Theorem ioodvbdlimc1 46762

Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc1.dmdv	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1.dvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc1	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ioodvbdlimc1

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioodvbdlimc1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ioodvbdlimc1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6		ioodvbdlimc1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8		ioodvbdlimc1.dmdv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
10		ioodvbdlimc1.dvbd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
12		2fveq3 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
13	12	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
14	13	rneqi 5921	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
15	14	supeq1i 9418	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) = ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)
17		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑘))
18	17	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / 𝑘)))
19	18	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑘))))
20	19	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑘))))
21	18	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑘)))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) = if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1))
23		biid 264	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))‘𝑘) − (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < (1 / 𝑘)) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))‘𝑘) − (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < (1 / 𝑘)))
24	2, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 16, 20, 21, 22, 23	ioodvbdlimc1lem2 46761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
25	24	ne0d 4288	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)
26		ax-resscn 11182	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	6, 27	fssd 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
31	1	rexrd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	rexrd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35		ioo0 13424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
36	32, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
37	30, 36	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
38	37	feq2d 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ↔ 𝐹:∅⟶ℂ))
39	29, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:∅⟶ℂ)
40	1	recnd 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	limcdm0 46449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐴) = ℂ)
43		0cn 11223	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
44	43	ne0ii 4290	. . . 4 ⊢ ℂ ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ℂ ≠ ∅)
46	42, 45	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)
47	25, 46, 1, 3	ltlecasei 11343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  supcsup 9411  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  2c2 12320  ℤ_≥cuz 12888  ℝ⁺crp 13043  (,)cioo 13399  ⌊cfl 13852  abscabs 15322  lim supclsp 15558   lim_ℂ climc 26090   D cdv 26091

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26094  df-dv 26095

This theorem is used by:  fourierdlem94  47029  fourierdlem113  47048