MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip1 25881
Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
c1lip1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
c1lip1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
c1lip1.dv (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
c1lip1.cn (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
Assertion
Ref Expression
c1lip1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘˜

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11217 . . . 4 0 โˆˆ โ„
21ne0ii 4332 . . 3 โ„ โ‰  โˆ…
3 ral0 4507 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4 c1lip1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54rexrd 11265 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 c1lip1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76rexrd 11265 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
8 icc0 13375 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด[,]๐ต) = โˆ… โ†” ๐ต < ๐ด))
95, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด[,]๐ต) = โˆ… โ†” ๐ต < ๐ด))
109biimpar 477 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (๐ด[,]๐ต) = โˆ…)
1110raleqdv 3319 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
123, 11mpbiri 258 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
1312ralrimivw 3144 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
14 r19.2z 4489 . . 3 ((โ„ โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
152, 13, 14sylancr 586 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
164adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
176adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
18 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
19 c1lip1.f . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
2019adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
21 c1lip1.dv . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
2221adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
23 c1lip1.cn . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
2423adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
25 eqid 2726 . . . . 5 sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < )
2616, 17, 18, 20, 22, 24, 25c1liplem1 25880 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
27 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))
2827breq2d 5153 . . . . . . 7 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
2928imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
30292ralbidv 3212 . . . . 5 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
3130rspcev 3606 . . . 4 ((sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
3226, 31syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
33 breq1 5144 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” ๐‘ฅ < ๐‘))
34 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
3534oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž)) = ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
3635fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
3837fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
3938oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))))
4036, 39breq12d 5154 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4133, 40imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘ฅ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
42 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ โ†” ๐‘ฅ < ๐‘ฆ))
43 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
4443fvoveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
45 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4645oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
4744, 46breq12d 5154 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4842, 47imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†” (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
4941, 48rspc2v 3617 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
5049ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
51 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
5251adantl 481 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
5350, 52syld 47 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
54 0le0 12314 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 0
55 fvres 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5655ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
57 cncff 24764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
60 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
61 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6259, 60, 61syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6356, 62eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6463recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6564subidd 11560 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 0)
6665abs00bd 15242 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 0)
67 iccssre 13409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
684, 6, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
6968ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
70 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
7169, 70sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7271recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7372subidd 11560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
7473abs00bd 15242 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ)) = 0)
7574oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท 0))
76 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7776recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7877mul01d 11414 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท 0) = 0)
7975, 78eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = 0)
8066, 79breq12d 5154 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” 0 โ‰ค 0))
8154, 80mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))))
82 fveq2 6884 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
8382fvoveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
84 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
8584oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
8683, 85breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
8781, 86syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
8887imp 406 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
8988a1d 25 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
90 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” ๐‘ฆ < ๐‘))
91 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
9291oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž)) = ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
9392fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
94 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
9594fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
9695oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
9793, 96breq12d 5154 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))))
9890, 97imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
99 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ โ†” ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
100 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
101100fvoveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
102 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
103102oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
104101, 103breq12d 5154 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))
10599, 104imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
10698, 105rspc2v 3617 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
107106ancoms 458 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
108107ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
109 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ)
110 fvres 6903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
111110ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
112 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
113 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
11459, 112, 113syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
115111, 114eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
116115recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
11764, 116abssubd 15404 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
118117adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
11968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โІ โ„)
120119sseld 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
121119sseld 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
122120, 121anim12d 608 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)))
123122imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
124 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
125 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
126 abssub 15277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
127124, 125, 126syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
128123, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
129128adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
130129oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
131118, 130breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
132131biimpd 228 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
133109, 132embantd 59 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
134108, 133syld 47 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
135 lttri4 11299 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
136123, 135syl 17 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
13753, 89, 134, 136mpjao3dan 1428 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
138137ralrimdvva 3203 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
139138reximdva 3162 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
14032, 139mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
14115, 140, 6, 4ltlecasei 11323 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ w3o 1083   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   โ†พ cres 5671   โ€œ cima 5672  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โ†‘pm cpm 8820  supcsup 9434  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11248   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  [,]cicc 13330  abscabs 15185  โ€“cnโ†’ccncf 24747   D cdv 25743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747
This theorem is referenced by:  c1lip2  25882
  Copyright terms: Public domain W3C validator