Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem107.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ π = (π΅ β π΄) |
2 | 1 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π΄ β π) + π) = ((π΄ β π) + (π΅ β π΄)) |
3 | | fourierdlem107.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π΄ β β) |
4 | 3 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π΄ β β) |
5 | | fourierdlem107.x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β
β+) |
6 | 5 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β β) |
7 | 6 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β β) |
8 | | fourierdlem107.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π΅ β β) |
9 | 8 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π΅ β β) |
10 | 4, 7, 9, 4 | subadd4b 43590 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((π΄ β π) + (π΅ β π΄)) = ((π΄ β π΄) + (π΅ β π))) |
11 | 2, 10 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β ((π΄ β π) + π) = ((π΄ β π΄) + (π΅ β π))) |
12 | 4 | subidd 11507 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π΄ β π΄) = 0) |
13 | 12 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β ((π΄ β π΄) + (π΅ β π)) = (0 + (π΅ β π))) |
14 | 8, 6 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π΅ β π) β β) |
15 | 14 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π΅ β π) β β) |
16 | 15 | addid2d 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (0 + (π΅ β π)) = (π΅ β π)) |
17 | 11, 13, 16 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((π΄ β π) + π) = (π΅ β π)) |
18 | 1 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π΄ + π) = (π΄ + (π΅ β π΄)) |
19 | 4, 9 | pncan3d 11522 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π΄ + (π΅ β π΄)) = π΅) |
20 | 18, 19 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π΄ + π) = π΅) |
21 | 17, 20 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (((π΄ β π) + π)[,](π΄ + π)) = ((π΅ β π)[,]π΅)) |
22 | 21 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((π΅ β π)[,]π΅) = (((π΄ β π) + π)[,](π΄ + π))) |
23 | 22 | itgeq1d 44272 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = β«(((π΄ β π) + π)[,](π΄ + π))(πΉβπ₯) dπ₯) |
24 | 3, 6 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π΄ β π) β β) |
25 | | fourierdlem107.o |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = (π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
26 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
27 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β (π + 1) = (π + 1)) |
28 | 27 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (πβ(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
29 | 26, 28 | breq12d 5123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β ((πβπ) < (πβ(π + 1)) β (πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
30 | 29 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(βπ β
(0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)) β βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))) |
31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β
(βπ β
(0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)) β βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
32 | 31 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β ((((πβ0) = (π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))) β (((πβ0) = (π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))))) |
33 | 32 | rabbidv 3418 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β {π β (β
βm (0...π))
β£ (((πβ0) =
(π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))} = {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = (π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
34 | 33 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β¦ {π β (β
βm (0...π))
β£ (((πβ0) =
(π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = (π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
35 | 25, 34 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = (π΄ β π) β§ (πβπ) = π΄) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
36 | | fourierdlem107.p |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = π΄ β§ (πβπ) = π΅) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
37 | | fourierdlem107.m |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β β) |
38 | | fourierdlem107.q |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β (πβπ)) |
39 | 3, 5 | ltsubrpd 12996 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π΄ β π) < π΄) |
40 | | fourierdlem107.h |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π» = ({(π΄ β π), π΄} βͺ {π¦ β ((π΄ β π)[,]π΄) β£ βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β ran π}) |
41 | | fourierdlem107.n |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π = ((β―βπ») β 1) |
42 | | fourierdlem107.s |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π = (β©ππ Isom < , < ((0...π), π»)) |
43 | 1, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42 | fourierdlem54 44475 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((π β β β§ π β (πβπ)) β§ π Isom < , < ((0...π), π»))) |
44 | 43 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π β β β§ π β (πβπ))) |
45 | 44 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β β) |
46 | 8, 3 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π΅ β π΄) β β) |
47 | 1, 46 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β β) |
48 | 44 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β (πβπ)) |
49 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β (π΄ β π) β β) |
50 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β π΄ β β) |
51 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) |
52 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π΄ β π) β β β§ π΄ β β β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β π₯ β β) |
53 | 49, 50, 51, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β π₯ β β) |
54 | | fourierdlem107.fper |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β β) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
55 | 53, 54 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
56 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
57 | 56 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β ((πβπ) + π) = ((πβπ) + π)) |
58 | 57 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π)) = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) + π)) |
59 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β¦ {π β (β
βm (0...π))
β£ (((πβ0) =
((π΄ β π) + π) β§ (πβπ) = (π΄ + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = ((π΄ β π) + π) β§ (πβπ) = (π΄ + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
60 | | fourierdlem107.f |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
61 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
62 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (πβπ)) |
63 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
64 | 54 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π₯ β β) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
65 | | fourierdlem107.fcn |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
66 | 65 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
67 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π΄ β π) β β) |
68 | 67 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π΄ β π) β
β*) |
69 | | pnfxr 11216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ +β
β β* |
70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β +β β
β*) |
71 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΄ β β) |
72 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π΄ β π) < π΄) |
73 | 3 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π΄ < +β) |
74 | 73 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΄ < +β) |
75 | 68, 70, 71, 72, 74 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΄ β ((π΄ β π)(,)+β)) |
76 | | fourierdlem107.e |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ πΈ = (π₯ β β β¦ (π₯ + ((ββ((π΅ β π₯) / π)) Β· π))) |
77 | | fourierdlem107.z |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π = (π¦ β (π΄(,]π΅) β¦ if(π¦ = π΅, π΄, π¦)) |
78 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (0..^π)) |
79 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1)))) = ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1)))) |
80 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ βΎ ((πβ(πΈβ(πβπ)))(,)(πΈβ(πβ(π + 1))))) = (πΉ βΎ ((πβ(πΈβ(πβπ)))(,)(πΈβ(πβ(π + 1))))) |
81 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ β (((πβ(πΈβ(πβπ))) + ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1)))))(,)((πΈβ(πβ(π + 1))) + ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1)))))) β¦ ((πΉ βΎ ((πβ(πΈβ(πβπ)))(,)(πΈβ(πβ(π + 1)))))β(π¦ β ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1))))))) = (π¦ β (((πβ(πΈβ(πβπ))) + ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1)))))(,)((πΈβ(πβ(π + 1))) + ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1)))))) β¦ ((πΉ βΎ ((πβ(πΈβ(πβπ)))(,)(πΈβ(πβ(π + 1)))))β(π¦ β ((πβ(π + 1)) β (πΈβ(πβ(π + 1))))))) |
82 | | fourierdlem107.i |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ πΌ = (π₯ β β β¦ sup({π β (0..^π) β£ (πβπ) β€ (πβ(πΈβπ₯))}, β, < )) |
83 | 36, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82 | fourierdlem90 44511 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
84 | | fourierdlem107.r |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
85 | 84 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
86 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (0..^π) β¦ π
) = (π β (0..^π) β¦ π
) |
87 | 36, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86 | fourierdlem89 44510 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πβ(πΈβ(πβπ))) = (πβ(πΌβ(πβπ))), ((π β (0..^π) β¦ π
)β(πΌβ(πβπ))), (πΉβ(πβ(πΈβ(πβπ))))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
88 | | fourierdlem107.l |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
89 | 88 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
90 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (0..^π) β¦ πΏ) = (π β (0..^π) β¦ πΏ) |
91 | 36, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90 | fourierdlem91 44512 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πΈβ(πβ(π + 1))) = (πβ((πΌβ(πβπ)) + 1)), ((π β (0..^π) β¦ πΏ)β(πΌβ(πβπ))), (πΉβ(πΈβ(πβ(π + 1))))) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
92 | 24, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91 | fourierdlem92 44513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β«(((π΄ β π) + π)[,](π΄ + π))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) |
93 | 23, 92 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) |
94 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β πΉ:ββΆβ) |
95 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β (π΅ β π) β β) |
96 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β π΅ β β) |
97 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) |
98 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π΅ β π) β β β§ π΅ β β β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β π₯ β β) |
99 | 95, 96, 97, 98 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β π₯ β β) |
100 | 94, 99 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β (πΉβπ₯) β β) |
101 | 14 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π΅ β π) β
β*) |
102 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β +β β
β*) |
103 | 8, 5 | ltsubrpd 12996 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π΅ β π) < π΅) |
104 | 8 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π΅ < +β) |
105 | 101, 102,
8, 103, 104 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΅ β ((π΅ β π)(,)+β)) |
106 | 36, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105 | fourierdlem105 44526 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
107 | 100, 106 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
108 | 93, 107 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
109 | 108 | subidd 11507 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = 0) |
110 | 109 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
β’ (π β 0 = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
111 | 110 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β 0 = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
112 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β (π΄ β π) β β) |
113 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β π΄ β β) |
114 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β (π΅ β π) β β) |
115 | 36, 37, 38 | fourierdlem11 44433 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π΄ β β β§ π΅ β β β§ π΄ < π΅)) |
116 | 115 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ < π΅) |
117 | 3, 8, 116 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β€ π΅) |
118 | 117 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β π΄ β€ π΅) |
119 | 3, 8, 6 | lesub1d 11769 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π΄ β€ π΅ β (π΄ β π) β€ (π΅ β π))) |
120 | 119 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β (π΄ β€ π΅ β (π΄ β π) β€ (π΅ β π))) |
121 | 118, 120 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β (π΄ β π) β€ (π΅ β π)) |
122 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π < π) β π΅ β β) |
123 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π < π) β π β β) |
124 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π < π) β π < π) |
125 | 1, 124 | eqbrtrrid 5146 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π < π) β (π΅ β π΄) < π) |
126 | 122, 113,
123, 125 | ltsub23d 11767 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β (π΅ β π) < π΄) |
127 | 114, 113,
126 | ltled 11310 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β (π΅ β π) β€ π΄) |
128 | 112, 113,
114, 121, 127 | eliccd 43816 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β (π΅ β π) β ((π΄ β π)[,]π΄)) |
129 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β πΉ:ββΆβ) |
130 | 129, 53 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β (πΉβπ₯) β β) |
131 | 130 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π < π) β§ π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄)) β (πΉβπ₯) β β) |
132 | 24 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π΄ β π) β
β*) |
133 | 3, 8, 6, 116 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π΄ β π) < (π΅ β π)) |
134 | 14 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π΅ β π) < +β) |
135 | 132, 102,
14, 133, 134 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π΅ β π) β ((π΄ β π)(,)+β)) |
136 | 36, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135 | fourierdlem105 44526 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
137 | 136 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β (π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
138 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β π β β) |
139 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β π β (πβπ)) |
140 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β πΉ:ββΆβ) |
141 | 54 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π < π) β§ π₯ β β) β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
142 | 65 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π < π) β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
143 | 84 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π < π) β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
144 | 88 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π < π) β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
145 | 101 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β (π΅ β π) β
β*) |
146 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β +β β
β*) |
147 | 113 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β π΄ < +β) |
148 | 145, 146,
113, 126, 147 | eliood 43810 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β π΄ β ((π΅ β π)(,)+β)) |
149 | 36, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148 | fourierdlem105 44526 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β (π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
150 | 112, 113,
128, 131, 137, 149 | itgspliticc 25217 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
151 | 150 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = ((β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
152 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β πΉ:ββΆβ) |
153 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π΄ β π) β β) |
154 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π΅ β π) β β) |
155 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) |
156 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΄ β π) β β β§ (π΅ β π) β β β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π₯ β β) |
157 | 153, 154,
155, 156 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π₯ β β) |
158 | 152, 157 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (πΉβπ₯) β β) |
159 | 158, 136 | itgcl 25164 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
160 | 159 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
161 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β πΉ:ββΆβ) |
162 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β (π΅ β π) β β) |
163 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β π΄ β β) |
164 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) |
165 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΅ β π) β β β§ π΄ β β β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β π₯ β β) |
166 | 162, 163,
164, 165 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β π₯ β β) |
167 | 161, 166 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β (πΉβπ₯) β β) |
168 | 167 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π < π) β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΄)) β (πΉβπ₯) β β) |
169 | 168, 149 | itgcl 25164 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
170 | 108 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
171 | 160, 169,
170 | addsubassd 11539 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β ((β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
172 | 111, 151,
171 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β 0 = (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
173 | 172 | oveq2d 7378 |
. . . 4
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β 0) = (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)))) |
174 | 160 | subid1d 11508 |
. . . 4
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β 0) = β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) |
175 | 159 | subidd 11507 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) = 0) |
176 | 175 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
β’ (π β ((β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (0 β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
177 | 176 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β ((β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (0 β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
178 | 169, 170 | subcld 11519 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β) |
179 | 160, 160,
178 | subsub4d 11550 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β ((β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)))) |
180 | | df-neg 11395 |
. . . . . 6
β’
-(β«((π΅ β
π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = (0 β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
181 | 169, 170 | negsubdi2d 11535 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β -(β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
182 | 180, 181 | eqtr3id 2791 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β (0 β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
183 | 177, 179,
182 | 3eqtr3d 2785 |
. . . 4
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯))) = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
184 | 173, 174,
183 | 3eqtr3d 2785 |
. . 3
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
185 | 107 | subidd 11507 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = 0) |
186 | 185 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
β’ (π β 0 = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
187 | 186 | oveq2d 7378 |
. . . . . 6
β’ (π β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + 0) = (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
188 | 187 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + 0) = (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
189 | 169 | addid1d 11362 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + 0) = β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) |
190 | 114, 122,
113, 127, 118 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β π΄ β ((π΅ β π)[,]π΅)) |
191 | 100 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π < π) β§ π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅)) β (πΉβπ₯) β β) |
192 | 3, 8 | iccssred 13358 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π΄[,]π΅) β β) |
193 | 60, 192 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) = (π₯ β (π΄[,]π΅) β¦ (πΉβπ₯))) |
194 | 60, 192 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πΉ βΎ (π΄[,]π΅)):(π΄[,]π΅)βΆβ) |
195 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) |
196 | 3 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π΄ β
β*) |
197 | 196 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΄ β
β*) |
198 | 8 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π΅ β
β*) |
199 | 198 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π΅ β
β*) |
200 | 36, 37, 38 | fourierdlem15 44437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π:(0...π)βΆ(π΄[,]π΅)) |
201 | 200 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆ(π΄[,]π΅)) |
202 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (0..^π)) |
203 | 197, 199,
201, 202 | fourierdlem8 44430 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)[,](πβ(π + 1))) β (π΄[,]π΅)) |
204 | 195, 203 | sstrid 3960 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β (π΄[,]π΅)) |
205 | 204 | resabs1d 5973 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
206 | 205, 65 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
207 | 205 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = ((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
208 | 207 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ)) = (((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
209 | 84, 208 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β (((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
210 | 207 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1))) = (((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
211 | 88, 210 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β (((πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
212 | 36, 37, 38, 194, 206, 209, 211 | fourierdlem69 44490 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΉ βΎ (π΄[,]π΅)) β
πΏ1) |
213 | 193, 212 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π₯ β (π΄[,]π΅) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
214 | 213 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β (π₯ β (π΄[,]π΅) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
215 | 114, 122,
190, 191, 149, 214 | itgspliticc 25217 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
216 | 215 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
217 | 216 | oveq2d 7378 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)))) |
218 | 107 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
219 | 215, 218 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) β β) |
220 | 169, 218,
219 | addsub12d 11542 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)))) |
221 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β πΉ:ββΆβ) |
222 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β π΄ β β) |
223 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β π΅ β β) |
224 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β π₯ β (π΄[,]π΅)) |
225 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β π₯ β β) |
226 | 222, 223,
224, 225 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β π₯ β β) |
227 | 221, 226 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβπ₯) β β) |
228 | 227, 213 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
229 | 228 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
230 | 169, 169,
229 | subsub4d 11550 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β ((β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
231 | 230 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = ((β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
232 | 231 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + ((β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
233 | 169 | subidd 11507 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = 0) |
234 | 233 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π < π) β ((β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (0 β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
235 | | df-neg 11395 |
. . . . . . . . 9
β’
-β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = (0 β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
236 | 234, 235 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π < π) β ((β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = -β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
237 | 236 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + ((β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + -β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
238 | 218, 229 | negsubd 11525 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + -β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
239 | 232, 237,
238 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
240 | 217, 220,
239 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
241 | 188, 189,
240 | 3eqtr3d 2785 |
. . . 4
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
242 | 241 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
243 | 108, 107,
228 | subsubd 11547 |
. . . . 5
β’ (π β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = ((β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
244 | 93 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
245 | 244, 109 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
β’ (π β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = 0) |
246 | 245 | oveq1d 7377 |
. . . . 5
β’ (π β ((β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (0 + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
247 | 228 | addid2d 11363 |
. . . . 5
β’ (π β (0 + β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
248 | 243, 246,
247 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
β’ (π β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
249 | 248 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π < π) β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
250 | 184, 242,
249 | 3eqtrd 2781 |
. 2
β’ ((π β§ π < π) β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
251 | 24 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β (π΄ β π) β β) |
252 | 14 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β (π΅ β π) β β) |
253 | 3 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β π΄ β β) |
254 | 24, 3, 39 | ltled 11310 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π΄ β π) β€ π΄) |
255 | 254 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β (π΄ β π) β€ π΄) |
256 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β π β β) |
257 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β π΅ β β) |
258 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β€ π β π β€ π) |
259 | 258, 1 | breqtrdi 5151 |
. . . . . . . 8
β’ (π β€ π β π β€ (π΅ β π΄)) |
260 | 259 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β π β€ (π΅ β π΄)) |
261 | 256, 257,
253, 260 | lesubd 11766 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β π΄ β€ (π΅ β π)) |
262 | 251, 252,
253, 255, 261 | eliccd 43816 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β π΄ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) |
263 | 158 | adantlr 714 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β€ π) β§ π₯ β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (πΉβπ₯) β β) |
264 | 132, 102,
3, 39, 73 | eliood 43810 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β ((π΄ β π)(,)+β)) |
265 | 36, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 264 | fourierdlem105 44526 |
. . . . . 6
β’ (π β (π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
266 | 265 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β (π₯ β ((π΄ β π)[,]π΄) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
267 | 3 | leidd 11728 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β€ π΄) |
268 | 5 | rpge0d 12968 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β 0 β€ π) |
269 | 8, 6 | subge02d 11754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (0 β€ π β (π΅ β π) β€ π΅)) |
270 | 268, 269 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π΅ β π) β€ π΅) |
271 | | iccss 13339 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§ (π΄ β€ π΄ β§ (π΅ β π) β€ π΅)) β (π΄[,](π΅ β π)) β (π΄[,]π΅)) |
272 | 3, 8, 267, 270, 271 | syl22anc 838 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π΄[,](π΅ β π)) β (π΄[,]π΅)) |
273 | | iccmbl 24946 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β β β§ (π΅ β π) β β) β (π΄[,](π΅ β π)) β dom vol) |
274 | 3, 14, 273 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π΄[,](π΅ β π)) β dom vol) |
275 | 272, 274,
227, 213 | iblss 25185 |
. . . . . 6
β’ (π β (π₯ β (π΄[,](π΅ β π)) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
276 | 275 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β (π₯ β (π΄[,](π΅ β π)) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
277 | 251, 252,
262, 263, 266, 276 | itgspliticc 25217 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β€ π) β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯)) |
278 | 268 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β€ π) β 0 β€ π) |
279 | 269 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β€ π) β (0 β€ π β (π΅ β π) β€ π΅)) |
280 | 278, 279 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β€ π) β (π΅ β π) β€ π΅) |
281 | 253, 257,
252, 261, 280 | eliccd 43816 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β (π΅ β π) β (π΄[,]π΅)) |
282 | 227 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β€ π) β§ π₯ β (π΄[,]π΅)) β (πΉβπ₯) β β) |
283 | 8 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΅ β€ π΅) |
284 | 283 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β€ π) β π΅ β€ π΅) |
285 | | iccss 13339 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§ (π΄ β€ (π΅ β π) β§ π΅ β€ π΅)) β ((π΅ β π)[,]π΅) β (π΄[,]π΅)) |
286 | 253, 257,
261, 284, 285 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β€ π) β ((π΅ β π)[,]π΅) β (π΄[,]π΅)) |
287 | | iccmbl 24946 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΅ β π) β β β§ π΅ β β) β ((π΅ β π)[,]π΅) β dom vol) |
288 | 14, 8, 287 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π΅ β π)[,]π΅) β dom vol) |
289 | 288 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β€ π) β ((π΅ β π)[,]π΅) β dom vol) |
290 | 213 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β€ π) β (π₯ β (π΄[,]π΅) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
291 | 286, 289,
282, 290 | iblss 25185 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β (π₯ β ((π΅ β π)[,]π΅) β¦ (πΉβπ₯)) β
πΏ1) |
292 | 253, 257,
281, 282, 276, 291 | itgspliticc 25217 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
293 | 292 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = ((β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
294 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β πΉ:ββΆβ) |
295 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β π΄ β β) |
296 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β (π΅ β π) β β) |
297 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) |
298 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π΄ β β β§ (π΅ β π) β β β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β π₯ β β) |
299 | 295, 296,
297, 298 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β π₯ β β) |
300 | 294, 299 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β (π΄[,](π΅ β π))) β (πΉβπ₯) β β) |
301 | 300, 275 | itgcl 25164 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
302 | 301, 107,
107 | addsubassd 11539 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
303 | 302 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β ((β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
304 | 185 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + 0)) |
305 | 301 | addid1d 11362 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + 0) = β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) |
306 | 304, 305 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) |
307 | 306 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β (β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) |
308 | 293, 303,
307 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
309 | 308 | oveq2d 7378 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β€ π) β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«(π΄[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
310 | 93 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ = β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) |
311 | 107 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
312 | 310, 311 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
313 | 282, 290 | itgcl 25164 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β) |
314 | 312, 313,
311 | addsub12d 11542 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
315 | 313, 312,
311 | addsubassd 11539 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β ((β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯))) |
316 | 314, 315 | eqtr4d 2780 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β€ π) β (β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯ + (β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) = ((β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
317 | 277, 309,
316 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
β’ ((π β§ π β€ π) β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = ((β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
318 | 310 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ ((π β§ π β€ π) β ((β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΅ β π)[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) = ((β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯)) |
319 | 313, 312 | pncand 11520 |
. . 3
β’ ((π β§ π β€ π) β ((β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯ + β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) β β«((π΄ β π)[,]π΄)(πΉβπ₯) dπ₯) = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
320 | 317, 318,
319 | 3eqtrd 2781 |
. 2
β’ ((π β§ π β€ π) β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |
321 | 250, 320,
47, 6 | ltlecasei 11270 |
1
β’ (π β β«((π΄ β π)[,](π΅ β π))(πΉβπ₯) dπ₯ = β«(π΄[,]π΅)(πΉβπ₯) dπ₯) |