Theorem ioovolcl 25471

Description: An open real interval has finite volume. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ioovolcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ioovolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 25466	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		mblvol 25431	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
4		ltle 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
6	5	imdistani 568	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		rexr 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		rexr 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		ioo0 13331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
12		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘∅))
13		ovol0 25394	. . . . . 6 ⊢ (vol*‘∅) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = 0)
15		0re 11176	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	14, 15	eqeltrdi 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
17	6, 11, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
18		ovolioo 25469	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
20		resubcl 11486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	17, 23, 24, 25	ltlecasei 11282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
27	3, 26	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  (,)cioo 13306  vol*covol 25363  volcvol 25364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-ovol 25365  df-vol 25366

This theorem is referenced by:  itgexpif  34597  cnioobibld  43203  volioc  45970  itgiccshift  45978  itgperiod  45979  volico  45981  wallispilem2  46064  sqwvfoura  46226