hashf1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem hashf1 14514

Description: The permutation number ∣ 𝐴 ∣ ! · ( ∣ 𝐵 ∣ C ∣ 𝐴 ∣ ) = ∣ 𝐵 ∣ ! / ( ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∣ )! counts the number of injections from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashf1	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑓 𝐵,𝑓

Proof of Theorem hashf1 Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:∅–1-1→𝐵))
2		f1fn 6782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 → 𝑓 Fn ∅)
3		fn0 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
4	2, 3	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 → 𝑓 = ∅)
5		f10 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐵
6		f1eq1 6776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ ∅:∅–1-1→𝐵))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ∅ → 𝑓:∅–1-1→𝐵)
8	4, 7	impbii 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
9		velsn 4610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
10	8, 9	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 ∈ {∅})
11	1, 10	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
12	11	eqabcdv 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {∅})
13	12	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{∅}))
14		0ex 5275	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
15		hashsng 14425	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
17	13, 16	eqtrdi 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = 1)
18		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
19		hash0 14423	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘0))
22		fac0 14332	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (!‘(♯‘𝑥)) = 1)
24	20	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C0))
25	23, 24	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))
26	17, 25	eqeq12d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0))))
27	26	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))))
28		f1eq2 6777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵))
29	28	abbidv 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})
30	29	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}))
31		2fveq3 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘𝑦)))
32		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
33	32	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))
35	30, 34	eqeq12d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
36	35	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))))
37		f1eq2 6777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵))
38	37	abbidv 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵})
39	38	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}))
40		2fveq3 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
41		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
42	41	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
43	40, 42	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
44	39, 43	eqeq12d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
45	44	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
46		f1eq2 6777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
47	46	abbidv 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵})
48	47	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}))
49		2fveq3 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘𝐴)))
50		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
51	50	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))
52	49, 51	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))
53	48, 52	eqeq12d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))))
54	53	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))))
55		hashcl 14412	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
56		bcn0 14366	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐵)C0) = 1)
57	55, 56	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵)C0) = 1)
58	57	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (1 · ((♯‘𝐵)C0)) = (1 · 1))
59		1t1e1 12420	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
60	58, 59	eqtr2di 2818	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))
61		abn0 4344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵)
62		f1domg 8977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
64		hashunsng 14448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
65	64	elv 3463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
67	66	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
68		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
69		snfi 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
70		unfi 9165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
71	68, 69, 70	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
72		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Fin)
73		hashdom 14435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
74	71, 72, 73	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
75		hashcl 14412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ₀)
76	75	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ₀)
77		nn0p1nn 12561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
79	78	nnred 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
80	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
81	80	nn0red 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
82	79, 81	lenltd 11374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
83	67, 74, 82	3bitr3d 312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵 ↔ ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
84	63, 83	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
85	84	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
86	61, 85	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
87	86	necon4ad 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1) → {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} = ∅))
88	87	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} = ∅)
89	88	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (♯‘∅))
90		hashcl 14412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ₀)
91	71, 90	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ₀)
92	91	faccld 14340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
93	92	nncnd 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
95	94	mul01d 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0) = 0)
96	19, 89, 95	3eqtr4a 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
97	66	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
98	97	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)))
99	80	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
100	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
101	100	nnzd 12635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
102		animorr 994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (((♯‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
103		bcval4 14363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1))) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = 0)
104	99, 101, 102, 103	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = 0)
105	98, 104	eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = 0)
106	105	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
107	96, 106	eqtr4d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
108	107	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
109		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
110	68	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
111	72	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
112		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
113		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵))
114	110, 111, 112, 113	hashf1lem2 14513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})))
115	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
116	115	faccld 14340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝐵)) ∈ ℕ)
117	116	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
118	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ₀)
119		peano2nn0 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ₀)
120	118, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ₀)
121		nn0sub2 12675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ₀)
122	120, 115, 113, 121	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ₀)
123	122	faccld 14340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
124	123	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ∈ ℂ)
125	123	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ≠ 0)
126	117, 124, 125	divcld 12009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) ∈ ℂ)
127	120	faccld 14340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
128	127	nncnd 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℂ)
129	127	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ≠ 0)
130	126, 128, 129	divcan2d 12011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))))
131	115	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
132	118	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
133	131, 132	subcld 11587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℂ)
134		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
135		npcan 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))
136	133, 134, 135	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))
137		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
138	131, 132, 137	subsub4d 11618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) = ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))
139	138, 122	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ₀)
140		nn0p1nn 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ₀ → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
141	139, 140	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
142	136, 141	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ)
143	142	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ≠ 0)
144	126, 133, 143	divcan2d 12011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))))
145	130, 144	eqtr4d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
146	66	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
147	146	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (!‘((♯‘𝑦) + 1)))
148		nn0uz 12918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
149	120, 148	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
150	115	nn0zd 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
151		elfz5 13562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
152	149, 150, 151	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
153	113, 152	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
154		bcval2 14361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
155	153, 154	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
156	146	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)))
157	117, 124, 128, 125, 129	divdiv1d 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
158	155, 156, 157	3eqtr4d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1))))
159	147, 158	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
160	118, 148	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ (ℤ_≥‘0))
161		peano2fzr 13583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑦) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
162	160, 153, 161	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
163		bcval2 14361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
164	162, 163	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
165		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵))
166	162, 165	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵))
167		nn0sub2 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑦) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
168	118, 115, 166, 167	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
169	168	faccld 14340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ∈ ℕ)
170	169	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ∈ ℂ)
171	118	faccld 14340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ∈ ℕ)
172	171	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ∈ ℂ)
173	169	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ≠ 0)
174	171	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ≠ 0)
175	117, 170, 172, 173, 174	divdiv1d 12040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
176	164, 175	eqtr4d 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦))))
177	176	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))))
178		facnn2 14338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
179	142, 178	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
180	138	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) = (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))))
181	180	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
182	179, 181	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
183	182	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
184	117, 170, 173	divcld 12009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) ∈ ℂ)
185	184, 172, 174	divcan2d 12011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
186	117, 124, 133, 125, 143	divdiv1d 12040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
187	183, 185, 186	3eqtr4d 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
188	177, 187	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
189	188	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
190	145, 159, 189	3eqtr4d 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
191	114, 190	eqeq12d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) ↔ (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))))
192	109, 191	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
193	108, 192, 81, 79	ltlecasei 11336	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
194	193	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
195	194	a2d 30	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))) → (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
196	27, 36, 45, 54, 60, 195	findcard2s 9160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))))
197	196	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2146 {cab 2744 ≠ wne 2961 Vcvv 3458 ∪ cun 3906 ∅c0 4289 {csn 4594 class class class wbr 5114 Fn wfn 6538 –1-1→wf1 6540 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ≼ cdom 8950 Fincfn 8952 ℂcc 11116 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 < clt 11261 ≤ cle 11262 − cmin 11459 / cdiv 11889 ℕcn 12251 ℕ₀cn0 12522 ℤcz 12609 ℤ_≥cuz 12880 ...cfz 13553 !cfa 14329 Ccbc 14358 ♯chash 14386

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-oadd 8466 df-er 8703 df-map 8835 df-pm 8836 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-dju 9906 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-n0 12523 df-xnn0 12596 df-z 12610 df-uz 12881 df-fz 13554 df-seq 14058 df-fac 14330 df-bc 14359 df-hash 14387

This theorem is used by: hashfac 14515 birthdaylem2 27154

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