Theorem iccsplit 13468

Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccsplit	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Proof of Theorem iccsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simplr2 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)
3		simpr1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4		iccssre 13412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5	4	sseld 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ))
6	5	3impia 1114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		ltle 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶))
9	3, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶))
10	9	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶)
11	1, 2, 10	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
12	11	orcd 870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
13		simplr1 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝐶 ≤ 𝑥)
15		simplr3 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
16	13, 14, 15	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
17	16	olcd 871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
18	12, 17, 3, 7	ltlecasei 11326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
19	18	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
20		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ))
22		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥))
24		elicc2 13395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
25	20	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simp1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
28		simp1r 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶)
30	29	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
31		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
32	31	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
33	25, 27, 28, 30, 32	letrd 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
34	33	3exp 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)))
35	24, 34	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)))
36	35	3impia 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵))
37	21, 23, 36	3jcad 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
38		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
40		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	26	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	38	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		simp2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
44	43	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
45		simp2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝑥)
46	45	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝑥)
47	40, 41, 42, 44, 46	letrd 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48	47	3exp 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)))
49	24, 48	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)))
50	49	3impia 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥))
51		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵))
53	39, 50, 52	3jcad 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
54	37, 53	jaod 856	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
55	19, 54	impbid 211	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
56		elicc2 13395	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
57	56	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
58	5	imdistani 568	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
59	58	3impa 1107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
60		elicc2 13395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
61	60	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
62		elicc2 13395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
63	62	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
64	63	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
65	61, 64	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
66	59, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
67	55, 57, 66	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵))))
68		elun 4143	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)))
69	67, 68	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵))))
70	69	eqrdv 2724	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  [,]cicc 13333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13337

This theorem is referenced by:  cnmpopc  24804  volcn  25490  itgspliticc  25721  cvmliftlem10  34813  iblspltprt  45261