Theorem metakunt9 40981

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt9.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt9.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt9.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt9.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt9.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt9.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt9	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt9.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt9.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt9.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt9.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		metakunt9.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
6		metakunt9.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt8 40980	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
8		elfznn 13526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	2	nnred 12223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	10, 11	leloed 11353	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝐼 ↔ (𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt6 40978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt5 40977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
15	13, 14	jaodan 956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼)) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋))
17	12, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝐼 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋))
18	17	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
19	7, 18, 11, 10	ltlecasei 11318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt14  40986