Theorem ibliooicc 47089

Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibliooicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ibliooicc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibliooicc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2		ioossicc 13571	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		ibliooicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		ibliooicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4	rexrd 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	5	rexrd 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		icc0 13531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
11	10	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
12	11	difeq1d 4061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13		0dif 4355	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14		0ss 4349	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
15	13, 14	eqsstri 3955	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
16	12, 15	eqsstrdi 3953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17		ssid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
18	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		iccdifioo 46635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
23	17, 22	sseqtrid 3951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
24	16, 23, 5, 4	ltlecasei 11425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25		prssi 4776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
26	4, 5, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27		prfi 9322	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28		ovolfi 25824	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
29	27, 26, 28	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30		ovolssnul 25817	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32		ibliooicc.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	3, 6, 31, 32	itgss3 26144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
34	33	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
35	1, 34	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  {cpr 4586   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8980  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  (,)cioo 13483  [,]cicc 13486  vol*covol 25792  𝐿¹cibl 25947  ∫citg 25948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-symdif 4197  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cmp 23714  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-mbf 25949  df-itg1 25950  df-itg2 25951  df-ibl 25952  df-itg 25953

This theorem is used by:  fourierdlem69  47293  fourierdlem73  47297  fourierdlem81  47305  fourierdlem93  47317