MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip1 24051
Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
c1lip1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
c1lip1.f (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
c1lip1.dv (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
c1lip1.cn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
c1lip1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘   𝑥,𝐴,𝑦,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10295 . . . 4 0 ∈ ℝ
21ne0ii 4088 . . 3 ℝ ≠ ∅
3 ral0 4235 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))
4 c1lip1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 10343 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 c1lip1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76rexrd 10343 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8 icc0 12425 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
95, 7, 8syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
109biimpar 469 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1110raleqdv 3292 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
123, 11mpbiri 249 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
1312ralrimivw 3114 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
14 r19.2z 4219 . . 3 ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
152, 13, 14sylancr 581 . 2 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
164adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
176adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
19 c1lip1.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2019adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
21 c1lip1.dv . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2221adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
23 c1lip1.cn . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2423adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
25 eqid 2765 . . . . 5 sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < )
2616, 17, 18, 20, 22, 24, 25c1liplem1 24050 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))))
27 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))
2827breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎)))))
2928imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → ((𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))))
30292ralbidv 3136 . . . . 5 (𝑘 = sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))))
3130rspcev 3461 . . . 4 ((sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (sup((abs “ ((ℝ D 𝐹) “ (𝐴[,]𝐵))), ℝ, < ) · (abs‘(𝑏𝑎))))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
3226, 31syl 17 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
33 breq1 4812 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑏𝑥 < 𝑏))
34 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑥))
3534oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥)))
3635fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))))
37 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑥))
3837fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑥)))
3938oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))))
4036, 39breq12d 4822 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥)))))
4133, 40imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝑥 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))))))
42 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑏𝑥 < 𝑦))
43 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑦 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑦))
4443fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
45 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝑥)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4645oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑦 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))) = (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
4744, 46breq12d 4822 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
4842, 47imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑥)))) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))))
4941, 48rspc2v 3474 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))))
5049ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))))
51 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑥 < 𝑦 → ((𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
5251adantl 473 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
5350, 52syld 47 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
54 0le0 11380 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
55 fvres 6394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5655ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
57 cncff 22975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5958ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
60 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
61 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) ∈ ℝ)
6259, 60, 61syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) ∈ ℝ)
6356, 62eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6463recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6564subidd 10634 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥)) = 0)
6665abs00bd 14316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) = 0)
67 iccssre 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
684, 6, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6968ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
70 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7169, 70sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7271recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
7372subidd 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝑥) = 0)
7473abs00bd 14316 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑥𝑥)) = 0)
7574oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) = (𝑘 · 0))
76 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7776recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑘 ∈ ℂ)
7877mul01d 10489 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑘 · 0) = 0)
7975, 78eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) = 0)
8066, 79breq12d 4822 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) ↔ 0 ≤ 0))
8154, 80mpbiri 249 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))))
82 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
8382fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
84 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝑥𝑥)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
8584oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) = (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
8683, 85breq12d 4822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
8781, 86syl5ibcom 236 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
8887imp 395 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
8988a1d 25 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
90 breq1 4812 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏𝑦 < 𝑏))
91 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑦))
9291oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦)))
9392fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))))
94 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑦))
9594fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑦)))
9695oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))))
9793, 96breq12d 4822 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦)))))
9890, 97imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝑦 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))))))
99 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑏𝑦 < 𝑥))
100 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑥))
101100fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))))
102 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → (abs‘(𝑏𝑦)) = (abs‘(𝑥𝑦)))
103102oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))) = (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))
104101, 103breq12d 4822 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦))) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦)))))
10599, 104imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑦)))) ↔ (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
10698, 105rspc2v 3474 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
107106ancoms 450 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
108107ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))))))
109 simpr 477 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
110 fvres 6394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
111110ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (𝐹𝑦))
112 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
113 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) ∈ ℝ)
11459, 112, 113syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) ∈ ℝ)
115111, 114eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
116115recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
11764, 116abssubd 14477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
118117adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
11968ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
120119sseld 3760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
121119sseld 3760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
122120, 121anim12d 602 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
123122imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
124 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
125 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
126 abssub 14351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
127124, 125, 126syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
128123, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
129128adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
130129oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))) = (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
131118, 130breq12d 4822 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
132131biimpd 220 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
133109, 132embantd 59 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ((𝑦 < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑦))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑥𝑦)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
134108, 133syld 47 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
135 lttri4 10376 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
136123, 135syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
13753, 89, 134, 136mpjao3dan 1556 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
138137ralrimdvva 3121 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
139138reximdva 3163 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑎 < 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑏𝑎)))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
14032, 139mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
14115, 140, 6, 4ltlecasei 10399 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1106   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  cres 5279  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  pm cpm 8061  supcsup 8553  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  [,]cicc 12380  abscabs 14259  cnccncf 22958   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  c1lip2  24052
  Copyright terms: Public domain W3C validator