Theorem ibliooicc 46414

Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibliooicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ibliooicc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibliooicc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2		ioossicc 13377	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		ibliooicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		ibliooicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4	rexrd 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	5	rexrd 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		icc0 13337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
10	7, 8, 9	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
11	10	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
12	11	difeq1d 4056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13		0dif 4333	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14		0ss 4328	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
15	13, 14	eqsstri 3961	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
16	12, 15	eqsstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17		ssid 3937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
18	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		iccdifioo 45960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
23	17, 22	sseqtrid 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
24	16, 23, 5, 4	ltlecasei 11245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25		prssi 4752	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
26	4, 5, 25	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27		prfi 9224	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28		ovolfi 25479	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
29	27, 26, 28	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30		ovolssnul 25472	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32		ibliooicc.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	3, 6, 31, 32	itgss3 25800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
34	33	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
35	1, 34	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {cpr 4557   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  vol*covol 25447  𝐿¹cibl 25602  ∫citg 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-symdif 4181  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cmp 23370  df-ovol 25449  df-vol 25450  df-mbf 25604  df-itg1 25605  df-itg2 25606  df-ibl 25607  df-itg 25608

This theorem is referenced by:  fourierdlem69  46618  fourierdlem73  46622  fourierdlem81  46630  fourierdlem93  46642