Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt9 41721
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt9.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt9.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt9.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt9.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt9.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt9.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt9 (𝜑 → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt9
StepHypRef Expression
1 metakunt9.1 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt9.2 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt9.3 . . 3 (𝜑𝐼𝑀)
4 metakunt9.4 . . 3 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5 metakunt9.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
6 metakunt9.6 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
71, 2, 3, 4, 5, 6metakunt8 41720 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
8 elfznn 13562 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
109nnred 12257 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
112nnred 12257 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1210, 11leloed 11387 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐼 ↔ (𝑋 < 𝐼𝑋 = 𝐼)))
131, 2, 3, 4, 5, 6metakunt6 41718 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
141, 2, 3, 4, 5, 6metakunt5 41717 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
1513, 14jaodan 955 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐼𝑋 = 𝐼)) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
1615ex 411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 < 𝐼𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋))
1712, 16sylbid 239 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼 → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋))
1817imp 405 . 2 ((𝜑𝑋𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
197, 18, 11, 10ltlecasei 11352 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  ...cfz 13516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517
This theorem is referenced by:  metakunt14  41726
  Copyright terms: Public domain W3C validator