MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cniccbdd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cniccbdd 24969
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11212 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ral0 4511 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0
3 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43rexrd 11260 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
65rexrd 11260 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7 icc0 13368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
98biimpar 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
109raleqdv 3325 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0))
112, 10mpbiri 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0)
12 brralrspcev 5207 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
131, 11, 12sylancr 587 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
143adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
155adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
17 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
18 abscncf 24408 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
2017, 19cncfco 24414 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2120adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2214, 15, 16, 21evthicc 24967 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2322simpld 495 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
24 cncff 24400 . . . . . . . 8 ((abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2520, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
27 cncff 24400 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
30 fvco3 6987 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3129, 30sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3231breq1d 5157 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
3332ralbidva 3175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
3433biimpd 228 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)))
35 brralrspcev 5207 . . . . . 6 ((((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3626, 34, 35syl6an 682 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
3736rexlimdva 3155 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
3837imp 407 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
3923, 38syldan 591 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
4013, 39, 5, 3ltlecasei 11318 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  [,]cicc 13323  abscabs 15177  β€“cnβ†’ccncf 24383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385
This theorem is referenced by:  cniccibl  25349  cnicciblnc  25351  c1liplem1  25504  itgsubstlem  25556  ftc2re  33598  3factsumint1  40874  cncfioobd  44599  fourierdlem39  44848
  Copyright terms: Public domain W3C validator