MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip1 25377
Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
c1lip1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
c1lip1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
c1lip1.dv (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
c1lip1.cn (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
Assertion
Ref Expression
c1lip1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘˜

Proof of Theorem c1lip1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11164 . . . 4 0 โˆˆ โ„
21ne0ii 4302 . . 3 โ„ โ‰  โˆ…
3 ral0 4475 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4 c1lip1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54rexrd 11212 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 c1lip1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76rexrd 11212 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
8 icc0 13319 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด[,]๐ต) = โˆ… โ†” ๐ต < ๐ด))
95, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด[,]๐ต) = โˆ… โ†” ๐ต < ๐ด))
109biimpar 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (๐ด[,]๐ต) = โˆ…)
1110raleqdv 3316 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
123, 11mpbiri 258 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
1312ralrimivw 3148 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
14 r19.2z 4457 . . 3 ((โ„ โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
152, 13, 14sylancr 588 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
164adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
176adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
18 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
19 c1lip1.f . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
2019adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„))
21 c1lip1.dv . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
2221adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((โ„ D ๐น) โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
23 c1lip1.cn . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
2423adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))
25 eqid 2737 . . . . 5 sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < )
2616, 17, 18, 20, 22, 24, 25c1liplem1 25376 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
27 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))
2827breq2d 5122 . . . . . . 7 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
2928imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
30292ralbidv 3213 . . . . 5 (๐‘˜ = sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))))
3130rspcev 3584 . . . 4 ((sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (sup((abs โ€œ ((โ„ D ๐น) โ€œ (๐ด[,]๐ต))), โ„, < ) ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
3226, 31syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))))
33 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” ๐‘ฅ < ๐‘))
34 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
3534oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž)) = ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
3635fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
3837fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
3938oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))))
4036, 39breq12d 5123 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4133, 40imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘ฅ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
42 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ โ†” ๐‘ฅ < ๐‘ฆ))
43 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
4443fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
45 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4645oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
4744, 46breq12d 5123 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4842, 47imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†” (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
4941, 48rspc2v 3593 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
5049ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))))
51 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
5251adantl 483 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
5350, 52syld 47 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
54 0le0 12261 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 0
55 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
57 cncff 24272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„)
60 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
61 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6259, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6356, 62eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6463recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6564subidd 11507 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 0)
6665abs00bd 15183 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 0)
67 iccssre 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โŠ† โ„)
684, 6, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ด[,]๐ต) โŠ† โ„)
6968ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โŠ† โ„)
70 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
7169, 70sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7271recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7372subidd 11507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
7473abs00bd 15183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ)) = 0)
7574oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท 0))
76 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7776recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7877mul01d 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท 0) = 0)
7975, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = 0)
8066, 79breq12d 5123 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” 0 โ‰ค 0))
8154, 80mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))))
82 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
8382fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
84 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
8584oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
8683, 85breq12d 5123 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
8781, 86syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
8887imp 408 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
8988a1d 25 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
90 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” ๐‘ฆ < ๐‘))
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
9291oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž)) = ((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
9392fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
94 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
9594fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
9695oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
9793, 96breq12d 5123 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))))
9890, 97imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
99 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ โ†” ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
100 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
101100fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
102 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
103102oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
104101, 103breq12d 5123 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))
10599, 104imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
10698, 105rspc2v 3593 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
107106ancoms 460 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
108107ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))))
109 simpr 486 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ)
110 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
111110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
112 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
113 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต)):(๐ด[,]๐ต)โŸถโ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
11459, 112, 113syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐น โ†พ (๐ด[,]๐ต))โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
115111, 114eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
116115recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
11764, 116abssubd 15345 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
118117adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
11968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โŠ† โ„)
120119sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
121119sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
122120, 121anim12d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)))
123122imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
124 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
125 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
126 abssub 15218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
127124, 125, 126syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
128123, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
129128adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
130129oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
131118, 130breq12d 5123 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†” (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
132131biimpd 228 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
133109, 132embantd 59 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
134108, 133syld 47 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โˆง ๐‘ฆ < ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
135 lttri4 11246 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
136123, 135syl 17 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
13753, 89, 134, 136mpjao3dan 1432 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
138137ralrimdvva 3204 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
139138reximdva 3166 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘Ž))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))))
14032, 139mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
14115, 140, 6, 4ltlecasei 11270 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)(absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   โ†พ cres 5640   โ€œ cima 5641  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ†‘pm cpm 8773  supcsup 9383  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  [,]cicc 13274  abscabs 15126  โ€“cnโ†’ccncf 24255   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  c1lip2  25378
  Copyright terms: Public domain W3C validator