Theorem chpo1ubb 27543

Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpo1ubb	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑐

Proof of Theorem chpo1ubb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13064	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		1red 11291	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13099	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		chpcl 27185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
8	7, 4	rerpdivcld 13130	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
9		chpo1ub 27542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
11	8, 10	o1lo1d 15585	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
12		chpcl 27185	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
14	13	rehalfcld 12540	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) / 2) ∈ ℝ)
15	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		chpeq0 27270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
18	17	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → (ψ‘𝑥) = 0)
19	18	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
20	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	20	rpcnd 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	20	rpne0d 13104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≠ 0)
23	21, 22	div0d 12069	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 / 𝑥) = 0)
24	13	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
25		2rp 13062	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
27		simprll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		chpge0 27187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
30	24, 26, 29	divge0d 13139	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
31	23, 30	eqbrtrd 5188	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → (0 / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
33	19, 32	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
34	7	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
36	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ+)
37	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
38		chpge0 27187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
40	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
41		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
42	15, 27, 41	ltled 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
44		chpwordi 27218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 2 ≤ 𝑥)
47	34, 35, 36, 37, 39, 45, 46	lediv12ad 13158	. . . . 5 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
48		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
50	33, 47, 15, 49	ltlecasei 11398	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
51	2, 3, 8, 11, 14, 50	lo1bddrp 15571	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐)
52	51	mptru 1544	. 2 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐
53		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 13099	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
55	54, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
56		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13099	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ)
58	55, 57, 53	ledivmul2d 13153	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)))
59	58	ralbidva 3182	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)))
60	59	rexbiia 3098	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥))
61	52, 60	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  𝑂(1)co1 15532  ψcchp 27154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-o1 15536  df-lo1 15537  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-cht 27158  df-vma 27159  df-chp 27160  df-ppi 27161

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  27641