Theorem ioodvbdlimc1 47079

Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc1.dmdv	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1.dvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc1	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ioodvbdlimc1

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioodvbdlimc1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ioodvbdlimc1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6		ioodvbdlimc1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8		ioodvbdlimc1.dmdv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
10		ioodvbdlimc1.dvbd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
12		2fveq3 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
13	12	cbvmptv 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
14	13	rneqi 5920	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
15	14	supeq1i 9446	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) = ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)
17		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑘))
18	17	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / 𝑘)))
19	18	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑘))))
20	19	cbvmptv 5208	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑘))))
21	18	cbvmptv 5208	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑘)))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) = if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1))
23		biid 264	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))‘𝑘) − (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < (1 / 𝑘)) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1) ≤ ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(sup(ran (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦))), ℝ, < ) / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)))) ∧ (abs‘(((𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))‘𝑘) − (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < (1 / 𝑘)))
24	2, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 16, 20, 21, 22, 23	ioodvbdlimc1lem2 47078	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / (𝐵 − 𝐴))) + 1)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
25	24	ne0d 4287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)
26		ax-resscn 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	6, 27	fssd 6732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
31	1	rexrd 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	rexrd 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35		ioo0 13508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
36	32, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
37	30, 36	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
38	37	feq2d 6698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ↔ 𝐹:∅⟶ℂ))
39	29, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐹:∅⟶ℂ)
40	1	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	limcdm0 46766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐴) = ℂ)
43		0cn 11305	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
44	43	ne0ii 4289	. . . 4 ⊢ ℂ ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ℂ ≠ ∅)
46	42, 45	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)
47	25, 46, 1, 3	ltlecasei 11425	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  supcsup 9439  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  2c2 12404  ℤ_≥cuz 12972  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  ⌊cfl 13937  abscabs 15410  lim supclsp 15646   lim_ℂ climc 26191   D cdv 26192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196

This theorem is used by:  fourierdlem94  47346  fourierdlem113  47365