Theorem hashf1 14422

Description: The permutation number ∣ 𝐴 ∣ ! · ( ∣ 𝐵 ∣ C ∣ 𝐴 ∣ ) = ∣ 𝐵 ∣ ! / ( ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∣ )! counts the number of injections from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashf1	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem hashf1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:∅–1-1→𝐵))
2		f1fn 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 → 𝑓 Fn ∅)
3		fn0 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
4	2, 3	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 → 𝑓 = ∅)
5		f10 6859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐵
6		f1eq1 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ ∅:∅–1-1→𝐵))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ∅ → 𝑓:∅–1-1→𝐵)
8	4, 7	impbii 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
9		velsn 4639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
10	8, 9	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 ∈ {∅})
11	1, 10	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
12	11	eqabcdv 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {∅})
13	12	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{∅}))
14		0ex 5300	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
15		hashsng 14332	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
17	13, 16	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = 1)
18		fveq2 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
19		hash0 14330	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘0))
22		fac0 14239	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (!‘(♯‘𝑥)) = 1)
24	20	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C0))
25	23, 24	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))
26	17, 25	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0))))
27	26	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))))
28		f1eq2 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵))
29	28	abbidv 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})
30	29	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}))
31		2fveq3 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘𝑦)))
32		fveq2 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
33	32	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))
35	30, 34	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
36	35	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))))
37		f1eq2 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵))
38	37	abbidv 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵})
39	38	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}))
40		2fveq3 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
41		fveq2 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
42	41	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
43	40, 42	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
44	39, 43	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
45	44	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
46		f1eq2 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
47	46	abbidv 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵})
48	47	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}))
49		2fveq3 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘𝐴)))
50		fveq2 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
51	50	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))
52	49, 51	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))
53	48, 52	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))))
54	53	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))))
55		hashcl 14319	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56		bcn0 14273	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐵)C0) = 1)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵)C0) = 1)
58	57	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (1 · ((♯‘𝐵)C0)) = (1 · 1))
59		1t1e1 12375	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
60	58, 59	eqtr2di 2783	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))
61		abn0 4375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵)
62		f1domg 8967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
64		hashunsng 14355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
65	64	elv 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
67	66	breq1d 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
68		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
69		snfi 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
70		unfi 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
71	68, 69, 70	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
72		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Fin)
73		hashdom 14342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
74	71, 72, 73	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
75		hashcl 14319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
76	75	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
77		nn0p1nn 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
79	78	nnred 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
80	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
81	80	nn0red 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
82	79, 81	lenltd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
83	67, 74, 82	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵 ↔ ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
84	63, 83	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
85	84	exlimdv 1928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
86	61, 85	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
87	86	necon4ad 2953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1) → {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} = ∅))
88	87	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} = ∅)
89	88	fveq2d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (♯‘∅))
90		hashcl 14319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0)
91	71, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0)
92	91	faccld 14247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
93	92	nncnd 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
95	94	mul01d 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0) = 0)
96	19, 89, 95	3eqtr4a 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
97	66	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
98	97	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)))
99	80	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
100	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
101	100	nnzd 12586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
102		animorr 975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (((♯‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
103		bcval4 14270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1))) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = 0)
104	99, 101, 102, 103	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = 0)
105	98, 104	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = 0)
106	105	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
107	96, 106	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
108	107	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
109		oveq2 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
110	68	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
111	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
112		simplrr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
113		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵))
114	110, 111, 112, 113	hashf1lem2 14421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})))
115	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
116	115	faccld 14247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝐵)) ∈ ℕ)
117	116	nncnd 12229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
118	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
119		peano2nn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
121		nn0sub2 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0)
122	120, 115, 113, 121	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0)
123	122	faccld 14247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
124	123	nncnd 12229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ∈ ℂ)
125	123	nnne0d 12263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ≠ 0)
126	117, 124, 125	divcld 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) ∈ ℂ)
127	120	faccld 14247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
128	127	nncnd 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℂ)
129	127	nnne0d 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ≠ 0)
130	126, 128, 129	divcan2d 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))))
131	115	nn0cnd 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
132	118	nn0cnd 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
133	131, 132	subcld 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℂ)
134		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
135		npcan 11470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))
136	133, 134, 135	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))
137		1cnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
138	131, 132, 137	subsub4d 11603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) = ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))
139	138, 122	eqeltrd 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ0)
140		nn0p1nn 12512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
142	136, 141	eqeltrrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ)
143	142	nnne0d 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ≠ 0)
144	126, 133, 143	divcan2d 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))))
145	130, 144	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
146	66	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
147	146	fveq2d 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (!‘((♯‘𝑦) + 1)))
148		nn0uz 12865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
149	120, 148	eleqtrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
150	115	nn0zd 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
151		elfz5 13496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
152	149, 150, 151	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
153	113, 152	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
154		bcval2 14268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
156	146	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)))
157	117, 124, 128, 125, 129	divdiv1d 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
158	155, 156, 157	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1))))
159	147, 158	oveq12d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
160	118, 148	eleqtrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘0))
161		peano2fzr 13517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
162	160, 153, 161	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
163		bcval2 14268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
165		elfzle2 13508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵))
166	162, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵))
167		nn0sub2 12624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ0)
168	118, 115, 166, 167	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ0)
169	168	faccld 14247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ∈ ℕ)
170	169	nncnd 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ∈ ℂ)
171	118	faccld 14247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ∈ ℕ)
172	171	nncnd 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ∈ ℂ)
173	169	nnne0d 12263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ≠ 0)
174	171	nnne0d 12263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ≠ 0)
175	117, 170, 172, 173, 174	divdiv1d 12022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
176	164, 175	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦))))
177	176	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))))
178		facnn2 14245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
179	142, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
180	138	fveq2d 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) = (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))))
181	180	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
182	179, 181	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
183	182	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
184	117, 170, 173	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) ∈ ℂ)
185	184, 172, 174	divcan2d 11993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
186	117, 124, 133, 125, 143	divdiv1d 12022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
187	183, 185, 186	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
188	177, 187	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
189	188	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
190	145, 159, 189	3eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
191	114, 190	eqeq12d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) ↔ (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))))
192	109, 191	imbitrrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
193	108, 192, 81, 79	ltlecasei 11323	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
194	193	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
195	194	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))) → (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
196	27, 36, 45, 54, 60, 195	findcard2s 9164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))))
197	196	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ∪ cun 3941  ∅c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141   Fn wfn 6531  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ≼ cdom 8936  Fincfn 8938  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445   / cdiv 11872  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  !cfa 14236  Ccbc 14265  ♯chash 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294

This theorem is referenced by:  hashfac  14423  birthdaylem2  26835