Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibliooicc 43094
Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ibliooicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ibliooicc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc
StepHypRef Expression
1 ibliooicc.3 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2 ioossicc 12919 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 ibliooicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 ibliooicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 12920 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74rexrd 10781 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
85rexrd 10781 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 icc0 12881 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
107, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1110biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1211difeq1d 4022 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13 0dif 4300 . . . . . . . 8 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14 0ss 4295 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
1513, 14eqsstri 3921 . . . . . . 7 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
1612, 15eqsstrdi 3941 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17 ssid 3909 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
187adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
198adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21 iccdifioo 42633 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2317, 22sseqtrid 3939 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
2416, 23, 5, 4ltlecasei 10838 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25 prssi 4719 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
264, 5, 25syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27 prfi 8879 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28 ovolfi 24258 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
2927, 26, 28sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30 ovolssnul 24251 . . . . 5 ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
3124, 26, 29, 30syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32 ibliooicc.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
333, 6, 31, 32itgss3 24579 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
3433simpld 498 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
351, 34mpbid 235 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cdif 3850  wss 3853  c0 4221  {cpr 4528   class class class wbr 5040  cmpt 5120  cfv 6349  (class class class)co 7182  Fincfn 8567  cc 10625  cr 10626  0cc0 10627  *cxr 10764   < clt 10765  cle 10766  (,)cioo 12833  [,]cicc 12836  vol*covol 24226  𝐿1cibl 24381  citg 24382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-symdif 4143  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-ofr 7438  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-dju 9415  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-mod 13341  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-sum 15148  df-rest 16811  df-topgen 16832  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-top 21657  df-topon 21674  df-bases 21709  df-cmp 22150  df-ovol 24228  df-vol 24229  df-mbf 24383  df-itg1 24384  df-itg2 24385  df-ibl 24386  df-itg 24387
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  43298  fourierdlem73  43302  fourierdlem81  43310  fourierdlem93  43322
  Copyright terms: Public domain W3C validator