MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cniccbdd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cniccbdd 25406
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11244 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ral0 4506 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0
3 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43rexrd 11292 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
65rexrd 11292 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7 icc0 13402 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
98biimpar 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
109raleqdv 3315 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0))
112, 10mpbiri 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0)
12 brralrspcev 5201 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
131, 11, 12sylancr 585 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
143adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
155adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 simpr 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
17 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
18 abscncf 24837 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
2017, 19cncfco 24843 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2120adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2214, 15, 16, 21evthicc 25404 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2322simpld 493 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
24 cncff 24829 . . . . . . . 8 ((abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2520, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
27 cncff 24829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2928adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
30 fvco3 6990 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3129, 30sylan 578 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3231breq1d 5151 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
3332ralbidva 3166 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
3433biimpd 228 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
35 brralrspcev 5201 . . . . . 6 ((((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3626, 34, 35syl6an 682 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
3736rexlimdva 3145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
3837imp 405 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3923, 38syldan 589 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
4013, 39, 5, 3ltlecasei 11350 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆ…c0 4316   class class class wbr 5141   ∘ ccom 5674  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  [,]cicc 13357  abscabs 15211  β€“cnβ†’ccncf 24812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814
This theorem is referenced by:  cniccibl  25786  cnicciblnc  25788  c1liplem1  25945  itgsubstlem  25999  ftc2re  34259  3factsumint1  41520  cncfioobd  45320  fourierdlem39  45569
  Copyright terms: Public domain W3C validator