Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem107 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem107 46228
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46213 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem107.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem107.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem107.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem107.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem107.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem107.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem107.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem107.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem107.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem107.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem107.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.h 𝐻 = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem107.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem107.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem107.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem107.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem107.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑓,𝑋,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑥,𝑋   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐵𝐴)
21oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑋) + 𝑇) = ((𝐴𝑋) + (𝐵𝐴))
3 fourierdlem107.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 fourierdlem107.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
65rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
8 fourierdlem107.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
104, 7, 9, 4subadd4b 45294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + (𝐵𝐴)) = ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)))
112, 10eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑇) = ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)))
124subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
1312oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)) = (0 + (𝐵𝑋)))
148, 6resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1514recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
1615addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 + (𝐵𝑋)) = (𝐵𝑋))
1711, 13, 163eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑇) = (𝐵𝑋))
181oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 + 𝑇) = (𝐴 + (𝐵𝐴))
194, 9pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
2018, 19eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
2117, 20oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)) = ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
2221eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) = (((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)))
2322itgeq1d 45972 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
243, 6resubcld 11691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
25 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝𝑖) = (𝑝𝑗))
27 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
2827fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
2926, 28breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
3029cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
3231anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
3332rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
3433mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
3525, 34eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
36 fourierdlem107.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
37 fourierdlem107.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
38 fourierdlem107.q . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
393, 5ltsubrpd 13109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) < 𝐴)
40 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻 = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
41 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
42 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
431, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42fourierdlem54 46175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
4443simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4544simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
468, 3resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
471, 46eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
4844simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4924adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
503adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴))
52 eliccre 45518 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5349, 50, 51, 52syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 fourierdlem107.fper . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
5553, 54syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
56 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝑗))
5756oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆𝑖) + 𝑇) = ((𝑆𝑗) + 𝑇))
5857cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆𝑖) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆𝑗) + 𝑇))
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = ((𝐴𝑋) + 𝑇) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = ((𝐴𝑋) + 𝑇) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
60 fourierdlem107.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
6137adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6238adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
6360adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6454adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
65 fourierdlem107.fcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
6665adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
6724adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
6867rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
69 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) < 𝐴)
733ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < +∞)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 < +∞)
7568, 70, 71, 72, 74eliood 45511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
76 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
77 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
79 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
80 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
81 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
82 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
8336, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82fourierdlem90 46211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
84 fourierdlem107.r . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
8584adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
86 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
8736, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86fourierdlem89 46210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
88 fourierdlem107.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
8988adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
9136, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90fourierdlem91 46212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
9224, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91fourierdlem92 46213 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
9323, 92eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
9460adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9514adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
97 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
98 eliccre 45518 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9995, 96, 97, 98syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10094, 99ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
10114rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
10269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
1038, 5ltsubrpd 13109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑋) < 𝐵)
1048ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 < +∞)
105101, 102, 8, 103, 104eliood 45511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐵𝑋)(,)+∞))
10636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105fourierdlem105 46226 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
107100, 106itgcl 25819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
10893, 107eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
109108subidd 11608 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
110109eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
111110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
11224adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
1133adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
11414adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
11536, 37, 38fourierdlem11 46133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
116115simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1173, 8, 116ltled 11409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
118117adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴𝐵)
1193, 8, 6lesub1d 11870 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋)))
120119adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋)))
121118, 120mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
1228adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
1236adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑇 < 𝑋)
1251, 124eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝐴) < 𝑋)
126122, 113, 123, 125ltsub23d 11868 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) < 𝐴)
127114, 113, 126ltled 11409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ≤ 𝐴)
128112, 113, 114, 121, 127eliccd 45517 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴))
12960adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
130129, 53ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
131130adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
13224rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
1333, 8, 6, 116ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) < (𝐵𝑋))
13414ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑋) < +∞)
135132, 102, 14, 133, 134eliood 45511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
13636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135fourierdlem105 46226 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
137136adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
13837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
14060adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
14154adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
14265adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14384adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
14488adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
145101adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
14669a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
147113ltpnfd 13163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 < +∞)
148145, 146, 113, 126, 147eliood 45511 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐵𝑋)(,)+∞))
14936, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148fourierdlem105 46226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
150112, 113, 128, 131, 137, 149itgspliticc 25872 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
151150oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
15260adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
15324adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
15414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
155 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
156 eliccre 45518 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
157153, 154, 155, 156syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
158152, 157ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
159158, 136itgcl 25819 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
160159adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
16160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
16214adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1633adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
164 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴))
165 eliccre 45518 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
166162, 163, 164, 165syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
167161, 166ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
168167adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
169168, 149itgcl 25819 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
170108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
171160, 169, 170addsubassd 11640 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
172111, 151, 1713eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
173172oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − 0) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))))
174160subid1d 11609 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − 0) = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
175159subidd 11608 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
176175oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
177176adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
178169, 170subcld 11620 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) ∈ ℂ)
179160, 160, 178subsub4d 11651 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))))
180 df-neg 11495 . . . . . 6 -(∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
181169, 170negsubdi2d 11636 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → -(∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
182180, 181eqtr3id 2791 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
183177, 179, 1823eqtr3d 2785 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
184173, 174, 1833eqtr3d 2785 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
185107subidd 11608 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
186185eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
187186oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
188187adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
189169addridd 11461 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
190114, 122, 113, 127, 118eliccd 45517 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
191100adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1923, 8iccssred 13474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
19360, 192feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
19460, 192fssresd 6775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
195 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
1963rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1988rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
199198adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20036, 37, 38fourierdlem15 46137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
202 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
203197, 199, 201, 202fourierdlem8 46130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
204195, 203sstrid 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
205204resabs1d 6026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206205, 65eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
207205eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
208207oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
20984, 208eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
210207oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21188, 210eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21236, 37, 38, 194, 206, 209, 211fourierdlem69 46190 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ 𝐿1)
213193, 212eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
214213adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
215114, 122, 190, 191, 149, 214itgspliticc 25872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
216215oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
217216oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))))
218107adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
219215, 218eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) ∈ ℂ)
220169, 218, 219addsub12d 11643 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))))
22160adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2223adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
224 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
225 eliccre 45518 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
226222, 223, 224, 225syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
227221, 226ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
228227, 213itgcl 25819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
229228adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
230169, 169, 229subsub4d 11651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
231230eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
232231oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
233169subidd 11608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
234233oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
235 df-neg 11495 . . . . . . . . 9 -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (0 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
236234, 235eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
237236oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
238218, 229negsubd 11626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
239232, 237, 2383eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
240217, 220, 2393eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
241188, 189, 2403eqtr3d 2785 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
242241oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
243108, 107, 228subsubd 11648 . . . . 5 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
24493oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
245244, 109eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
246245oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
247228addlidd 11462 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
248243, 246, 2473eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
249248adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
250184, 242, 2493eqtrd 2781 . 2 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
25124adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
25214adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
2533adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ∈ ℝ)
25424, 3, 39ltled 11409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ 𝐴)
255254adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ≤ 𝐴)
2566adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
2578adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ)
258 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑇𝑋𝑇)
259258, 1breqtrdi 5184 . . . . . . . 8 (𝑋𝑇𝑋 ≤ (𝐵𝐴))
260259adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ≤ (𝐵𝐴))
261256, 257, 253, 260lesubd 11867 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ≤ (𝐵𝑋))
262251, 252, 253, 255, 261eliccd 45517 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
263158adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
264132, 102, 3, 39, 73eliood 45511 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
26536, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 264fourierdlem105 46226 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
266265adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
2673leidd 11829 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐴)
2685rpge0d 13081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
2698, 6subge02d 11855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵))
270268, 269mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)
271 iccss 13455 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴 ∧ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)) → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
2723, 8, 267, 270, 271syl22anc 839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
273 iccmbl 25601 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ∈ dom vol)
2743, 14, 273syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ∈ dom vol)
275272, 274, 227, 213iblss 25840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
276275adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
277251, 252, 262, 263, 266, 276itgspliticc 25872 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥))
278268adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → 0 ≤ 𝑋)
279269adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵))
280278, 279mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)
281253, 257, 252, 261, 280eliccd 45517 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ∈ (𝐴[,]𝐵))
282227adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2838leidd 11829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐵)
284283adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐵𝐵)
285 iccss 13455 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (𝐵𝑋) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
286253, 257, 261, 284, 285syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
287 iccmbl 25601 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
28814, 8, 287syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
289288adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
290213adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
291286, 289, 282, 290iblss 25840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
292253, 257, 281, 282, 276, 291itgspliticc 25872 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
293292oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
29460adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2953adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
29614adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
297 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)))
298 eliccre 45518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
299295, 296, 297, 298syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
300294, 299ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
301300, 275itgcl 25819 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
302301, 107, 107addsubassd 11640 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
303302adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
304185oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + 0))
305301addridd 11461 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
306304, 305eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
307306adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
308293, 303, 3073eqtrrd 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
309308oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
31093adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
311107adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
312310, 311eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
313282, 290itgcl 25819 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
314312, 313, 311addsub12d 11643 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
315313, 312, 311addsubassd 11640 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
316314, 315eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
317277, 309, 3163eqtrd 2781 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
318310oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
319313, 312pncand 11621 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
320317, 318, 3193eqtrd 2781 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
321250, 320, 47, 6ltlecasei 11369 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cio 6512  wf 6557  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  m cmap 8866  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cfl 13830  chash 14369  cnccncf 24902  volcvol 25498  𝐿1cibl 25652  citg 25653   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-ditg 25882  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  fourierdlem108  46229
  Copyright terms: Public domain W3C validator