Theorem ioodvbdlimc2 46386

Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc2.dmdv	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc2.dvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc2	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ioodvbdlimc2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioodvbdlimc2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ioodvbdlimc2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6		ioodvbdlimc2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8		ioodvbdlimc2.dmdv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
10		ioodvbdlimc2.dvbd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
12		2fveq3 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
13	12	cbvmptv 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
14	13	rneqi 5880	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
15	14	supeq1i 9351	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
16		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) = ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)
17		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑗))
18	17	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 − (1 / 𝑘)) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
19	18	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
20	19	cbvmptv 5177	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘)))) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
21	18	cbvmptv 5177	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑘))) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
22		eqid 2739	. . . 4 ⊢ if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) = if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1))
23		biid 262	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))‘𝑗) − (lim sup‘(𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < (1 / 𝑗)) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))‘𝑗) − (lim sup‘(𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < (1 / 𝑗)))
24	2, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 16, 20, 21, 22, 23	ioodvbdlimc2lem 46385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (lim sup‘(𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑘))))) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
25	24	ne0d 4271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
26		ax-resscn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	6, 27	fssd 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
30		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
31	1	rexrd 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	rexrd 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35		ioo0 13315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
36	32, 34, 35	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
37	30, 36	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
38	37	feq2d 6640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ↔ 𝐹:∅⟶ℂ))
39	29, 38	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:∅⟶ℂ)
40	3	recnd 11165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	39, 41	limcdm0 46071	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)
43		0cn 11128	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
44	43	ne0ii 4273	. . . 4 ⊢ ℂ ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ℂ ≠ ∅)
46	42, 45	eqnetrd 3001	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
47	25, 46, 1, 3	ltlecasei 11246	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ifcif 4455   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ran crn 5620  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  supcsup 9344  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369   / cdiv 11799  2c2 12228  ℤ_≥cuz 12780  ℝ⁺crp 12934  (,)cioo 13290  ⌊cfl 13741  abscabs 15188  lim supclsp 15424   lim_ℂ climc 25848   D cdv 25849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-lp 23120  df-perf 23121  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-haus 23299  df-cmp 23371  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-fm 23922  df-flim 23923  df-flf 23924  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-cncf 24864  df-limc 25852  df-dv 25853

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  46651  fourierdlem113  46670