MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgioo 24425
Description: Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgioo.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgioo.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgioo (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgioo
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12820 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3 itgioo.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 itgioo.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 iccssre 12816 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
63, 4, 5syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
73rexrd 10689 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
84rexrd 10689 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 icc0 12783 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
107, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1110biimpar 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1211difeq1d 4084 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13 0dif 4338 . . . . . . 7 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14 0ss 4333 . . . . . . 7 ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
1513, 14eqsstri 3987 . . . . . 6 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
1612, 15eqsstrdi 4007 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17 uncom 4115 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})
187adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
198adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21 prunioo 12868 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2317, 22syl5req 2872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
2423difeq1d 4084 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)))
25 difun2 4412 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
2624, 25syl6eq 2875 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)))
27 difss 4094 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
2826, 27eqsstrdi 4007 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
2916, 28, 4, 3ltlecasei 10746 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
303, 4prssd 4739 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
31 prfi 8790 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
32 ovolfi 24104 . . . . 5 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
3331, 30, 32sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
34 ovolssnul 24097 . . . 4 ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
3529, 30, 33, 34syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
36 itgioo.3 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
372, 6, 35, 36itgss3 24424 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
3837simprd 499 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  cun 3917  wss 3919  c0 4276  {cpr 4552   class class class wbr 5052  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  (,)cioo 12735  [,]cicc 12738  vol*covol 24072  𝐿1cibl 24227  citg 24228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-symdif 4204  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cmp 21998  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233
This theorem is referenced by:  itgpowd  24659  lcmineqlem10  39277  lcmineqlem12  39279  itgioocnicc  42549  itgiccshift  42552  itgperiod  42553  fourierdlem73  42751  fourierdlem81  42759  fourierdlem82  42760  fourierdlem111  42789
  Copyright terms: Public domain W3C validator