Theorem pserulm 26359

Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑅)
pserulm.y	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
pserulm	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem pserulm

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pserulm.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
3		0xr 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		pserulm.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
6		icc0 13295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
8	7	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → (0[,]𝑀) = ∅)
9	8	imaeq2d 6013	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) = (◡abs “ ∅))
10		ima0 6030	. . . . . 6 ⊢ (◡abs “ ∅) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) = ∅)
12	2, 11	sseqtrd 3967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ ∅)
13		ss0 4351	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ∅ → 𝑆 = ∅)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝑆 = ∅)
15		nn0uz 12776	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16		0zd 12487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
17		0zd 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
18		pserf.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
19		pserf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21		cnvimass 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
22		absf 15247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
23	22	fdmi 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom abs = ℂ
24	21, 23	sseqtri 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
25	1, 24	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
26	25	sselda 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
27	18, 20, 26	psergf 26349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
28	27	ffvelcdmda 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
29	15, 17, 28	serf 13939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
31	30	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
32	31	fmpttd 7054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
33		cnex 11094	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
34		ssexg 5263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
35	25, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
37		elmapg 8769	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
38	33, 36, 37	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
39	32, 38	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
40		pserulm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
41	39, 40	fmptd 7053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
42		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
43		pserf.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
44	1	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
45		ffn 6656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
46		elpreima 6997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))))
47	22, 45, 46	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
48	44, 47	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
49	48	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))
50		0re 11121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
51	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		elicc2 13313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
53	50, 51, 52	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
54	49, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀))
55	54	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
56	55	rexrd 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ*)
57	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
58		iccssxr 13332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
59	18, 19, 43	radcnvcl 26354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
60	58, 59	sselid 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
61	60	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62	54	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
63		pserulm.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑅)
64	63	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
65	56, 57, 61, 62, 64	xrlelttrd 13061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
66	18, 20, 43, 26, 65	radcnvlt2 26356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
67	15, 17, 42, 28, 66	isumcl 15670	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
68		pserf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
69	67, 68	fmptd 7053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
70	15, 16, 41, 69	ulm0 26328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
71	14, 70	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 0) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
72		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
73	72, 15	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
74		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))
75		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑦))
76	75	fveq1d 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑤)‘𝑚) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑚))
77	76	cbvmptv 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑚))
78		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑚) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))
79	78	mpteq2dv 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
80	77, 79	eqtrid 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
81		elfznn0 13522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
83	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
84	83	mptexd 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
85	74, 80, 82, 84	fvmptd3 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
86	36, 73, 85	seqof 13968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
87	86	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) = (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
88	87	mpteq2dva 5186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
89		0z 12486	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
90		seqfn 13922	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0)
92	15	fneq2i 6584	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
93	91, 92	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0
94		dffn5 6886	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
95	93, 94	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
96	88, 40, 95	3eqtr4g 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))))
97	96	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 = seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))))
98		0zd 12487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
99	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ∈ V)
100	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
101	25	sselda 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ ℂ)
102	18, 100, 101	psergf 26349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤):ℕ0⟶ℂ)
103	102	ffvelcdmda 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
104	103	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
105	104	fmpttd 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ)
106	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
107		elmapg 8769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
108	33, 106, 107	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
109	105, 108	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
110	109	fmpttd 7054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
111	110	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
112		fex 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
113	22, 33, 112	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ V
114		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑀) ∈ V
115	113, 114	coex 7866	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ (𝐺‘𝑀)) ∈ V
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺‘𝑀)) ∈ V)
117	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
118	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
119	118	recnd 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
120	18, 117, 119	psergf 26349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ)
121		fco 6680	. . . . . . 7 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ) → (abs ∘ (𝐺‘𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
122	22, 120, 121	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺‘𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
123	122	ffvelcdmda 7023	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) ∈ ℝ)
124	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
125		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
126	124, 125	sseldd 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ ℂ)
127		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
128	126, 127	expcld 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
129	128	abscld 15348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑧↑𝑘)) ∈ ℝ)
130	119	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
131	130, 127	expcld 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀↑𝑘) ∈ ℂ)
132	131	abscld 15348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑀↑𝑘)) ∈ ℝ)
133	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
134	133, 127	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
135	134	abscld 15348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
136	134	absge0d 15356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴‘𝑘)))
137	126	abscld 15348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
138	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
139	126	absge0d 15356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
140		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
141	140	breq1d 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀))
142	62	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
143	142	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
144	141, 143, 125	rspcdva 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)
145		leexp1a 14084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀↑𝑘))
146	137, 138, 127, 139, 144, 145	syl32anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀↑𝑘))
147	126, 127	absexpd 15364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑧↑𝑘)) = ((abs‘𝑧)↑𝑘))
148	130, 127	absexpd 15364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑀↑𝑘)) = ((abs‘𝑀)↑𝑘))
149		absid 15205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
150	4, 149	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
152	151	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs‘𝑀)↑𝑘) = (𝑀↑𝑘))
153	148, 152	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑀↑𝑘)) = (𝑀↑𝑘))
154	146, 147, 153	3brtr4d 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(𝑧↑𝑘)) ≤ (abs‘(𝑀↑𝑘)))
155	129, 132, 135, 136, 154	lemul2ad 12069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑧↑𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑀↑𝑘))))
156	134, 128	absmuld 15366	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑧↑𝑘))))
157	134, 131	absmuld 15366	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))) = ((abs‘(𝐴‘𝑘)) · (abs‘(𝑀↑𝑘))))
158	155, 156, 157	3brtr4d 5125	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))))
159	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
160	159	mptexd 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
161	74, 80, 127, 160	fvmptd3 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)))
162	161	fveq1d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))‘𝑧))
163		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
164	163	fveq1d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑘))
165		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))
166		fvex 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑧)‘𝑘) ∈ V
167	164, 165, 166	fvmpt 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑘))
168	167	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧)‘𝑘))
169	18	pserval2 26348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
170	126, 127, 169	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐺‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
171	162, 168, 170	3eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
172	171	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) = (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
173	120	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ)
174		fvco3 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑀):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑘)))
175	173, 127, 174	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑘)))
176	18	pserval2 26348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑀)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘)))
177	130, 127, 176	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐺‘𝑀)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘)))
178	177	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑘)) = (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))))
179	175, 178	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐴‘𝑘) · (𝑀↑𝑘))))
180	158, 172, 179	3brtr4d 5125	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) ≤ ((abs ∘ (𝐺‘𝑀))‘𝑘))
181	63	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 < 𝑅)
182	150, 181	eqbrtrd 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
183		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
184		2fveq3 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑚)))
185	183, 184	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑚))))
186	185	cbvmptv 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑚))))
187	18, 117, 43, 119, 182, 186	radcnvlt1 26355	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑀)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑀))) ∈ dom ⇝ ))
188	187	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑀))) ∈ dom ⇝ )
189	15, 98, 99, 111, 116, 123, 180, 188	mtest 26341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐺‘𝑤)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆))
190	97, 189	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆))
191		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓)
192		ulmcl 26318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓 → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
193	192	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
194	193	feqmptd 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑓‘𝑦)))
195		0zd 12487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
196		eqidd 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
197	27	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
198	197	ffvelcdmda 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
199	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝑆))
200		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
201		seqex 13912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ V
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ V)
203		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
204	35	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
205	204	mptexd 7164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
206	40	fvmpt2 6946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) ∈ V) → (𝐻‘𝑖) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
207	203, 205, 206	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑖) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)))
208	207	fveq1d 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻‘𝑖)‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))‘𝑦))
209		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ 𝑆)
210		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ V
211		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
212	211	fvmpt2 6946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
213	209, 210, 212	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
214	208, 213	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻‘𝑖)‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺‘𝑦))‘𝑖))
215		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓)
216	15, 195, 199, 200, 202, 214, 215	ulmclm 26324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ⇝ (𝑓‘𝑦))
217	15, 195, 196, 198, 216	isumclim 15666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗) = (𝑓‘𝑦))
218	217	mpteq2dva 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑓‘𝑦)))
219	68, 218	eqtrid 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑓‘𝑦)))
220	194, 219	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
221	191, 220	breqtrd 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
222	221	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹))
223	222	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹))
224		eldmg 5842	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆) → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆) ↔ ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓))
225	224	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆) → ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝑓)
226	223, 225	impel 505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢‘𝑆)) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
227	190, 226	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)
228		0red 11122	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
229	71, 227, 4, 228	ltlecasei 11228	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614   ↑_m cmap 8756  supcsup 9331  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013   + caddc 11016   · cmul 11018  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  [,]cicc 13250  ...cfz 13409  seqcseq 13910  ↑cexp 13970  abscabs 15143   ⇝ cli 15393  Σcsu 15595  ⇝_𝑢culm 26313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ulm 26314

This theorem is referenced by:  psercn2  26360  psercn2OLD  26361  pserdvlem2  26366