MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumharmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumharmonic 26523
Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound ๐ถ only applies asymptotically, and there is a "weak" bound ๐‘… for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
fsumharmonic.t (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘‡))
fsumharmonic.r (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘…))
fsumharmonic.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fsumharmonic.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
fsumharmonic.0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
fsumharmonic.1 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›))
fsumharmonic.2 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘‡,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘›)   ๐ถ(๐‘›)

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 13940 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 fsumharmonic.b . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 elfznn 13532 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
54nncnd 12230 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
64nnne0d 12264 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
72, 5, 6divcld 11992 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ต / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
81, 7fsumcl 15681 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
98abscld 15385 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
102abscld 15385 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110, 4nndivred 12268 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
121, 11fsumrecl 15682 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13 fsumharmonic.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
141, 13fsumrecl 15682 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ โˆˆ โ„)
15 fsumharmonic.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘…))
1615simpld 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘‡))
1817simpld 495 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
19 0red 11219 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
20 1red 11217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
21 0lt1 11738 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
2317simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‡)
2419, 20, 18, 22, 23ltletrd 11376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
2518, 24elrpd 13015 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
2625relogcld 26138 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
2726, 20readdcld 11245 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„)
2816, 27remulcld 11246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)) โˆˆ โ„)
2914, 28readdcld 11245 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))) โˆˆ โ„)
301, 7fsumabs 15749 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(absโ€˜(๐ต / ๐‘›)))
312, 5, 6absdivd 15404 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐‘›)) = ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐‘›)))
324nnrpd 13016 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
3332rprege0d 13025 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
34 absid 15245 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜๐‘›) = ๐‘›)
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐‘›) = ๐‘›)
3635oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐‘›)) = ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
3731, 36eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐‘›)) = ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
3837sumeq2dv 15651 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(absโ€˜(๐ต / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
3930, 38breqtrd 5174 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
40 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4140, 25rpdivcld 13035 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„+)
4241rprege0d 13025 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
43 flge0nn0 13787 . . . . . . . 8 (((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„•0)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„•0)
4544nn0red 12535 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
4645ltp1d 12146 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) < ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1))
47 fzdisj 13530 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) < ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โ†’ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) = โˆ…)
4846, 47syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) = โˆ…)
49 nn0p1nn 12513 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ โ„•)
5044, 49syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ โ„•)
51 nnuz 12867 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5250, 51eleqtrdi 2843 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5341rpred 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
5440rpred 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5518, 24jca 512 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡))
5640rpregt0d 13024 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
57 lediv2 12106 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘‡ โ†” (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค (๐ด / 1)))
5820, 22, 55, 56, 57syl211anc 1376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘‡ โ†” (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค (๐ด / 1)))
5923, 58mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค (๐ด / 1))
6054recnd 11244 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6160div1d 11984 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
6259, 61breqtrd 5174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค ๐ด)
63 flword2 13780 . . . . . 6 (((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
6453, 54, 62, 63syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
65 fzsplit2 13528 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
6652, 64, 65syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
6711recnd 11244 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6848, 66, 1, 67fsumsplit 15689 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›)))
69 fzfid 13940 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆˆ Fin)
70 ssun1 4172 . . . . . . . 8 (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โŠ† ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7170, 66sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7271sselda 3982 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7372, 11syldan 591 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
7469, 73fsumrecl 15682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
75 fzfid 13940 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
76 ssun2 4173 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7776, 66sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7877sselda 3982 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7978, 11syldan 591 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
8075, 79fsumrecl 15682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
8172, 13syldan 591 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8269, 81fsumrecl 15682 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))๐ถ โˆˆ โ„)
83 fznnfl 13829 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡))))
8453, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡))))
8584simplbda 500 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡))
8632rpred 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
8754adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8855adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡))
89 lemuldiv2 12097 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
9086, 87, 88, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
9118adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
9291, 87, 32lemuldivd 13067 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
9390, 92bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
9472, 93syldan 591 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
9585, 94mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›))
96 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›))
9796ex 413 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›)))
9872, 97syldan 591 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›)))
9995, 98mpd 15 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›))
10072, 2syldan 591 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
101100abscld 15385 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
10272, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
103102nnrpd 13016 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
104101, 81, 103ledivmul2d 13072 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ๐ถ โ†” (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›)))
10599, 104mpbird 256 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ๐ถ)
10669, 73, 81, 105fsumle 15747 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))๐ถ)
107 fsumharmonic.0 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
1081, 13, 107, 71fsumless 15744 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))๐ถ โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ)
10974, 82, 14, 106, 108letrd 11373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ)
11078, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
111110nnrecred 12265 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
11275, 111fsumrecl 15682 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
11316, 112remulcld 11246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11416adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
115114recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
116110nncnd 12230 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
117110nnne0d 12264 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
118115, 116, 117divrecd 11995 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘… / ๐‘›) = (๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
119114, 110nndivred 12268 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘… / ๐‘›) โˆˆ โ„)
120118, 119eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘… ยท (1 / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
12178, 10syldan 591 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
12278, 32syldan 591 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
123 noel 4330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยฌ ๐‘› โˆˆ โˆ…
124 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
12548eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” ๐‘› โˆˆ โˆ…))
126124, 125bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” ๐‘› โˆˆ โˆ…))
127123, 126mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
128 imnan 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
129127, 128sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
130129con2d 134 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
131130imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
13283baibd 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
13353, 3, 132syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
134133, 93bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
13578, 134syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
136131, 135mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ยฌ ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›))
13754adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
138137, 110nndivred 12268 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
140138, 139ltnled 11363 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡ โ†” ยฌ ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
141136, 140mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡)
142 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…)
143142ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…))
14478, 143syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…))
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…)
146121, 114, 122, 145lediv1dd 13076 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… / ๐‘›))
147146, 118breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
14875, 79, 120, 147fsumle 15747 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
14916recnd 11244 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
150111recnd 11244 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
15175, 149, 150fsummulc2 15732 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
152148, 151breqtrrd 5176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)))
153102nnrecred 12265 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
15469, 153fsumrecl 15682 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
155154recnd 11244 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
156112recnd 11244 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1574nnrecred 12265 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
158157recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
15948, 66, 1, 158fsumsplit 15689 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)))
160155, 156, 159mvrladdd 11629 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›))
1611, 157fsumrecl 15682 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
162161adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
163154adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
164162, 163resubcld 11644 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
165 0red 11219 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
16627adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„)
167 fzfid 13940 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆˆ Fin)
168103adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
169168rpreccld 13028 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
170169rpred 13018 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
171169rpge0d 13022 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘›))
17240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
173172rpge0d 13022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
174 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < 1)
175 0p1e1 12336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 1) = 1
176174, 175breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < (0 + 1))
17754adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
178 0z 12571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„ค
179 flbi 13783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) = 0 โ†” (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (0 + 1))))
180177, 178, 179sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) = 0 โ†” (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (0 + 1))))
181173, 176, 180mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) = 0)
182181oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = (1...0))
183 fz10 13524 . . . . . . . . . . . . 13 (1...0) = โˆ…
184182, 183eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = โˆ…)
185 0ss 4396 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โŠ† (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))
186184, 185eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
187167, 170, 171, 186fsumless 15744 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
188162, 163suble0d 11807 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)))
189187, 188mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค 0)
19018, 23logge0d 26145 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘‡))
191 0le1 11739 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 1
192191a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
19326, 20, 190, 192addge0d 11792 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
194193adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
195164, 165, 166, 189, 194letrd 11373 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
196 harmonicubnd 26521 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
19754, 196sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
198 harmoniclbnd 26520 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
19941, 198syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
200199adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
20140relogcld 26138 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
202 peano2re 11389 . . . . . . . . . . . . 13 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
20441relogcld 26138 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
205 le2sub 11715 . . . . . . . . . . . 12 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„) โˆง (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
206161, 154, 203, 204, 205syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
207206adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
208197, 200, 207mp2and 697 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
209201recnd 11244 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
21020recnd 11244 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
21126recnd 11244 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
212209, 210, 211pnncand 11612 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (logโ€˜๐‘‡))) = (1 + (logโ€˜๐‘‡)))
21340, 25relogdivd 26141 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (logโ€˜๐‘‡)))
214213oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) = (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (logโ€˜๐‘‡))))
215 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
216 addcom 11402 . . . . . . . . . . . 12 (((logโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) = (1 + (logโ€˜๐‘‡)))
217211, 215, 216sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) = (1 + (logโ€˜๐‘‡)))
218212, 214, 2173eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) = ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
219218adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) = ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
220208, 219breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
221195, 220, 54, 20ltlecasei 11324 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
222160, 221eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
223 lemul2a 12071 . . . . . 6 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘…)) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1)) โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)))
224112, 27, 15, 222, 223syl31anc 1373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)))
22580, 113, 28, 152, 224letrd 11373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)))
22674, 80, 14, 28, 109, 225le2addd 11835 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
22768, 226eqbrtrd 5170 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
2289, 12, 29, 39, 227letrd 11373 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757  abscabs 15183  ฮฃcsu 15634  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ulm 25896  df-log 26072  df-atan 26379  df-em 26504
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  27008  mulog2sumlem2  27045
  Copyright terms: Public domain W3C validator