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Theorem pserulm 25797
Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
pserulm (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑀 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
3 0xr 11209 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
54rexrd 11212 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
6 icc0 13319 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((0[,]𝑀) = βˆ… ↔ 𝑀 < 0))
73, 5, 6sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑀) = βˆ… ↔ 𝑀 < 0))
87biimpar 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ (0[,]𝑀) = βˆ…)
98imaeq2d 6018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) = (β—‘abs β€œ βˆ…))
10 ima0 6034 . . . . . 6 (β—‘abs β€œ βˆ…) = βˆ…
119, 10eqtrdi 2793 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) = βˆ…)
122, 11sseqtrd 3989 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝑆 βŠ† βˆ…)
13 ss0 4363 . . . 4 (𝑆 βŠ† βˆ… β†’ 𝑆 = βˆ…)
1412, 13syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝑆 = βˆ…)
15 nn0uz 12812 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
16 0zd 12518 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
17 0zd 12518 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
18 pserf.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
19 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
21 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
22 absf 15229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:β„‚βŸΆβ„
2322fdmi 6685 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom abs = β„‚
2421, 23sseqtri 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
251, 24sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2625sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2718, 20, 26psergf 25787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„‚)
2827ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2915, 17, 28serf 13943 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)):β„•0βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3130an32s 651 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3231fmpttd 7068 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚)
33 cnex 11139 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
34 ssexg 5285 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
3525, 33, 34sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ V)
37 elmapg 8785 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚))
3833, 36, 37sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚))
3932, 38mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
40 pserulm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
4139, 40fmptd 7067 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
42 eqidd 2738 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
43 pserf.r . . . . . . 7 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
441sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
45 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
46 elpreima 7013 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀))))
4722, 45, 46mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀)))
4844, 47sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀)))
4948simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀))
50 0re 11164 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
514adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
52 elicc2 13336 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)))
5350, 51, 52sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)))
5449, 53mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀))
5554simp1d 1143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5655rexrd 11212 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
575adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
58 iccssxr 13354 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
5918, 19, 43radcnvcl 25792 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sselid 3947 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6160adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6254simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)
63 pserulm.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
6463adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
6556, 57, 61, 62, 64xrlelttrd 13086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)
6618, 20, 43, 26, 65radcnvlt2 25794 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
6715, 17, 42, 28, 66isumcl 15653 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
68 pserf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
6967, 68fmptd 7067 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
7015, 16, 41, 69ulm0 25766 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
7114, 70syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
72 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
7372, 15eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
74 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))
75 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘¦))
7675fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š))
7776cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š))
78 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
7978mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
8077, 79eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
81 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8281adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑆 ∈ V)
8483mptexd 7179 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)) ∈ V)
8574, 80, 82, 84fvmptd3 6976 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
8636, 73, 85seqof 13972 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
8786eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) = (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–))
8887mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–)))
89 0z 12517 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
90 seqfn 13925 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0)
9215fneq2i 6605 . . . . . . . 8 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn β„•0
94 dffn5 6906 . . . . . . 7 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–)))
9593, 94mpbi 229 . . . . . 6 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–))
9688, 40, 953eqtr4g 2802 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 = seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))))
9796adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐻 = seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))))
98 0zd 12518 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 0 ∈ β„€)
9935adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑆 ∈ V)
10019adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
10125sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
10218, 100, 101psergf 25787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚)
103102ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
104103an32s 651 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
105104fmpttd 7068 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)):π‘†βŸΆβ„‚)
10635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ V)
107 elmapg 8785 . . . . . . . . 9 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)):π‘†βŸΆβ„‚))
10833, 106, 107sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)):π‘†βŸΆβ„‚))
109105, 108mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
110109fmpttd 7068 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))):β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
111110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))):β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
112 fex 7181 . . . . . . . 8 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ abs ∈ V)
11322, 33, 112mp2an 691 . . . . . . 7 abs ∈ V
114 fvex 6860 . . . . . . 7 (πΊβ€˜π‘€) ∈ V
115113, 114coex 7872 . . . . . 6 (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)) ∈ V
116115a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)) ∈ V)
11719adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1184adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
119118recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
12018, 117, 119psergf 25787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚)
121 fco 6697 . . . . . . 7 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)):β„•0βŸΆβ„)
12222, 120, 121sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)):β„•0βŸΆβ„)
123122ffvelcdmda 7040 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
12425ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
125 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
126124, 125sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
127 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
128126, 127expcld 14058 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
129128abscld 15328 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
130119adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
131130, 127expcld 14058 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘€β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
132131abscld 15328 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
13319ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
134133, 127ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
135134abscld 15328 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
136134absge0d 15336 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)))
137126abscld 15328 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1384ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
139126absge0d 15336 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘§))
140 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘§))
141140breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑀))
14262ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)
143142ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)
144141, 143, 125rspcdva 3585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑀)
145 leexp1a 14087 . . . . . . . . . 10 ((((absβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (absβ€˜π‘§) ∧ (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑀)) β†’ ((absβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) ≀ (π‘€β†‘π‘˜))
146137, 138, 127, 139, 144, 145syl32anc 1379 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((absβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) ≀ (π‘€β†‘π‘˜))
147126, 127absexpd 15344 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜)) = ((absβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))
148130, 127absexpd 15344 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((absβ€˜π‘€)β†‘π‘˜))
149 absid 15188 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
1504, 149sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
151150adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
152151oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((absβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = (π‘€β†‘π‘˜))
153148, 152eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (π‘€β†‘π‘˜))
154146, 147, 1533brtr4d 5142 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜)) ≀ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)))
155129, 132, 135, 136, 154lemul2ad 12102 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜))))
156134, 128absmuld 15346 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜))))
157134, 131absmuld 15346 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜))))
158155, 156, 1573brtr4d 5142 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ≀ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))
15935ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ V)
160159mptexd 7179 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)) ∈ V)
16174, 80, 127, 160fvmptd3 6976 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
162161fveq1d 6849 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))β€˜π‘§))
163 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘§))
164163fveq1d 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
165 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
166 fvex 6860 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) ∈ V
167164, 165, 166fvmpt 6953 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))β€˜π‘§) = ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
168167ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))β€˜π‘§) = ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
16918pserval2 25786 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
170126, 127, 169syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
171162, 168, 1703eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
172171fveq2d 6851 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
173120adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚)
174 fvco3 6945 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜)))
175173, 127, 174syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜)))
17618pserval2 25786 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))
177130, 127, 176syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))
178177fveq2d 6851 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜)) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))
179175, 178eqtrd 2777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))
180158, 172, 1793brtr4d 5142 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
18163adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 < 𝑅)
182150, 181eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) < 𝑅)
183 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ 𝑖 = π‘š)
184 2fveq3 6852 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))
185183, 184oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ (𝑖 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))
186185cbvmptv 5223 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))
18718, 117, 43, 119, 182, 186radcnvlt1 25793 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (seq0( + , (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ dom ⇝ ))
188187simprd 497 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ dom ⇝ )
18915, 98, 99, 111, 116, 123, 180, 188mtest 25779 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
19097, 189eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
191 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓)
192 ulmcl 25756 . . . . . . . . . 10 (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓 β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„‚)
193192adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„‚)
194193feqmptd 6915 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
195 0zd 12518 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
196 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
19727adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„‚)
198197ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
19941ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐻:β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
200 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
201 seqex 13915 . . . . . . . . . . . . 13 seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V)
203 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
20435ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ V)
205204mptexd 7179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ V)
20640fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ V) β†’ (π»β€˜π‘–) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
207203, 205, 206syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘–) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
208207fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π»β€˜π‘–)β€˜π‘¦) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))β€˜π‘¦))
209 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
210 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ V
211 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
212211fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))β€˜π‘¦) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
213209, 210, 212sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))β€˜π‘¦) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
214208, 213eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π»β€˜π‘–)β€˜π‘¦) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
215 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓)
21615, 195, 199, 200, 202, 214, 215ulmclm 25762 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ⇝ (π‘“β€˜π‘¦))
21715, 195, 196, 198, 216isumclim 15649 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘¦))
218217mpteq2dva 5210 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
21968, 218eqtrid 2789 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
220194, 219eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝑓 = 𝐹)
221191, 220breqtrd 5136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
222221ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹))
223222exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹))
224 eldmg 5859 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ (𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓))
225224ibi 267 . . . 4 (𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘“ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓)
226223, 225impel 507 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†)) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
227190, 226syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
228 0red 11165 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
22971, 227, 4, 228ltlecasei 11270 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   ↑m cmap 8772  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  psercn2  25798  pserdvlem2  25803
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