MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cniccbdd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cniccbdd 25345
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11220 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ral0 4507 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0
3 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43rexrd 11268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
65rexrd 11268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7 icc0 13378 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
98biimpar 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
109raleqdv 3319 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0))
112, 10mpbiri 258 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0)
12 brralrspcev 5201 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
131, 11, 12sylancr 586 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
143adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
155adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
17 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
18 abscncf 24776 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
2017, 19cncfco 24782 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2120adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2214, 15, 16, 21evthicc 25343 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2322simpld 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
24 cncff 24768 . . . . . . . 8 ((abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2520, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
27 cncff 24768 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
30 fvco3 6984 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3129, 30sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3231breq1d 5151 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
3332ralbidva 3169 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
3433biimpd 228 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
35 brralrspcev 5201 . . . . . 6 ((((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3626, 34, 35syl6an 681 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
3736rexlimdva 3149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
3837imp 406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3923, 38syldan 590 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
4013, 39, 5, 3ltlecasei 11326 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  [,]cicc 13333  abscabs 15187  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  cniccibl  25725  cnicciblnc  25727  c1liplem1  25884  itgsubstlem  25938  ftc2re  34139  3factsumint1  41402  cncfioobd  45185  fourierdlem39  45434
  Copyright terms: Public domain W3C validator