Theorem metakunt9 41554

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt9.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt9.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt9.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt9.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt9.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt9.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt9	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt9.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt9.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt9.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt9.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		metakunt9.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
6		metakunt9.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt8 41553	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
8		elfznn 13536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	2	nnred 12231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	10, 11	leloed 11361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝐼 ↔ (𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt6 41551	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt5 41550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
15	13, 14	jaodan 954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼)) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋))
17	12, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝐼 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋))
18	17	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
19	7, 18, 11, 10	ltlecasei 11326	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  metakunt14  41559