Theorem ioovolcl 25420

Description: An open real interval has finite volume. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ioovolcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ioovolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 25415	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		mblvol 25380	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
4		ltle 11298	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
6	5	imdistani 568	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		rexr 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		rexr 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		ioo0 13345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
10	7, 8, 9	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
12		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘∅))
13		ovol0 25343	. . . . . 6 ⊢ (vol*‘∅) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = 0)
15		0re 11212	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	14, 15	eqeltrdi 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
17	6, 11, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
18		ovolioo 25418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
20		resubcl 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	17, 23, 24, 25	ltlecasei 11318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
27	3, 26	eqeltrd 2825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  (,)cioo 13320  vol*covol 25312  volcvol 25313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-rest 17366  df-topgen 17387  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-top 22717  df-topon 22734  df-bases 22770  df-cmp 23212  df-ovol 25314  df-vol 25315

This theorem is referenced by:  itgexpif  34073  cnioobibld  42418  volioc  45139  itgiccshift  45147  itgperiod  45148  volico  45150  wallispilem2  45233  sqwvfoura  45395