Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodvbdlimc1 44264
Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
ioodvbdlimc1.dmdv (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
ioodvbdlimc1.dvbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem ioodvbdlimc1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioodvbdlimc1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 ioodvbdlimc1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝐡)
6 ioodvbdlimc1.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
76adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
8 ioodvbdlimc1.dmdv . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
10 ioodvbdlimc1.dvbd . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
12 2fveq3 6851 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
1312cbvmptv 5222 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
1413rneqi 5896 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
1514supeq1i 9391 . . . 4 sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) = sup(ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))), ℝ, < )
16 eqid 2733 . . . 4 ((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)
17 oveq2 7369 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑗) = (1 / π‘˜))
1817oveq2d 7377 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / π‘˜)))
1918fveq2d 6850 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗))) = (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / π‘˜))))
2019cbvmptv 5222 . . . 4 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗)))) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / π‘˜))))
2118cbvmptv 5222 . . . 4 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / π‘˜)))
22 eqid 2733 . . . 4 if(((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1) ≀ ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) = if(((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1) ≀ ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1))
23 biid 261 . . . 4 (((((((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1) ≀ ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)))) ∧ (absβ€˜(((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗))))β€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < (1 / π‘˜)) ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1) ≀ ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))), ℝ, < ) / (π‘₯ / 2))) + 1), ((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)))) ∧ (absβ€˜(((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗))))β€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (π‘₯ / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < (1 / π‘˜)))
242, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 16, 20, 21, 22, 23ioodvbdlimc1lem2 44263 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) + 1)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + (1 / 𝑗))))) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
2524ne0d 4299 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) β‰  βˆ…)
26 ax-resscn 11116 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
2726a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
286, 27fssd 6690 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
2928adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
30 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
311rexrd 11213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
333rexrd 11213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
35 ioo0 13298 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴(,)𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 ≀ 𝐴))
3632, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴(,)𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 ≀ 𝐴))
3730, 36mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
3837feq2d 6658 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:βˆ…βŸΆβ„‚))
3929, 38mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐹:βˆ…βŸΆβ„‚)
401recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4140adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4239, 41limcdm0 43949 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) = β„‚)
43 0cn 11155 . . . . 5 0 ∈ β„‚
4443ne0ii 4301 . . . 4 β„‚ β‰  βˆ…
4544a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ β„‚ β‰  βˆ…)
4642, 45eqnetrd 3008 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) β‰  βˆ…)
4725, 46, 1, 3ltlecasei 11271 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  βŒŠcfl 13704  abscabs 15128  lim supclsp 15361   limβ„‚ climc 25249   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  44531  fourierdlem113  44550
  Copyright terms: Public domain W3C validator