Theorem chpo1ubb 27808

Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpo1ubb	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑐

Proof of Theorem chpo1ubb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13128	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		1red 11309	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13164	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		chpcl 27451	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
8	7, 4	rerpdivcld 13195	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
9		chpo1ub 27807	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
11	8, 10	o1lo1d 15706	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
12		chpcl 27451	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
14	13	rehalfcld 12593	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) / 2) ∈ ℝ)
15	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		chpeq0 27535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
18	17	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → (ψ‘𝑥) = 0)
19	18	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
20	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	20	rpcnd 13166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	20	rpne0d 13169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≠ 0)
23	21, 22	div0d 12092	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 / 𝑥) = 0)
24	13	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
25		2rp 13125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
27		simprll 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		chpge0 27453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
30	24, 26, 29	divge0d 13204	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
31	23, 30	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → (0 / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
33	19, 32	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
34	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
36	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ+)
37	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
38		chpge0 27453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
40	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
41		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
42	15, 27, 41	ltled 11458	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
43	42	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
44		chpwordi 27484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 2 ≤ 𝑥)
47	34, 35, 36, 37, 39, 45, 46	lediv12ad 13223	. . . . 5 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
48		2re 12417	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
50	33, 47, 15, 49	ltlecasei 11418	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
51	2, 3, 8, 11, 14, 50	lo1bddrp 15692	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐)
52	51	mptru 1576	. 2 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐
53		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 13164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
55	54, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
56		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13164	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ)
58	55, 57, 53	ledivmul2d 13218	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)))
59	58	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)))
60	59	rexbiia 3107	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥))
61	52, 60	mpbi 233	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  𝑂(1)co1 15653  ψcchp 27420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-o1 15657  df-lo1 15658  df-sum 15854  df-ef 16233  df-e 16234  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-cht 27424  df-vma 27425  df-chp 27426  df-ppi 27427

This theorem is used by:  pntrlog2bndlem3  27906