MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserulm 24481
Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (𝜑𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
pserulm (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
21adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3 0xr 10344 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
54rexrd 10347 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
6 icc0 12430 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
73, 5, 6sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
87biimpar 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 0) → (0[,]𝑀) = ∅)
98imaeq2d 5650 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 0) → (abs “ (0[,]𝑀)) = (abs “ ∅))
10 ima0 5665 . . . . . 6 (abs “ ∅) = ∅
119, 10syl6eq 2815 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 0) → (abs “ (0[,]𝑀)) = ∅)
122, 11sseqtrd 3803 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ ∅)
13 ss0 4138 . . . 4 (𝑆 ⊆ ∅ → 𝑆 = ∅)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 = ∅)
15 nn0uz 11927 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
16 0zd 11640 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
17 0zd 11640 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
18 pserf.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
19 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21 cnvimass 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
22 absf 14376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
2322fdmi 6235 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom abs = ℂ
2421, 23sseqtri 3799 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
251, 24syl6ss 3775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2625sselda 3763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
2718, 20, 26psergf 24471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
2827ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
2915, 17, 28serf 13041 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6553 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
3130an32s 642 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
3231fmpttd 6579 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
33 cnex 10274 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
34 ssexg 4967 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
3525, 33, 34sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3635adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
37 elmapg 8077 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
3833, 36, 37sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
3932, 38mpbird 248 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
40 pserulm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
4139, 40fmptd 6578 . . . 4 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
42 eqidd 2766 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑦)‘𝑗))
43 pserf.r . . . . . . 7 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
441sselda 3763 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)))
45 ffn 6225 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
46 elpreima 6531 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))))
4722, 45, 46mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
4844, 47sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
4948simprd 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))
50 0re 10299 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
52 elicc2 12445 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
5350, 51, 52sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
5449, 53mpbid 223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀))
5554simp1d 1172 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
5655rexrd 10347 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ*)
575adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
58 iccssxr 12463 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5918, 19, 43radcnvcl 24476 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
6160adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6254simp3d 1174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
63 pserulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < 𝑅)
6463adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
6556, 57, 61, 62, 64xrlelttrd 12198 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
6618, 20, 43, 26, 65radcnvlt2 24478 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ )
6715, 17, 42, 28, 66isumcl 14791 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
68 pserf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
6967, 68fmptd 6578 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
7015, 16, 41, 69ulm0 24450 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
7114, 70syldan 585 . 2 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
72 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7372, 15syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
74 elfznn0 12645 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7574adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7635ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
77 mptexg 6681 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
79 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑦))
8079fveq1d 6381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺𝑤)‘𝑚) = ((𝐺𝑦)‘𝑚))
8180cbvmptv 4911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑚))
82 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺𝑦)‘𝑚) = ((𝐺𝑦)‘𝑘))
8382mpteq2dv 4906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8481, 83syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
85 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))
8684, 85fvmptg 6473 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8775, 78, 86syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8836, 73, 87seqof 13070 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
8988eqcomd 2771 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) = (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
9089mpteq2dva 4905 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
91 0z 11639 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
92 seqfn 13025 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0)
9415fneq2i 6166 . . . . . . . 8 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
9593, 94mpbir 222 . . . . . . 7 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0
96 dffn5 6434 . . . . . . 7 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
9795, 96mpbi 221 . . . . . 6 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
9890, 40, 973eqtr4g 2824 . . . . 5 (𝜑𝐻 = seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))))
9998adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 = seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))))
100 0zd 11640 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
10135adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ∈ V)
10219adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10325sselda 3763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑆) → 𝑤 ∈ ℂ)
10418, 102, 103psergf 24471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑆) → (𝐺𝑤):ℕ0⟶ℂ)
105104ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
106105an32s 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
107106fmpttd 6579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ)
10835adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
109 elmapg 8077 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
11033, 108, 109sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
111107, 110mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
112111fmpttd 6579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
113112adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
114 fex 6686 . . . . . . . 8 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
11522, 33, 114mp2an 683 . . . . . . 7 abs ∈ V
116 fvex 6392 . . . . . . 7 (𝐺𝑀) ∈ V
117115, 116coex 7320 . . . . . 6 (abs ∘ (𝐺𝑀)) ∈ V
118117a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺𝑀)) ∈ V)
11919adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1204adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
121120recnd 10326 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
12218, 119, 121psergf 24471 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ)
123 fco 6242 . . . . . . 7 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ) → (abs ∘ (𝐺𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
12422, 122, 123sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
125124ffvelrnda 6553 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) ∈ ℝ)
12625ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
127 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
128126, 127sseldd 3764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℂ)
129 simprl 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
130128, 129expcld 13220 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
131130abscld 14474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
132121adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
133132, 129expcld 13220 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
134133abscld 14474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) ∈ ℝ)
13519ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
136135, 129ffvelrnd 6554 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
137136abscld 14474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
138136absge0d 14482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
139128abscld 14474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
1404ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
141128absge0d 14482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
142 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
143142breq1d 4821 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀))
14462ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
145144ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
146143, 145, 127rspcdva 3468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)
147 leexp1a 13131 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀𝑘))
148139, 140, 129, 141, 146, 147syl32anc 1497 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀𝑘))
149128, 129absexpd 14490 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) = ((abs‘𝑧)↑𝑘))
150132, 129absexpd 14490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) = ((abs‘𝑀)↑𝑘))
151 absid 14335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
1524, 151sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
153152adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
154153oveq1d 6861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘𝑀)↑𝑘) = (𝑀𝑘))
155150, 154eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) = (𝑀𝑘))
156148, 149, 1553brtr4d 4843 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) ≤ (abs‘(𝑀𝑘)))
157131, 134, 137, 138, 156lemul2ad 11222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑧𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑀𝑘))))
158136, 130absmuld 14492 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑧𝑘))))
159136, 133absmuld 14492 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑀𝑘))))
160157, 158, 1593brtr4d 4843 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
16135ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
162161, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
163129, 162, 86syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
164163fveq1d 6381 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧))
165 fveq2 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
166165fveq1d 6381 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑘) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
167 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))
168 fvex 6392 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑧)‘𝑘) ∈ V
169166, 167, 168fvmpt 6475 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
170169ad2antll 720 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
17118pserval2 24470 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
172128, 129, 171syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝐺𝑧)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
173164, 170, 1723eqtrd 2803 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
174173fveq2d 6383 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
175122adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ)
176 fvco3 6468 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)))
177175, 129, 176syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)))
17818pserval2 24470 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑀)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘)))
179132, 129, 178syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝐺𝑀)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘)))
180179fveq2d 6383 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
181177, 180eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
182160, 174, 1813brtr4d 4843 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) ≤ ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘))
18363adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 < 𝑅)
184152, 183eqbrtrd 4833 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
185 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚𝑖 = 𝑚)
186 2fveq3 6384 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚)))
187185, 186oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚))))
188187cbvmptv 4911 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚))))
18918, 119, 43, 121, 184, 188radcnvlt1 24477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑀))) ∈ dom ⇝ ))
190189simprd 489 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑀))) ∈ dom ⇝ )
19115, 100, 101, 113, 118, 125, 182, 190mtest 24463 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
19299, 191eqeltrd 2844 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
193 eldmg 5489 . . . . . 6 (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓))
194193ibi 258 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
195 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
196 ulmcl 24440 . . . . . . . . . . 11 (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝑓:𝑆⟶ℂ)
197196adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
198197feqmptd 6442 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
199 0zd 11640 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
200 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑦)‘𝑗))
20127adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
202201ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
20341ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
204 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
205 seqex 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ V
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ V)
207 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20835ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
209 mptexg 6681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ V → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
21140fvmpt2 6484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V) → (𝐻𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
212207, 210, 211syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
213212fveq1d 6381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻𝑖)‘𝑦) = ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦))
214 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑦𝑆)
215 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ V
216 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
217216fvmpt2 6484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑆 ∧ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
218214, 215, 217sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
219213, 218eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻𝑖)‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
220 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
22115, 199, 203, 204, 206, 219, 220ulmclm 24446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ⇝ (𝑓𝑦))
22215, 199, 200, 202, 221isumclim 14787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = (𝑓𝑦))
223222mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
22468, 223syl5eq 2811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
225198, 224eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
226195, 225breqtrd 4837 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
227226ex 401 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
228227exlimdv 2028 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
229194, 228syl5 34 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
230229imp 395 . . 3 ((𝜑𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆)) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
231192, 230syldan 585 . 2 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
232 0red 10301 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23371, 231, 4, 232ltlecasei 10403 1 (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ccnv 5278  dom cdm 5279  cima 5282  ccom 5283   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑓 cof 7097  𝑚 cmap 8064  supcsup 8557  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  [,]cicc 12385  ...cfz 12538  seqcseq 13013  cexp 13072  abscabs 14273  cli 14514  Σcsu 14715  𝑢culm 24435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-ulm 24436
This theorem is referenced by:  psercn2  24482  pserdvlem2  24487
  Copyright terms: Public domain W3C validator