simp1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
40 simp1l 1211 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41263ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42383ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 simp2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐶)
44433ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → 𝐴𝐶)
45 simp2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝐶𝑥)
46453ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → 𝐶𝑥)
4740, 41, 42, 44, 46letrd 10533 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → 𝐴𝑥)
48473exp 1109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)))
4924, 48sylbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)))
50493impia 1106 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥))
51 simp3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → 𝑥𝐵))
5339, 50, 523jcad 1120 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
5437, 53jaod 848 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
5519, 54impbid 204 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵))))
56 elicc2 12550 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
57563adant3 1123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
585imdistani 564 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
59583impa 1097 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
60 elicc2 12550 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)))
6160adantlr 705 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶)))
62 elicc2 12550 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)))
6362ancoms 452 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)))
6463adantll 704 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵)))
6561, 64orbi12d 905 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵))))
6659, 65syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑥𝑥𝐵))))
6755, 57, 663bitr4d 303 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵))))
68 elun 3975 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)))
6967, 68syl6bbr 281 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵))))
7069eqrdv 2775 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cun 3789   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cr 10271   < clt 10411  cle 10412  [,]cicc 12490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-icc 12494
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  23135  volcn  23810  itgspliticc  24040  cvmliftlem10  31875  iblspltprt  41109
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