Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem107 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem107 44444
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 44429 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem107.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem107.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem107.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem107.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem107.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem107.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem107.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem107.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem107.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem107.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem107.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.h 𝐻 = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem107.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem107.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem107.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem107.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem107.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑓,𝑋,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑥,𝑋   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐵𝐴)
21oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑋) + 𝑇) = ((𝐴𝑋) + (𝐵𝐴))
3 fourierdlem107.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 fourierdlem107.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
65rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
8 fourierdlem107.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
104, 7, 9, 4subadd4b 43506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + (𝐵𝐴)) = ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)))
112, 10eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑇) = ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)))
124subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
1312oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)) = (0 + (𝐵𝑋)))
148, 6resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1514recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
1615addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 + (𝐵𝑋)) = (𝐵𝑋))
1711, 13, 163eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑇) = (𝐵𝑋))
181oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 + 𝑇) = (𝐴 + (𝐵𝐴))
194, 9pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
2018, 19eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
2117, 20oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)) = ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
2221eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) = (((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)))
2322itgeq1d 44188 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
243, 6resubcld 11583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
25 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝𝑖) = (𝑝𝑗))
27 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
2827fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
2926, 28breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
3029cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
3231anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
3332rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
3433mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
3525, 34eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
36 fourierdlem107.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
37 fourierdlem107.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
38 fourierdlem107.q . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
393, 5ltsubrpd 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) < 𝐴)
40 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻 = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
41 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
42 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
431, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42fourierdlem54 44391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
4443simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4544simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
468, 3resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
471, 46eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
4844simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4924adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
503adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴))
52 eliccre 43733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5349, 50, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 fourierdlem107.fper . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
5553, 54syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
56 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝑗))
5756oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆𝑖) + 𝑇) = ((𝑆𝑗) + 𝑇))
5857cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆𝑖) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆𝑗) + 𝑇))
59 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = ((𝐴𝑋) + 𝑇) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = ((𝐴𝑋) + 𝑇) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
60 fourierdlem107.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
6137adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6238adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
6360adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6454adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
65 fourierdlem107.fcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
6724adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
6867rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
69 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) < 𝐴)
733ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < +∞)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 < +∞)
7568, 70, 71, 72, 74eliood 43726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
76 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
77 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
79 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
80 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
82 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
8336, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82fourierdlem90 44427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
84 fourierdlem107.r . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
8584adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
86 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
8736, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86fourierdlem89 44426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
88 fourierdlem107.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
8988adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
9136, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90fourierdlem91 44428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
9224, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91fourierdlem92 44429 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
9323, 92eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
9460adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9514adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
97 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
98 eliccre 43733 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9995, 96, 97, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10094, 99ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
10114rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
10269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
1038, 5ltsubrpd 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑋) < 𝐵)
1048ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 < +∞)
105101, 102, 8, 103, 104eliood 43726 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐵𝑋)(,)+∞))
10636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105fourierdlem105 44442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
107100, 106itgcl 25148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
10893, 107eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
109108subidd 11500 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
110109eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
111110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
11224adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
1133adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
11414adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
11536, 37, 38fourierdlem11 44349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
116115simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1173, 8, 116ltled 11303 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
118117adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴𝐵)
1193, 8, 6lesub1d 11762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋)))
120119adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋)))
121118, 120mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
1228adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
1236adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑇 < 𝑋)
1251, 124eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝐴) < 𝑋)
126122, 113, 123, 125ltsub23d 11760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) < 𝐴)
127114, 113, 126ltled 11303 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ≤ 𝐴)
128112, 113, 114, 121, 127eliccd 43732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴))
12960adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
130129, 53ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
131130adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
13224rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
1333, 8, 6, 116ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) < (𝐵𝑋))
13414ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑋) < +∞)
135132, 102, 14, 133, 134eliood 43726 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
13636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135fourierdlem105 44442 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
137136adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
13837adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13938adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
14060adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
14154adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
14265adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14384adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
14488adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
145101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
14669a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
147113ltpnfd 13042 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 < +∞)
148145, 146, 113, 126, 147eliood 43726 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐵𝑋)(,)+∞))
14936, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148fourierdlem105 44442 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
150112, 113, 128, 131, 137, 149itgspliticc 25201 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
151150oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
15260adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
15324adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
15414adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
155 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
156 eliccre 43733 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
157153, 154, 155, 156syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
158152, 157ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
159158, 136itgcl 25148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
160159adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
16160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
16214adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1633adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
164 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴))
165 eliccre 43733 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
166162, 163, 164, 165syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
167161, 166ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
168167adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
169168, 149itgcl 25148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
170108adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
171160, 169, 170addsubassd 11532 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
172111, 151, 1713eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
173172oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − 0) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))))
174160subid1d 11501 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − 0) = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
175159subidd 11500 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
176175oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
177176adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
178169, 170subcld 11512 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) ∈ ℂ)
179160, 160, 178subsub4d 11543 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))))
180 df-neg 11388 . . . . . 6 -(∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
181169, 170negsubdi2d 11528 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → -(∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
182180, 181eqtr3id 2790 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
183177, 179, 1823eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
184173, 174, 1833eqtr3d 2784 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
185107subidd 11500 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
186185eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
187186oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
188187adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
189169addid1d 11355 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
190114, 122, 113, 127, 118eliccd 43732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
191100adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1923, 8iccssred 13351 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
19360, 192feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
19460, 192fssresd 6709 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
195 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
1963rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
197196adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1988rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
199198adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20036, 37, 38fourierdlem15 44353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
201200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
202 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
203197, 199, 201, 202fourierdlem8 44346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
204195, 203sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
205204resabs1d 5968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206205, 65eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
207205eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
208207oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
20984, 208eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
210207oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21188, 210eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21236, 37, 38, 194, 206, 209, 211fourierdlem69 44406 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ 𝐿1)
213193, 212eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
214213adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
215114, 122, 190, 191, 149, 214itgspliticc 25201 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
216215oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
217216oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))))
218107adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
219215, 218eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) ∈ ℂ)
220169, 218, 219addsub12d 11535 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))))
22160adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2238adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
224 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
225 eliccre 43733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
226222, 223, 224, 225syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
227221, 226ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
228227, 213itgcl 25148 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
229228adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
230169, 169, 229subsub4d 11543 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
231230eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
232231oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
233169subidd 11500 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
234233oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
235 df-neg 11388 . . . . . . . . 9 -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (0 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
236234, 235eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
237236oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
238218, 229negsubd 11518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
239232, 237, 2383eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
240217, 220, 2393eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
241188, 189, 2403eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
242241oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
243108, 107, 228subsubd 11540 . . . . 5 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
24493oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
245244, 109eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
246245oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
247228addid2d 11356 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
248243, 246, 2473eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
249248adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
250184, 242, 2493eqtrd 2780 . 2 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
25124adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
25214adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
2533adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ∈ ℝ)
25424, 3, 39ltled 11303 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ 𝐴)
255254adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ≤ 𝐴)
2566adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
2578adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ)
258 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑇𝑋𝑇)
259258, 1breqtrdi 5146 . . . . . . . 8 (𝑋𝑇𝑋 ≤ (𝐵𝐴))
260259adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ≤ (𝐵𝐴))
261256, 257, 253, 260lesubd 11759 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ≤ (𝐵𝑋))
262251, 252, 253, 255, 261eliccd 43732 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
263158adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
264132, 102, 3, 39, 73eliood 43726 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
26536, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 264fourierdlem105 44442 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
266265adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
2673leidd 11721 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐴)
2685rpge0d 12961 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
2698, 6subge02d 11747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵))
270268, 269mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)
271 iccss 13332 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴 ∧ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)) → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
2723, 8, 267, 270, 271syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
273 iccmbl 24930 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ∈ dom vol)
2743, 14, 273syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ∈ dom vol)
275272, 274, 227, 213iblss 25169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
276275adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
277251, 252, 262, 263, 266, 276itgspliticc 25201 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥))
278268adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → 0 ≤ 𝑋)
279269adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵))
280278, 279mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)
281253, 257, 252, 261, 280eliccd 43732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ∈ (𝐴[,]𝐵))
282227adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2838leidd 11721 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐵)
284283adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐵𝐵)
285 iccss 13332 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (𝐵𝑋) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
286253, 257, 261, 284, 285syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
287 iccmbl 24930 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
28814, 8, 287syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
289288adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
290213adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
291286, 289, 282, 290iblss 25169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
292253, 257, 281, 282, 276, 291itgspliticc 25201 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
293292oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
29460adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2953adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
29614adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
297 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)))
298 eliccre 43733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
299295, 296, 297, 298syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
300294, 299ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
301300, 275itgcl 25148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
302301, 107, 107addsubassd 11532 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
303302adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
304185oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + 0))
305301addid1d 11355 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
306304, 305eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
307306adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
308293, 303, 3073eqtrrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
309308oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
31093adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
311107adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
312310, 311eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
313282, 290itgcl 25148 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
314312, 313, 311addsub12d 11535 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
315313, 312, 311addsubassd 11532 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
316314, 315eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
317277, 309, 3163eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
318310oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
319313, 312pncand 11513 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
320317, 318, 3193eqtrd 2780 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
321250, 320, 47, 6ltlecasei 11263 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cun 3908  wss 3910  ifcif 4486  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cio 6446  wf 6492  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  m cmap 8765  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  cfl 13695  chash 14230  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem108  44445
  Copyright terms: Public domain W3C validator