MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserulm 25781
Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (𝜑𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
pserulm (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3 0xr 11202 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
54rexrd 11205 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
6 icc0 13312 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
73, 5, 6sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
87biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 0) → (0[,]𝑀) = ∅)
98imaeq2d 6013 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 0) → (abs “ (0[,]𝑀)) = (abs “ ∅))
10 ima0 6029 . . . . . 6 (abs “ ∅) = ∅
119, 10eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 0) → (abs “ (0[,]𝑀)) = ∅)
122, 11sseqtrd 3984 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ ∅)
13 ss0 4358 . . . 4 (𝑆 ⊆ ∅ → 𝑆 = ∅)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 = ∅)
15 nn0uz 12805 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
16 0zd 12511 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
17 0zd 12511 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
18 pserf.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
19 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
22 absf 15222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
2322fdmi 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom abs = ℂ
2421, 23sseqtri 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
251, 24sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2625sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
2718, 20, 26psergf 25771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
2827ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
2915, 17, 28serf 13936 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
3130an32s 650 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
3231fmpttd 7063 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
33 cnex 11132 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
34 ssexg 5280 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
3525, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
37 elmapg 8778 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
3833, 36, 37sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
3932, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
40 pserulm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
4139, 40fmptd 7062 . . . 4 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
42 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑦)‘𝑗))
43 pserf.r . . . . . . 7 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
441sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)))
45 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
46 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))))
4722, 45, 46mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
4844, 47sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
4948simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))
50 0re 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
52 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
5350, 51, 52sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
5449, 53mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀))
5554simp1d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
5655rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ*)
575adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
58 iccssxr 13347 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5918, 19, 43radcnvcl 25776 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sselid 3942 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
6160adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6254simp3d 1144 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
63 pserulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < 𝑅)
6463adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
6556, 57, 61, 62, 64xrlelttrd 13079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
6618, 20, 43, 26, 65radcnvlt2 25778 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ )
6715, 17, 42, 28, 66isumcl 15646 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
68 pserf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
6967, 68fmptd 7062 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
7015, 16, 41, 69ulm0 25750 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
7114, 70syldan 591 . 2 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
72 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7372, 15eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
74 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))
75 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑦))
7675fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺𝑤)‘𝑚) = ((𝐺𝑦)‘𝑚))
7776cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑚))
78 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺𝑦)‘𝑚) = ((𝐺𝑦)‘𝑘))
7978mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8077, 79eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
81 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8281adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8335ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
8483mptexd 7174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
8574, 80, 82, 84fvmptd3 6971 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8636, 73, 85seqof 13965 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
8786eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) = (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
8887mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
89 0z 12510 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
90 seqfn 13918 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0)
9215fneq2i 6600 . . . . . . . 8 (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0
94 dffn5 6901 . . . . . . 7 (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
9593, 94mpbi 229 . . . . . 6 seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
9688, 40, 953eqtr4g 2801 . . . . 5 (𝜑𝐻 = seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))))
9796adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 = seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))))
98 0zd 12511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
9935adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ∈ V)
10019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10125sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑆) → 𝑤 ∈ ℂ)
10218, 100, 101psergf 25771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑆) → (𝐺𝑤):ℕ0⟶ℂ)
103102ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
104103an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
105104fmpttd 7063 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ)
10635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
107 elmapg 8778 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
10833, 106, 107sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
109105, 108mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
110109fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
111110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
112 fex 7176 . . . . . . . 8 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
11322, 33, 112mp2an 690 . . . . . . 7 abs ∈ V
114 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝐺𝑀) ∈ V
115113, 114coex 7867 . . . . . 6 (abs ∘ (𝐺𝑀)) ∈ V
116115a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺𝑀)) ∈ V)
11719adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1184adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
119118recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
12018, 117, 119psergf 25771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ)
121 fco 6692 . . . . . . 7 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ) → (abs ∘ (𝐺𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
12222, 120, 121sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
123122ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) ∈ ℝ)
12425ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
125 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
126124, 125sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℂ)
127 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
128126, 127expcld 14051 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
129128abscld 15321 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
130119adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
131130, 127expcld 14051 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
132131abscld 15321 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) ∈ ℝ)
13319ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
134133, 127ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
135134abscld 15321 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
136134absge0d 15329 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
137126abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
1384ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
139126absge0d 15329 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
140 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
141140breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀))
14262ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
143142ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
144141, 143, 125rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)
145 leexp1a 14080 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀𝑘))
146137, 138, 127, 139, 144, 145syl32anc 1378 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀𝑘))
147126, 127absexpd 15337 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) = ((abs‘𝑧)↑𝑘))
148130, 127absexpd 15337 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) = ((abs‘𝑀)↑𝑘))
149 absid 15181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
1504, 149sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
152151oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘𝑀)↑𝑘) = (𝑀𝑘))
153148, 152eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) = (𝑀𝑘))
154146, 147, 1533brtr4d 5137 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) ≤ (abs‘(𝑀𝑘)))
155129, 132, 135, 136, 154lemul2ad 12095 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑧𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑀𝑘))))
156134, 128absmuld 15339 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑧𝑘))))
157134, 131absmuld 15339 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑀𝑘))))
158155, 156, 1573brtr4d 5137 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
15935ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
160159mptexd 7174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
16174, 80, 127, 160fvmptd3 6971 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
162161fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧))
163 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
164163fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑘) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
165 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))
166 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑧)‘𝑘) ∈ V
167164, 165, 166fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
168167ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
16918pserval2 25770 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
170126, 127, 169syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝐺𝑧)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
171162, 168, 1703eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
172171fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
173120adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ)
174 fvco3 6940 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)))
175173, 127, 174syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)))
17618pserval2 25770 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑀)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘)))
177130, 127, 176syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝐺𝑀)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘)))
178177fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
179175, 178eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
180158, 172, 1793brtr4d 5137 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) ≤ ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘))
18163adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 < 𝑅)
182150, 181eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
183 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚𝑖 = 𝑚)
184 2fveq3 6847 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚)))
185183, 184oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚))))
186185cbvmptv 5218 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚))))
18718, 117, 43, 119, 182, 186radcnvlt1 25777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑀))) ∈ dom ⇝ ))
188187simprd 496 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑀))) ∈ dom ⇝ )
18915, 98, 99, 111, 116, 123, 180, 188mtest 25763 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
19097, 189eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
191 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
192 ulmcl 25740 . . . . . . . . . 10 (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝑓:𝑆⟶ℂ)
193192adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
194193feqmptd 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
195 0zd 12511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
196 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑦)‘𝑗))
19727adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
198197ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
19941ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
200 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
201 seqex 13908 . . . . . . . . . . . . 13 seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ V
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ V)
203 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20435ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
205204mptexd 7174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
20640fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V) → (𝐻𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
207203, 205, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
208207fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻𝑖)‘𝑦) = ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦))
209 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑦𝑆)
210 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ V
211 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
212211fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑆 ∧ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
213209, 210, 212sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
214208, 213eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻𝑖)‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
215 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
21615, 195, 199, 200, 202, 214, 215ulmclm 25746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ⇝ (𝑓𝑦))
21715, 195, 196, 198, 216isumclim 15642 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = (𝑓𝑦))
218217mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
21968, 218eqtrid 2788 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
220194, 219eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
221191, 220breqtrd 5131 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
222221ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
223222exlimdv 1936 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
224 eldmg 5854 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓))
225224ibi 266 . . . 4 (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
226223, 225impel 506 . . 3 ((𝜑𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆)) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
227190, 226syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
228 0red 11158 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22971, 227, 4, 228ltlecasei 11263 1 (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  𝑢culm 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ulm 25736
This theorem is referenced by:  psercn2  25782  pserdvlem2  25787
  Copyright terms: Public domain W3C validator