MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumharmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumharmonic 26749
Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound ๐ถ only applies asymptotically, and there is a "weak" bound ๐‘… for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
fsumharmonic.t (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘‡))
fsumharmonic.r (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘…))
fsumharmonic.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fsumharmonic.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
fsumharmonic.0 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
fsumharmonic.1 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›))
fsumharmonic.2 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘‡,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘›)   ๐ถ(๐‘›)

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 13943 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 fsumharmonic.b . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 elfznn 13535 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
54nncnd 12233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
64nnne0d 12267 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
72, 5, 6divcld 11995 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ต / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
81, 7fsumcl 15684 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
98abscld 15388 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
102abscld 15388 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110, 4nndivred 12271 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
121, 11fsumrecl 15685 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13 fsumharmonic.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
141, 13fsumrecl 15685 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ โˆˆ โ„)
15 fsumharmonic.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘…))
1615simpld 494 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘‡))
1817simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
19 0red 11222 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
20 1red 11220 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
21 0lt1 11741 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
2317simprd 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‡)
2419, 20, 18, 22, 23ltletrd 11379 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
2518, 24elrpd 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
2625relogcld 26364 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
2726, 20readdcld 11248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„)
2816, 27remulcld 11249 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)) โˆˆ โ„)
2914, 28readdcld 11248 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))) โˆˆ โ„)
301, 7fsumabs 15752 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(absโ€˜(๐ต / ๐‘›)))
312, 5, 6absdivd 15407 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐‘›)) = ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐‘›)))
324nnrpd 13019 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
3332rprege0d 13028 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
34 absid 15248 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜๐‘›) = ๐‘›)
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐‘›) = ๐‘›)
3635oveq2d 7428 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐‘›)) = ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
3731, 36eqtrd 2771 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐‘›)) = ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
3837sumeq2dv 15654 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(absโ€˜(๐ต / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
3930, 38breqtrd 5175 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›))
40 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4140, 25rpdivcld 13038 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„+)
4241rprege0d 13028 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
43 flge0nn0 13790 . . . . . . . 8 (((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„•0)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„•0)
4544nn0red 12538 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
4645ltp1d 12149 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) < ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1))
47 fzdisj 13533 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) < ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โ†’ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) = โˆ…)
4846, 47syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) = โˆ…)
49 nn0p1nn 12516 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ โ„•)
5044, 49syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ โ„•)
51 nnuz 12870 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5250, 51eleqtrdi 2842 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5341rpred 13021 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
5440rpred 13021 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5518, 24jca 511 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡))
5640rpregt0d 13027 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
57 lediv2 12109 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘‡ โ†” (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค (๐ด / 1)))
5820, 22, 55, 56, 57syl211anc 1375 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘‡ โ†” (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค (๐ด / 1)))
5923, 58mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค (๐ด / 1))
6054recnd 11247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6160div1d 11987 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
6259, 61breqtrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค ๐ด)
63 flword2 13783 . . . . . 6 (((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / ๐‘‡) โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
6453, 54, 62, 63syl3anc 1370 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
65 fzsplit2 13531 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
6652, 64, 65syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
6711recnd 11247 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6848, 66, 1, 67fsumsplit 15692 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›)))
69 fzfid 13943 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆˆ Fin)
70 ssun1 4173 . . . . . . . 8 (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โŠ† ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7170, 66sseqtrrid 4036 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7271sselda 3983 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7372, 11syldan 590 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
7469, 73fsumrecl 15685 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
75 fzfid 13943 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
76 ssun2 4174 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆช (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7776, 66sseqtrrid 4036 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7877sselda 3983 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
7978, 11syldan 590 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
8075, 79fsumrecl 15685 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
8172, 13syldan 590 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8269, 81fsumrecl 15685 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))๐ถ โˆˆ โ„)
83 fznnfl 13832 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡))))
8453, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡))))
8584simplbda 499 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡))
8632rpred 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
8754adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8855adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡))
89 lemuldiv2 12100 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
9086, 87, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
9118adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
9291, 87, 32lemuldivd 13070 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
9390, 92bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
9472, 93syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
9585, 94mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›))
96 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›))
9796ex 412 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›)))
9872, 97syldan 590 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›)))
9995, 98mpd 15 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›))
10072, 2syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
101100abscld 15388 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
10272, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
103102nnrpd 13019 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
104101, 81, 103ledivmul2d 13075 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ๐ถ โ†” (absโ€˜๐ต) โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘›)))
10599, 104mpbird 256 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ๐ถ)
10669, 73, 81, 105fsumle 15750 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))๐ถ)
107 fsumharmonic.0 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
1081, 13, 107, 71fsumless 15747 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))๐ถ โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ)
10974, 82, 14, 106, 108letrd 11376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ)
11078, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
111110nnrecred 12268 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
11275, 111fsumrecl 15685 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
11316, 112remulcld 11249 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
115114recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
116110nncnd 12233 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
117110nnne0d 12267 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
118115, 116, 117divrecd 11998 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘… / ๐‘›) = (๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
119114, 110nndivred 12271 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘… / ๐‘›) โˆˆ โ„)
120118, 119eqeltrrd 2833 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘… ยท (1 / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
12178, 10syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
12278, 32syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
123 noel 4331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยฌ ๐‘› โˆˆ โˆ…
124 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
12548eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ ((1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆฉ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” ๐‘› โˆˆ โˆ…))
126124, 125bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” ๐‘› โˆˆ โˆ…))
127123, 126mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
128 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
129127, 128sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))))
130129con2d 134 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
131130imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
13283baibd 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
13353, 3, 132syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘‡)))
134133, 93bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
13578, 134syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โ†” ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
136131, 135mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ยฌ ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›))
13754adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
138137, 110nndivred 12271 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
140138, 139ltnled 11366 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡ โ†” ยฌ ๐‘‡ โ‰ค (๐ด / ๐‘›)))
141136, 140mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡)
142 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…)
143142ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…))
14478, 143syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด / ๐‘›) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…))
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘…)
146121, 114, 122, 145lediv1dd 13079 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… / ๐‘›))
147146, 118breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
14875, 79, 120, 147fsumle 15750 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
14916recnd 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
150111recnd 11247 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
15175, 149, 150fsummulc2 15735 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐‘… ยท (1 / ๐‘›)))
152148, 151breqtrrd 5177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)))
153102nnrecred 12268 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
15469, 153fsumrecl 15685 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
155154recnd 11247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
156112recnd 11247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1574nnrecred 12268 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
158157recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
15948, 66, 1, 158fsumsplit 15692 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)))
160155, 156, 159mvrladdd 11632 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›))
1611, 157fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
162161adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
163154adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
164162, 163resubcld 11647 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
165 0red 11222 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
16627adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„)
167 fzfid 13943 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) โˆˆ Fin)
168103adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
169168rpreccld 13031 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
170169rpred 13021 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
171169rpge0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘›))
17240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
173172rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
174 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < 1)
175 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 1) = 1
176174, 175breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < (0 + 1))
17754adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
178 0z 12574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„ค
179 flbi 13786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) = 0 โ†” (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (0 + 1))))
180177, 178, 179sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) = 0 โ†” (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (0 + 1))))
181173, 176, 180mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) = 0)
182181oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = (1...0))
183 fz10 13527 . . . . . . . . . . . . 13 (1...0) = โˆ…
184182, 183eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = โˆ…)
185 0ss 4397 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โŠ† (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))
186184, 185eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
187167, 170, 171, 186fsumless 15747 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
188162, 163suble0d 11810 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)))
189187, 188mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค 0)
19018, 23logge0d 26371 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘‡))
191 0le1 11742 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 1
192191a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
19326, 20, 190, 192addge0d 11795 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
194193adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
195164, 165, 166, 189, 194letrd 11376 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
196 harmonicubnd 26747 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
19754, 196sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
198 harmoniclbnd 26746 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด / ๐‘‡) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
19941, 198syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
200199adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›))
20140relogcld 26364 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
202 peano2re 11392 . . . . . . . . . . . . 13 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
20441relogcld 26364 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
205 le2sub 11718 . . . . . . . . . . . 12 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„) โˆง (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
206161, 154, 203, 204, 205syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
207206adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1) โˆง (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))))
208197, 200, 207mp2and 696 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))))
209201recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
21020recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
21126recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
212209, 210, 211pnncand 11615 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (logโ€˜๐‘‡))) = (1 + (logโ€˜๐‘‡)))
21340, 25relogdivd 26367 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (logโ€˜๐‘‡)))
214213oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) = (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (logโ€˜๐‘‡))))
215 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
216 addcom 11405 . . . . . . . . . . . 12 (((logโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) = (1 + (logโ€˜๐‘‡)))
217211, 215, 216sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‡) + 1) = (1 + (logโ€˜๐‘‡)))
218212, 214, 2173eqtr4d 2781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) = ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
219218adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ (logโ€˜(๐ด / ๐‘‡))) = ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
220208, 219breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
221195, 220, 54, 20ltlecasei 11327 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))(1 / ๐‘›)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
222160, 221eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1))
223 lemul2a 12074 . . . . . 6 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘…)) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‡) + 1)) โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)))
224112, 27, 15, 222, 223syl31anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)))
22580, 113, 28, 152, 224letrd 11376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1)))
22674, 80, 14, 28, 109, 225le2addd 11838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‡)) + 1)...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
22768, 226eqbrtrd 5171 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((absโ€˜๐ต) / ๐‘›) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
2289, 12, 29, 39, 227letrd 11376 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(๐ต / ๐‘›)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ถ + (๐‘… ยท ((logโ€˜๐‘‡) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  ...cfz 13489  โŒŠcfl 13760  abscabs 15186  ฮฃcsu 15637  logclog 26296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-atan 26605  df-em 26730
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  27234  mulog2sumlem2  27271
  Copyright terms: Public domain W3C validator