MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip1 25943
Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
c1lip1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
c1lip1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
c1lip1.dv (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
c1lip1.cn (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
Assertion
Ref Expression
c1lip1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘˜

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11247 . . . 4 0 โˆˆ โ„
21ne0ii 4338 . . 3 โ„ โ‰  โˆ…
3 ral0 4513 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4 c1lip1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54rexrd 11295 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 c1lip1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76rexrd 11295 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
8 icc0 13405 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด[,]๐ต) = โˆ… โ†” ๐ต < ๐ด))
95, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด[,]๐ต) = โˆ… โ†” ๐ต < ๐ด))
109biimpar 477 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (๐ด[,]๐ต) = โˆ…)
1110raleqdv 3322 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
123, 11mpbiri 258 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
1312ralrimivw 3147 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
14 r19.2z 4495 . . 3 ((โ„ โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
152, 13, 14sylancr 586 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
164adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
176adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
18 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
19 c1lip1.f . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
2019adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
21 c1lip1.dv . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
2221adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
23 c1lip1.cn . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
2423adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
25 eqid 2728 . . . . 5 sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < )
2616, 17, 18, 20, 22, 24, 25c1liplem1 25942 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
27 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))
2827breq2d 5160 . . . . . . 7 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
2928imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
30292ralbidv 3215 . . . . 5 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
3130rspcev 3609 . . . 4 ((sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
3226, 31syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
33 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” ๐‘ฅ < ๐‘))
34 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
3534oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž)) = ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
3635fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
3837fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
3938oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))))
4036, 39breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4133, 40imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘ฅ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
42 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ โ†” ๐‘ฅ < ๐‘ฆ))
43 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
4443fvoveq1d 7442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
45 fvoveq1 7443 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4645oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
4744, 46breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4842, 47imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†” (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
4941, 48rspc2v 3620 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
5049ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
51 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
5251adantl 481 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
5350, 52syld 47 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
54 0le0 12344 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 0
55 fvres 6916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
57 cncff 24826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
60 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
61 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6259, 60, 61syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6356, 62eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6463recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6564subidd 11590 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 0)
6665abs00bd 15271 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 0)
67 iccssre 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
684, 6, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
6968ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
70 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
7169, 70sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7271recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7372subidd 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
7473abs00bd 15271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ)) = 0)
7574oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท 0))
76 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7776recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7877mul01d 11444 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท 0) = 0)
7975, 78eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = 0)
8066, 79breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” 0 โ‰ค 0))
8154, 80mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))))
82 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
8382fvoveq1d 7442 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
84 fvoveq1 7443 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
8584oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
8683, 85breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
8781, 86syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
8887imp 406 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
8988a1d 25 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
90 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” ๐‘ฆ < ๐‘))
91 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
9291oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž)) = ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
9392fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
94 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
9594fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
9695oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
9793, 96breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))))
9890, 97imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
99 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ โ†” ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
100 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
101100fvoveq1d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
102 fvoveq1 7443 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
103102oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
104101, 103breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))
10599, 104imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
10698, 105rspc2v 3620 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
107106ancoms 458 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
108107ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
109 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ)
110 fvres 6916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
111110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
112 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
113 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
11459, 112, 113syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
115111, 114eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
116115recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
11764, 116abssubd 15433 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
118117adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
11968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
120119sseld 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
121119sseld 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
122120, 121anim12d 608 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)))
123122imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
124 recn 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
125 recn 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
126 abssub 15306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
127124, 125, 126syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
128123, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
129128adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
130129oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
131118, 130breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
132131biimpd 228 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
133109, 132embantd 59 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
134108, 133syld 47 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
135 lttri4 11329 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
136123, 135syl 17 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
13753, 89, 134, 136mpjao3dan 1429 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
138137ralrimdvva 3206 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
139138reximdva 3165 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
14032, 139mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
14115, 140, 6, 4ltlecasei 11353 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ w3o 1084   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   โІ wss 3947  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   โ†พ cres 5680   โ€œ cima 5681  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โ†‘pm cpm 8846  supcsup 9464  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   ยท cmul 11144  โ„*cxr 11278   < clt 11279   โ‰ค cle 11280   โˆ’ cmin 11475  [,]cicc 13360  abscabs 15214  โ€“cnโ†’ccncf 24809   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  c1lip2  25944
  Copyright terms: Public domain W3C validator