Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem107 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem107 44528
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 44513 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem107.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem107.t 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
fourierdlem107.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem107.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem107.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem107.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fourierdlem107.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem107.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem107.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem107.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem107.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.h 𝐻 = ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑦 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem107.n 𝑁 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
fourierdlem107.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem107.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
fourierdlem107.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem107.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘β€˜(πΈβ€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,π‘˜,𝑦   𝐴,𝑖,π‘₯,π‘˜,𝑦   𝐴,π‘š,𝑝,𝑖   𝐡,𝑓,π‘˜,𝑦   𝐡,𝑖,π‘₯   𝐡,π‘š,𝑝   𝑓,𝐸,π‘˜,𝑦   𝑖,𝐸,π‘₯   𝑖,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐻   𝑓,𝐼,π‘˜,𝑦   𝑖,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,π‘˜,𝑦   𝑖,𝑁,π‘₯   π‘š,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑄,𝑖,π‘₯   𝑄,π‘š,𝑝   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑆,𝑖,π‘₯   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑇,𝑖,π‘₯   𝑇,π‘š,𝑝   𝑓,𝑋,𝑦   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   π‘₯,𝑋   𝑖,𝑍,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑓,π‘˜,𝑦   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑆(π‘š)   𝐸(π‘š,𝑝)   𝐹(𝑓,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐼(π‘š,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑀(𝑓,π‘˜)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑋(π‘˜)   𝑍(𝑓,π‘˜,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
21oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇) = ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + (𝐡 βˆ’ 𝐴))
3 fourierdlem107.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5 fourierdlem107.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
65rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
76recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8 fourierdlem107.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
104, 7, 9, 4subadd4b 43590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐴) + (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
112, 10eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇) = ((𝐴 βˆ’ 𝐴) + (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
124subidd 11507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
1312oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐴) + (𝐡 βˆ’ 𝑋)) = (0 + (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
148, 6resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1514recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
1615addid2d 11363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐡 βˆ’ 𝑋)) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
1711, 13, 163eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
181oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 + 𝑇) = (𝐴 + (𝐡 βˆ’ 𝐴))
194, 9pncan3d 11522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = 𝐡)
2018, 19eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝑇) = 𝐡)
2117, 20oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)) = ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡))
2221eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) = (((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)))
2322itgeq1d 44272 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
243, 6resubcld 11590 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
25 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
26 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘—))
27 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
2827fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘β€˜(𝑗 + 1)))
2926, 28breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1))))
3029cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1))))
3231anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ ((((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))))
3332rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))})
3433mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))})
3525, 34eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))})
36 fourierdlem107.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
37 fourierdlem107.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
38 fourierdlem107.q . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
393, 5ltsubrpd 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝐴)
40 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻 = ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑦 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
41 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
42 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
431, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42fourierdlem54 44475 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
4443simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘)))
4544simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
468, 3resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
471, 46eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
4844simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘))
4924adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
503adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
51 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴))
52 eliccre 43817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5349, 50, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
54 fourierdlem107.fper . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
5553, 54syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
56 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘†β€˜π‘–) = (π‘†β€˜π‘—))
5756oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘†β€˜π‘–) + 𝑇) = ((π‘†β€˜π‘—) + 𝑇))
5857cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘†β€˜π‘–) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘†β€˜π‘—) + 𝑇))
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = ((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))})
60 fourierdlem107.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
6137adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6238adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
6360adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
6454adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
65 fourierdlem107.fcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
6724adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
6867rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
69 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
713adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7239adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < 𝐴)
733ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 < +∞)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 < +∞)
7568, 70, 71, 72, 74eliood 43810 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)+∞))
76 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
77 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
78 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
79 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) = ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
80 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β†Ύ ((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))
81 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—))) + ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) + ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))β€˜(𝑦 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—))) + ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) + ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))β€˜(𝑦 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))))
82 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘β€˜(πΈβ€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
8336, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82fourierdlem90 44511 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
84 fourierdlem107.r . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
8584adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
86 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
8736, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86fourierdlem89 44510 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ if((π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—))) = (π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—))), (πΉβ€˜(π‘β€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—))))) ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
88 fourierdlem107.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
8988adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
9136, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90fourierdlem91 44512 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ if((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) = (π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—))), (πΉβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
9224, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91fourierdlem92 44513 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(((𝐴 βˆ’ 𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9323, 92eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
9460adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
9514adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
968adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
97 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡))
98 eliccre 43817 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9995, 96, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10094, 99ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
10114rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
10269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
1038, 5ltsubrpd 12996 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) < 𝐡)
1048ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 < +∞)
105101, 102, 8, 103, 104eliood 43810 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)(,)+∞))
10636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105fourierdlem105 44526 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
107100, 106itgcl 25164 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
10893, 107eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
109108subidd 11507 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = 0)
110109eqcomd 2743 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
111110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 0 = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
11224adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1133adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11414adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
11536, 37, 38fourierdlem11 44433 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
116115simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
1173, 8, 116ltled 11310 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
118117adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
1193, 8, 6lesub1d 11769 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
120119adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
121118, 120mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
1228adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1236adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝑇 < 𝑋)
1251, 124eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) < 𝑋)
126122, 113, 123, 125ltsub23d 11767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) < 𝐴)
127114, 113, 126ltled 11310 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐴)
128112, 113, 114, 121, 127eliccd 43816 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴))
12960adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
130129, 53ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
131130adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
13224rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
1333, 8, 6, 116ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) < (𝐡 βˆ’ 𝑋))
13414ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) < +∞)
135132, 102, 14, 133, 134eliood 43810 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)+∞))
13636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135fourierdlem105 44526 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
137136adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
13837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
13938adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
14060adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
14154adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
14265adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
14384adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
14488adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
145101adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ*)
14669a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
147113ltpnfd 13049 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐴 < +∞)
148145, 146, 113, 126, 147eliood 43810 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)(,)+∞))
14936, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148fourierdlem105 44526 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
150112, 113, 128, 131, 137, 149itgspliticc 25217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
151150oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
15260adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
15324adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
15414adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
155 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
156 eliccre 43817 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
157153, 154, 155, 156syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
158152, 157ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
159158, 136itgcl 25164 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
160159adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
16160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
16214adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1633adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
164 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴))
165 eliccre 43817 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
166162, 163, 164, 165syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
167161, 166ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
168167adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
169168, 149itgcl 25164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
170108adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
171160, 169, 170addsubassd 11539 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
172111, 151, 1713eqtrd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 0 = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
173172oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ 0) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))))
174160subid1d 11508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ 0) = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
175159subidd 11507 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = 0)
176175oveq1d 7377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (0 βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
177176adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (0 βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
178169, 170subcld 11519 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) ∈ β„‚)
179160, 160, 178subsub4d 11550 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))))
180 df-neg 11395 . . . . . 6 -(∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (0 βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
181169, 170negsubdi2d 11535 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ -(∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
182180, 181eqtr3id 2791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (0 βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
183177, 179, 1823eqtr3d 2785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
184173, 174, 1833eqtr3d 2785 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
185107subidd 11507 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = 0)
186185eqcomd 2743 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
187186oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + 0) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
188187adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + 0) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
189169addid1d 11362 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + 0) = ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
190114, 122, 113, 127, 118eliccd 43816 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡))
191100adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1923, 8iccssred 13358 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
19360, 192feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
19460, 192fssresd 6714 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
195 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
1963rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
197196adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1988rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
199198adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20036, 37, 38fourierdlem15 44437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
201200adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
202 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
203197, 199, 201, 202fourierdlem8 44430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
204195, 203sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
205204resabs1d 5973 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
206205, 65eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
207205eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
208207oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
20984, 208eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
210207oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
21188, 210eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ (((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
21236, 37, 38, 194, 206, 209, 211fourierdlem69 44490 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ 𝐿1)
213193, 212eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
214213adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
215114, 122, 190, 191, 149, 214itgspliticc 25217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
216215oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
217216oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))))
218107adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
219215, 218eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) ∈ β„‚)
220169, 218, 219addsub12d 11542 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))))
22160adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
2223adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2238adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
224 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
225 eliccre 43817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
226222, 223, 224, 225syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
227221, 226ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
228227, 213itgcl 25164 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
229228adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
230169, 169, 229subsub4d 11550 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ((∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
231230eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ((∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
232231oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ((∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
233169subidd 11507 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = 0)
234233oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ((∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (0 βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
235 df-neg 11395 . . . . . . . . 9 -∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (0 βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
236234, 235eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ((∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = -∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
237236oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ((∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + -∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
238218, 229negsubd 11525 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + -∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
239232, 237, 2383eqtrd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
240217, 220, 2393eqtrd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
241188, 189, 2403eqtr3d 2785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
242241oveq2d 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
243108, 107, 228subsubd 11547 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
24493oveq2d 7378 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
245244, 109eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = 0)
246245oveq1d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (0 + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
247228addid2d 11363 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 + ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
248243, 246, 2473eqtrd 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
249248adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
250184, 242, 2493eqtrd 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
25124adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
25214adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
2533adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
25424, 3, 39ltled 11310 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐴)
255254adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐴)
2566adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2578adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
258 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≀ 𝑇 β†’ 𝑋 ≀ 𝑇)
259258, 1breqtrdi 5151 . . . . . . . 8 (𝑋 ≀ 𝑇 β†’ 𝑋 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
260259adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝑋 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
261256, 257, 253, 260lesubd 11766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝐴 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
262251, 252, 253, 255, 261eliccd 43816 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
263158adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
264132, 102, 3, 39, 73eliood 43810 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)(,)+∞))
26536, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 264fourierdlem105 44526 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
266265adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
2673leidd 11728 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
2685rpge0d 12968 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
2698, 6subge02d 11754 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝑋 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐡))
270268, 269mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐡)
271 iccss 13339 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≀ 𝐴 ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐡)) β†’ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
2723, 8, 267, 270, 271syl22anc 838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
273 iccmbl 24946 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ∈ dom vol)
2743, 14, 273syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ∈ dom vol)
275272, 274, 227, 213iblss 25185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
276275adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
277251, 252, 262, 263, 266, 276itgspliticc 25217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
278268adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 0 ≀ 𝑋)
279269adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (0 ≀ 𝑋 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐡))
280278, 279mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝐡)
281253, 257, 252, 261, 280eliccd 43816 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ (𝐴[,]𝐡))
282227adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2838leidd 11728 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
284283adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
285 iccss 13339 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
286253, 257, 261, 284, 285syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
287 iccmbl 24946 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) ∈ dom vol)
28814, 8, 287syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) ∈ dom vol)
289288adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) ∈ dom vol)
290213adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
291286, 289, 282, 290iblss 25185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
292253, 257, 281, 282, 276, 291itgspliticc 25217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
293292oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = ((∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
29460adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
2953adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
29614adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
297 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
298 eliccre 43817 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
299295, 296, 297, 298syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
300294, 299ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
301300, 275itgcl 25164 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
302301, 107, 107addsubassd 11539 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
303302adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ((∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
304185oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + 0))
305301addid1d 11362 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + 0) = ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
306304, 305eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
307306adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
308293, 303, 3073eqtrrd 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
309308oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫(𝐴[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
31093adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
311107adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
312310, 311eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
313282, 290itgcl 25164 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ ∈ β„‚)
314312, 313, 311addsub12d 11542 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
315313, 312, 311addsubassd 11539 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ((∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)))
316314, 315eqtr4d 2780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ (∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + (∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)) = ((∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
317277, 309, 3163eqtrd 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
318310oveq2d 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ((∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐡 βˆ’ 𝑋)[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = ((∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯))
319313, 312pncand 11520 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ((∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ + ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) βˆ’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯) = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
320317, 318, 3193eqtrd 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ 𝑇) β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
321250, 320, 47, 6ltlecasei 11270 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β„©cio 6451  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  β™―chash 14237  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem108  44529
  Copyright terms: Public domain W3C validator