Theorem ibliooicc 45394

Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibliooicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ibliooicc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibliooicc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2		ioossicc 13440	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		ibliooicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		ibliooicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4	rexrd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	5	rexrd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		icc0 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
10	7, 8, 9	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
11	10	biimpar 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
12	11	difeq1d 4111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13		0dif 4395	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14		0ss 4390	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
15	13, 14	eqsstri 4006	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
16	12, 15	eqsstrdi 4026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17		ssid 3994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
18	7	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19	8	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		iccdifioo 44935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
23	17, 22	sseqtrid 4024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
24	16, 23, 5, 4	ltlecasei 11350	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25		prssi 4818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
26	4, 5, 25	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27		prfi 9344	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28		ovolfi 25439	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
29	27, 26, 28	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30		ovolssnul 25432	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32		ibliooicc.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	3, 6, 31, 32	itgss3 25760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
34	33	simpld 493	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
35	1, 34	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  ∅c0 4316  {cpr 4624   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  Fincfn 8960  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  vol*covol 25407  𝐿¹cibl 25562  ∫citg 25563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-symdif 4235  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cmp 23307  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-ibl 25567  df-itg 25568

This theorem is referenced by:  fourierdlem69  45598  fourierdlem73  45602  fourierdlem81  45610  fourierdlem93  45622