MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip1 25361
Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
c1lip1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
c1lip1.f (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
c1lip1.dv (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
c1lip1.cn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
c1lip1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘   𝑥,𝐴,𝑦,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11157 . . . 4 0 ∈ ℝ
21ne0ii 4297 . . 3 ℝ ≠ ∅
3 ral0 4470 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))
4 c1lip1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 c1lip1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8 icc0 13312 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
109biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1110raleqdv 3313 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
123, 11mpbiri 257 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
1312ralrimivw 3147 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
14 r19.2z 4452 . . 3 ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
152, 13, 14sylancr 587 . 2 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
164adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
176adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
19 c1lip1.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
21 c1lip1.dv . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
23 c1lip1.cn . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
25 eqid 2736 . . . . 5 sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < )
2616, 17, 18, 20, 22, 24, 25c1liplem1 25360 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))))
27 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))
2827breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎)))))
2928imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → ((𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))))
30292ralbidv 3212 . . . . 5 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))))
3130rspcev 3581 . . . 4 ((sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
3226, 31syl 17 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
33 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑏𝑥 < 𝑏))
34 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑥))
3534oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥)))
3635fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))))
37 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑥))
3837fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑥)))
3938oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))))
4036, 39breq12d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥)))))
4133, 40imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝑥 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))))))
42 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑏𝑥 < 𝑦))
43 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑦 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑦))
4443fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
45 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝑥)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4645oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑦 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))) = (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
4744, 46breq12d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
4842, 47imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥)))) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))))
4941, 48rspc2v 3590 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))))
5049ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))))
51 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑥 < 𝑦 → ((𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
5251adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
5350, 52syld 47 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
54 0le0 12254 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
55 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5655ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
57 cncff 24256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
60 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
61 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) ∈ ℝ)
6259, 60, 61syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) ∈ ℝ)
6356, 62eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6463recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6564subidd 11500 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥)) = 0)
6665abs00bd 15176 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) = 0)
67 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
684, 6, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6968ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
70 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7169, 70sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7271recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
7372subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝑥) = 0)
7473abs00bd 15176 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑥𝑥)) = 0)
7574oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) = (𝑘 · 0))
76 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7776recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑘 ∈ ℂ)
7877mul01d 11354 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑘 · 0) = 0)
7975, 78eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) = 0)
8066, 79breq12d 5118 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) ↔ 0 ≤ 0))
8154, 80mpbiri 257 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))))
82 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
8382fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
84 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝑥𝑥)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
8584oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) = (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
8683, 85breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
8781, 86syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
8887imp 407 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
8988a1d 25 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
90 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏𝑦 < 𝑏))
91 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑦))
9291oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦)))
9392fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))))
94 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑦))
9594fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑦)))
9695oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))))
9793, 96breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦)))))
9890, 97imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝑦 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))))))
99 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑏𝑦 < 𝑥))
100 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑥))
101100fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))))
102 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → (abs‘(𝑏𝑦)) = (abs‘(𝑥𝑦)))
103102oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))) = (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))
104101, 103breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦)))))
10599, 104imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦)))) ↔ (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
10698, 105rspc2v 3590 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
107106ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
108107ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
109 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
110 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
111110ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
112 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
113 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) ∈ ℝ)
11459, 112, 113syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) ∈ ℝ)
115111, 114eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
116115recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
11764, 116abssubd 15338 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
118117adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
11968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
120119sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
121119sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
122120, 121anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
123122imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
124 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
125 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
126 abssub 15211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
127124, 125, 126syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
128123, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
129128adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
130129oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))) = (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
131118, 130breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
132131biimpd 228 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
133109, 132embantd 59 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
134108, 133syld 47 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
135 lttri4 11239 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
136123, 135syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
13753, 89, 134, 136mpjao3dan 1431 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
138137ralrimdvva 3203 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
139138reximdva 3165 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
14032, 139mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
14115, 140, 6, 4ltlecasei 11263 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cres 5635  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  pm cpm 8766  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  [,]cicc 13267  abscabs 15119  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  c1lip2  25362
  Copyright terms: Public domain W3C validator