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Theorem pserulm 26308
Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
pserulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
pserulm (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐺,𝑗,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   πœ‘,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(𝑖)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑀 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
21adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝑆 βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
3 0xr 11262 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
54rexrd 11265 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
6 icc0 13375 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((0[,]𝑀) = βˆ… ↔ 𝑀 < 0))
73, 5, 6sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑀) = βˆ… ↔ 𝑀 < 0))
87biimpar 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ (0[,]𝑀) = βˆ…)
98imaeq2d 6052 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) = (β—‘abs β€œ βˆ…))
10 ima0 6069 . . . . . 6 (β—‘abs β€œ βˆ…) = βˆ…
119, 10eqtrdi 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) = βˆ…)
122, 11sseqtrd 4017 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝑆 βŠ† βˆ…)
13 ss0 4393 . . . 4 (𝑆 βŠ† βˆ… β†’ 𝑆 = βˆ…)
1412, 13syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝑆 = βˆ…)
15 nn0uz 12865 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
16 0zd 12571 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
17 0zd 12571 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
18 pserf.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
19 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
21 cnvimass 6073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† dom abs
22 absf 15287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:β„‚βŸΆβ„
2322fdmi 6722 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom abs = β„‚
2421, 23sseqtri 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† β„‚
251, 24sstrdi 3989 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2625sselda 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2718, 20, 26psergf 26298 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„‚)
2827ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2915, 17, 28serf 13998 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)):β„•0βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3130an32s 649 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3231fmpttd 7109 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚)
33 cnex 11190 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
34 ssexg 5316 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
3525, 33, 34sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ V)
37 elmapg 8832 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚))
3833, 36, 37sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚))
3932, 38mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
40 pserulm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
4139, 40fmptd 7108 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
42 eqidd 2727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
43 pserf.r . . . . . . 7 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
441sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
45 ffn 6710 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
46 elpreima 7052 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀))))
4722, 45, 46mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀)))
4844, 47sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀)))
4948simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀))
50 0re 11217 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
52 elicc2 13392 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)))
5350, 51, 52sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)))
5449, 53mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀))
5554simp1d 1139 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5655rexrd 11265 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
575adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
58 iccssxr 13410 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
5918, 19, 43radcnvcl 26303 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sselid 3975 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6160adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6254simp3d 1141 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)
63 pserulm.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 < 𝑅)
6463adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
6556, 57, 61, 62, 64xrlelttrd 13142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)
6618, 20, 43, 26, 65radcnvlt2 26305 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
6715, 17, 42, 28, 66isumcl 15710 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
68 pserf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
6967, 68fmptd 7108 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
7015, 16, 41, 69ulm0 26277 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
7114, 70syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 0) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
72 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
7372, 15eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
74 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))
75 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘¦))
7675fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š))
7776cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š))
78 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
7978mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘š)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
8077, 79eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
81 elfznn0 13597 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8281adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8335ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ 𝑆 ∈ V)
8483mptexd 7220 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)) ∈ V)
8574, 80, 82, 84fvmptd3 7014 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
8636, 73, 85seqof 14027 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
8786eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) = (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–))
8887mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–)))
89 0z 12570 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
90 seqfn 13981 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0)
9215fneq2i 6640 . . . . . . . 8 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn β„•0
94 dffn5 6943 . . . . . . 7 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–)))
9593, 94mpbi 229 . . . . . 6 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))β€˜π‘–))
9688, 40, 953eqtr4g 2791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 = seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))))
9796adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐻 = seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))))
98 0zd 12571 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 0 ∈ β„€)
9935adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑆 ∈ V)
10019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
10125sselda 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
10218, 100, 101psergf 26298 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚)
103102ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
104103an32s 649 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
105104fmpttd 7109 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)):π‘†βŸΆβ„‚)
10635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ V)
107 elmapg 8832 . . . . . . . . 9 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)):π‘†βŸΆβ„‚))
10833, 106, 107sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)):π‘†βŸΆβ„‚))
109105, 108mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
110109fmpttd 7109 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))):β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
111110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))):β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
112 fex 7222 . . . . . . . 8 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ abs ∈ V)
11322, 33, 112mp2an 689 . . . . . . 7 abs ∈ V
114 fvex 6897 . . . . . . 7 (πΊβ€˜π‘€) ∈ V
115113, 114coex 7917 . . . . . 6 (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)) ∈ V
116115a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)) ∈ V)
11719adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1184adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
119118recnd 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
12018, 117, 119psergf 26298 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚)
121 fco 6734 . . . . . . 7 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)):β„•0βŸΆβ„)
12222, 120, 121sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€)):β„•0βŸΆβ„)
123122ffvelcdmda 7079 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
12425ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
125 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
126124, 125sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
127 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
128126, 127expcld 14113 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
129128abscld 15386 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
130119adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
131130, 127expcld 14113 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘€β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
132131abscld 15386 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
13319ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
134133, 127ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
135134abscld 15386 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
136134absge0d 15394 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)))
137126abscld 15386 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1384ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
139126absge0d 15394 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘§))
140 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘§))
141140breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑀))
14262ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)
143142ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑀)
144141, 143, 125rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑀)
145 leexp1a 14142 . . . . . . . . . 10 ((((absβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (absβ€˜π‘§) ∧ (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑀)) β†’ ((absβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) ≀ (π‘€β†‘π‘˜))
146137, 138, 127, 139, 144, 145syl32anc 1375 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((absβ€˜π‘§)β†‘π‘˜) ≀ (π‘€β†‘π‘˜))
147126, 127absexpd 15402 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜)) = ((absβ€˜π‘§)β†‘π‘˜))
148130, 127absexpd 15402 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = ((absβ€˜π‘€)β†‘π‘˜))
149 absid 15246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
1504, 149sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
151150adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
152151oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((absβ€˜π‘€)β†‘π‘˜) = (π‘€β†‘π‘˜))
153148, 152eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)) = (π‘€β†‘π‘˜))
154146, 147, 1533brtr4d 5173 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜)) ≀ (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜)))
155129, 132, 135, 136, 154lemul2ad 12155 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜))))
156134, 128absmuld 15404 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘§β†‘π‘˜))))
157134, 131absmuld 15404 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘€β†‘π‘˜))))
158155, 156, 1573brtr4d 5173 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ≀ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))
15935ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ V)
160159mptexd 7220 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)) ∈ V)
16174, 80, 127, 160fvmptd3 7014 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)))
162161fveq1d 6886 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))β€˜π‘§))
163 fveq2 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘§))
164163fveq1d 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
165 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
166 fvex 6897 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) ∈ V
167164, 165, 166fvmpt 6991 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))β€˜π‘§) = ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
168167ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))β€˜π‘§) = ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
16918pserval2 26297 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
170126, 127, 169syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
171162, 168, 1703eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
172171fveq2d 6888 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
173120adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚)
174 fvco3 6983 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜)))
175173, 127, 174syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜)))
17618pserval2 26297 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))
177130, 127, 176syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))
178177fveq2d 6888 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘˜)) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))
179175, 178eqtrd 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))
180158, 172, 1793brtr4d 5173 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜(((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))β€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ ((abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
18163adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 < 𝑅)
182150, 181eqbrtrd 5163 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) < 𝑅)
183 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ 𝑖 = π‘š)
184 2fveq3 6889 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))
185183, 184oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ (𝑖 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))
186185cbvmptv 5254 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))
18718, 117, 43, 119, 182, 186radcnvlt1 26304 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (seq0( + , (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘–))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ dom ⇝ ))
188187simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ dom ⇝ )
18915, 98, 99, 111, 116, 123, 180, 188mtest 26290 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΊβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
19097, 189eqeltrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
191 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓)
192 ulmcl 26267 . . . . . . . . . 10 (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓 β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„‚)
193192adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„‚)
194193feqmptd 6953 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
195 0zd 12571 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
196 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) = ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
19727adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„‚)
198197ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
19941ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐻:β„•0⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
200 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
201 seqex 13971 . . . . . . . . . . . . 13 seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V)
203 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
20435ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ V)
205204mptexd 7220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ V)
20640fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) ∈ V) β†’ (π»β€˜π‘–) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
207203, 205, 206syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘–) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)))
208207fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π»β€˜π‘–)β€˜π‘¦) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))β€˜π‘¦))
209 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
210 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ V
211 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
212211fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))β€˜π‘¦) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
213209, 210, 212sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))β€˜π‘¦) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
214208, 213eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π»β€˜π‘–)β€˜π‘¦) = (seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦))β€˜π‘–))
215 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓)
21615, 195, 199, 200, 202, 214, 215ulmclm 26273 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘¦)) ⇝ (π‘“β€˜π‘¦))
21715, 195, 196, 198, 216isumclim 15706 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘¦))
218217mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
21968, 218eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
220194, 219eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝑓 = 𝐹)
221191, 220breqtrd 5167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
222221ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹))
223222exlimdv 1928 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹))
224 eldmg 5891 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ (𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘“ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓))
225224ibi 267 . . . 4 (𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘“ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑓)
226223, 225impel 505 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐻 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†)) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
227190, 226syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
228 0red 11218 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
22971, 227, 4, 228ltlecasei 11323 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  [,]cicc 13330  ...cfz 13487  seqcseq 13969  β†‘cexp 14029  abscabs 15184   ⇝ cli 15431  Ξ£csu 15635  β‡π‘’culm 26262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ulm 26263
This theorem is referenced by:  psercn2  26309  psercn2OLD  26310  pserdvlem2  26315
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