Theorem metakunt9 40133

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt9.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt9.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt9.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt9.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt9.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt9.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt9	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt9.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt9.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt9.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt9.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		metakunt9.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
6		metakunt9.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt8 40132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
8		elfznn 13285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	2	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	10, 11	leloed 11118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝐼 ↔ (𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt6 40130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	metakunt5 40129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
15	13, 14	jaodan 955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼)) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 < 𝐼 ∨ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋))
17	12, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝐼 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋))
18	17	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)
19	7, 18, 11, 10	ltlecasei 11083	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  metakunt14  40138