Theorem cniccbdd 25515

Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cniccbdd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem cniccbdd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ral0 4536	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0
3		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		icc0 13455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
8	4, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
9	8	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
10	9	raleqdv 3334	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0))
11	2, 10	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0)
12		brralrspcev 5226	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
13	1, 11, 12	sylancr 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
14	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
18		abscncf 24946	. . . . . . . 8 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
20	17, 19	cncfco 24952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
22	14, 15, 16, 21	evthicc 25513	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
23	22	simpld 494	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
24		cncff 24938	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
25	20, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
26	25	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
27		cncff 24938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
30		fvco3 7021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
31	29, 30	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
32	31	breq1d 5176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)))
33	32	ralbidva 3182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)))
34	33	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)))
35		brralrspcev 5226	. . . . . 6 ⊢ ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
36	26, 34, 35	syl6an 683	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
37	36	rexlimdva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
38	37	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
39	23, 38	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
40	13, 39, 5, 3	ltlecasei 11398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410  abscabs 15283  –cn→ccncf 24921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923

This theorem is referenced by:  cniccibl  25896  cnicciblnc  25898  c1liplem1  26055  itgsubstlem  26109  ftc2re  34575  3factsumint1  41978  cncfioobd  45818  fourierdlem39  46067