Theorem ioodvbdlimc2 45891

Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc2.dmdv	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc2.dvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc2	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ioodvbdlimc2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioodvbdlimc2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ioodvbdlimc2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6		ioodvbdlimc2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8		ioodvbdlimc2.dmdv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
10		ioodvbdlimc2.dvbd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
12		2fveq3 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
13	12	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
14	13	rneqi 5951	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
15	14	supeq1i 9485	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) = ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)
17		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑗))
18	17	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 − (1 / 𝑘)) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
19	18	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
20	19	cbvmptv 5261	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘)))) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
21	18	cbvmptv 5261	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑘))) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
22		eqid 2735	. . . 4 ⊢ if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) = if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1))
23		biid 261	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))‘𝑗) − (lim sup‘(𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < (1 / 𝑗)) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))‘𝑗) − (lim sup‘(𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < (1 / 𝑗)))
24	2, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 16, 20, 21, 22, 23	ioodvbdlimc2lem 45890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (lim sup‘(𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
25	24	ne0d 4348	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
26		ax-resscn 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	6, 27	fssd 6754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
31	1	rexrd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	rexrd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35		ioo0 13409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
36	32, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
37	30, 36	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
38	37	feq2d 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ↔ 𝐹:∅⟶ℂ))
39	29, 38	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:∅⟶ℂ)
40	3	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	39, 41	limcdm0 45574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)
43		0cn 11251	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
44	43	ne0ii 4350	. . . 4 ⊢ ℂ ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ℂ ≠ ∅)
46	42, 45	eqnetrd 3006	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
47	25, 46, 1, 3	ltlecasei 11367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  ⌊cfl 13827  abscabs 15270  lim supclsp 15503   lim_ℂ climc 25912   D cdv 25913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  46156  fourierdlem113  46175