Theorem pserulm 25116

Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
pserulm	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem pserulm

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pserulm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
3		0xr 10726	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		pserulm.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 10729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
6		icc0 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
7	3, 5, 6	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
8	7	biimpar 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → (0[,]𝑀) = ∅)
9	8	imaeq2d 5901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) = (◡abs “ ∅))
10		ima0 5917	. . . . . 6 ⊢ (◡abs “ ∅) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) = ∅)
12	2, 11	sseqtrd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ ∅)
13		ss0 4294	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ∅ → 𝑆 = ∅)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝑆 = ∅)
15		nn0uz 12320	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16		0zd 12032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
17		0zd 12032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
18		pserf.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
19		pserf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21		cnvimass 5921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
22		absf 14745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
23	22	fdmi 6509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom abs = ℂ
24	21, 23	sseqtri 3928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
25	1, 24	sstrdi 3904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
26	25	sselda 3892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
27	18, 20, 26	psergf 25106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
28	27	ffvelrnda 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
29	15, 17, 28	serf 13448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
30	29	ffvelrnda 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
31	30	an32s 651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
32	31	fmpttd 6870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
33		cnex 10656	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
34		ssexg 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
35	25, 33, 34	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
36	35	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
37		elmapg 8429	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
38	33, 36, 37	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
39	32, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
40		pserulm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
41	39, 40	fmptd 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
42		eqidd 2759	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
43		pserf.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
44	1	sselda 3892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
45		ffn 6498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
46		elpreima 6819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))))
47	22, 45, 46	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
48	44, 47	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
49	48	simprd 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))
50		0re 10681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
51	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		elicc2 12844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
53	50, 51, 52	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
54	49, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀))
55	54	simp1d 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
56	55	rexrd 10729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ*)
57	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
58		iccssxr 12862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
59	18, 19, 43	radcnvcl 25111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
60	58, 59	sseldi 3890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
61	60	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62	54	simp3d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
63		pserulm.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑅)
64	63	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
65	56, 57, 61, 62, 64	xrlelttrd 12594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
66	18, 20, 43, 26, 65	radcnvlt2 25113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
67	15, 17, 42, 28, 66	isumcl 15164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
68		pserf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
69	67, 68	fmptd 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
70	15, 16, 41, 69	ulm0 25085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
71	14, 70	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
72		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
73	72, 15	eleqtrdi 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
74		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))
75		fveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑦))
76	75	fveq1d 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑤)‘𝑚) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑚))
77	76	cbvmptv 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑚))
78		fveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑚) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))
79	78	mpteq2dv 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
80	77, 79	syl5eq 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
81		elfznn0 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
83	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
84	83	mptexd 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
85	74, 80, 82, 84	fvmptd3 6782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
86	36, 73, 85	seqof 13477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
87	86	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) = (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
88	87	mpteq2dva 5127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
89		0z 12031	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
90		seqfn 13430	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0)
92	15	fneq2i 6432	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
93	91, 92	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0
94		dffn5 6712	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
95	93, 94	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
96	88, 40, 95	3eqtr4g 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))))
97	96	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 = seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))))
98		0zd 12032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
99	35	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ∈ V)
100	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
101	25	sselda 3892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ ℂ)
102	18, 100, 101	psergf 25106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤):ℕ0⟶ℂ)
103	102	ffvelrnda 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
104	103	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
105	104	fmpttd 6870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ)
106	35	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
107		elmapg 8429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
108	33, 106, 107	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
109	105, 108	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
110	109	fmpttd 6870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
111	110	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
112		fex 6980	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
113	22, 33, 112	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ V
114		fvex 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑀) ∈ V
115	113, 114	coex 7640	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ (𝐺‘𝑀)) ∈ V
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺‘𝑀)) ∈ V)
117	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
118	4	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
119	118	recnd 10707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
120	18, 117, 119	psergf 25106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ)
121		fco 6516	. . . . . . 7 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ) → (abs ∘ (𝐺‘𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
122	22, 120, 121	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺‘𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
123	122	ffvelrnda 6842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) ∈ ℝ)
124	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
125		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
126	124, 125	sseldd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ ℂ)
127		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
128	126, 127	expcld 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
129	128	abscld 14844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑧↑𝑘)) ∈ ℝ)
130	119	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
131	130, 127	expcld 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀↑𝑘) ∈ ℂ)
132	131	abscld 14844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑀↑𝑘)) ∈ ℝ)
133	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
134	133, 127	ffvelrnd 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
135	134	abscld 14844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
136	134	absge0d 14852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴‘𝑘)))
137	126	abscld 14844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
138	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
139	126	absge0d 14852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
140		fveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
141	140	breq1d 5042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀))
142	62	ralrimiva 3113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
143	142	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
144	141, 143, 125	rspcdva 3543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)
145		leexp1a 13589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀↑𝑘))
146	137, 138, 127, 139, 144, 145	syl32anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀↑𝑘))
147	126, 127	absexpd 14860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑧↑𝑘)) = ((abs‘𝑧)↑𝑘))
148	130, 127	absexpd 14860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑀↑𝑘)) = ((abs‘𝑀)↑𝑘))
149		absid 14704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
150	4, 149	sylan 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
151	150	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
152	151	oveq1d 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs‘𝑀)↑𝑘) = (𝑀↑𝑘))
153	148, 152	eqtrd 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑀↑𝑘)) = (𝑀↑𝑘))
154	146, 147, 153	3brtr4d 5064	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑧↑𝑘)) ≤ (abs‘(𝑀↑𝑘)))
155	129, 132, 135, 136, 154	lemul2ad 11618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑧↑𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑀↑𝑘))))
156	134, 128	absmuld 14862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑧↑𝑘))))
157	134, 131	absmuld 14862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))) = ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑀↑𝑘))))
158	155, 156, 157	3brtr4d 5064	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))))
159	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
160	159	mptexd 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
161	74, 80, 127, 160	fvmptd3 6782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
162	161	fveq1d 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))‘𝑧))
163		fveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
164	163	fveq1d 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑘))
165		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))
166		fvex 6671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑧)‘𝑘) ∈ V
167	164, 165, 166	fvmpt 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑘))
168	167	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑘))
169	18	pserval2 25105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
170	126, 127, 169	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
171	162, 168, 170	3eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
172	171	fveq2d 6662	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) = (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
173	120	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ)
174		fvco3 6751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑘)))
175	173, 127, 174	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑘)))
176	18	pserval2 25105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑀)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘)))
177	130, 127, 176	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐺‘𝑀)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘)))
178	177	fveq2d 6662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑘)) = (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))))
179	175, 178	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))))
180	158, 172, 179	3brtr4d 5064	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) ≤ ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘))
181	63	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 < 𝑅)
182	150, 181	eqbrtrd 5054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
183		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
184		2fveq3 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑚)))
185	183, 184	oveq12d 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑚))))
186	185	cbvmptv 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑚))))
187	18, 117, 43, 119, 182, 186	radcnvlt1 25112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑀))) ∈ dom ⇝ ))
188	187	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑀))) ∈ dom ⇝ )
189	15, 98, 99, 111, 116, 123, 180, 188	mtest 25098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆))
190	97, 189	eqeltrd 2852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆))
191		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓)
192		ulmcl 25075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓 → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
193	192	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
194	193	feqmptd 6721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑓‘𝑦)))
195		0zd 12032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
196		eqidd 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
197	27	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
198	197	ffvelrnda 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
199	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
200		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
201		seqex 13420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ V
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ V)
203		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
204	35	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
205	204	mptexd 6978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
206	40	fvmpt2 6770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ V) → (𝐻‘𝑖) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
207	203, 205, 206	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑖) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
208	207	fveq1d 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻‘𝑖)‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))‘𝑦))
209		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ 𝑆)
210		fvex 6671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ V
211		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
212	211	fvmpt2 6770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
213	209, 210, 212	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
214	208, 213	eqtrd 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻‘𝑖)‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
215		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓)
216	15, 195, 199, 200, 202, 214, 215	ulmclm 25081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ⇝ (𝑓‘𝑦))
217	15, 195, 196, 198, 216	isumclim 15160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = (𝑓‘𝑦))
218	217	mpteq2dva 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑓‘𝑦)))
219	68, 218	syl5eq 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑓‘𝑦)))
220	194, 219	eqtr4d 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
221	191, 220	breqtrd 5058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
222	221	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹))
223	222	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹))
224		eldmg 5738	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆) → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆) ↔ ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓))
225	224	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆) → ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓)
226	223, 225	impel 509	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆)) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
227	190, 226	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
228		0red 10682	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
229	71, 227, 4, 228	ltlecasei 10786	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ^◡ccnv 5523  dom cdm 5524   “ cima 5527   ∘ ccom 5528   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7403   ↑_m cmap 8416  supcsup 8937  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575   + caddc 10578   · cmul 10580  +∞cpnf 10710  ℝ^*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕ₀cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282  [,]cicc 12782  ...cfz 12939  seqcseq 13418  ↑cexp 13479  abscabs 14641   ⇝ cli 14889  Σcsu 15090  ⇝_𝑢culm 25070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ulm 25071

This theorem is referenced by:  psercn2  25117  pserdvlem2  25122