Theorem chpo1ubb 27525

Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chpo1ubb	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑐

Proof of Theorem chpo1ubb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13042	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		1red 11262	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		chpcl 27167	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
8	7, 4	rerpdivcld 13108	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
9		chpo1ub 27524	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
11	8, 10	o1lo1d 15575	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
12		chpcl 27167	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
14	13	rehalfcld 12513	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) / 2) ∈ ℝ)
15	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		chpeq0 27252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
18	17	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → (ψ‘𝑥) = 0)
19	18	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
20	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	20	rpcnd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	20	rpne0d 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≠ 0)
23	21, 22	div0d 12042	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 / 𝑥) = 0)
24	13	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
25		2rp 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
27		simprll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		chpge0 27169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
30	24, 26, 29	divge0d 13117	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
31	23, 30	eqbrtrd 5165	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → (0 / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
33	19, 32	eqbrtrd 5165	. . . . 5 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑥 < 2) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
34	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
36	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ+)
37	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
38		chpge0 27169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
40	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
41		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
42	15, 27, 41	ltled 11409	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
44		chpwordi 27200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → 2 ≤ 𝑥)
47	34, 35, 36, 37, 39, 45, 46	lediv12ad 13136	. . . . 5 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 2 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
48		2re 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
50	33, 47, 15, 49	ltlecasei 11369	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) / 2))
51	2, 3, 8, 11, 14, 50	lo1bddrp 15561	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐)
52	51	mptru 1547	. 2 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐
53		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
55	54, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
56		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ)
58	55, 57, 53	ledivmul2d 13131	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)))
59	58	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)))
60	59	rexbiia 3092	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥))
61	52, 60	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) ≤ (𝑐 · 𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  𝑂(1)co1 15522  ψcchp 27136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-cht 27140  df-vma 27141  df-chp 27142  df-ppi 27143

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  27623