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Theorem iccntr 23890

Description: The interior of a closed interval in the standard topology on ℝ is the corresponding open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
iccntr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccntr Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		rexr 10952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		icc0 13056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
6	5	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅))
7		retop 23831	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8		ntr0 22140	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅
10		0ss 4327	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	eqsstri 3951	. . . . 5 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
12	6, 11	eqsstrdi 3971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
13		iccssre 13090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14		uniretop 23832	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15	14	ntrss2 22116	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
16	7, 13, 15	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18	1, 2	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
19		uncom 4083	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})
20		prunioo 13142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
21	19, 20	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
22	21	3expa 1116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
23	18, 22	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
24	17, 23	sseqtrrd 3958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	12, 24, 25, 26	ltlecasei 11013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
28	14	ntropn 22108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
29	7, 13, 28	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
30		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
31	30	rexmet 23860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
33	30, 32	tgioo 23865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
34	33	mopni2 23555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
35	31, 34	mp3an1 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
36	29, 35	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
37	26	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
38		rphalfcl 12686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
40	37, 39	ltsubrpd 12733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴)
41	39	rpred 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
42	37, 41	resubcld 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
43	42, 37	ltnled 11052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
44	40, 43	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
45		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		rphalflt 12688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑥 / 2) < 𝑥)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
49	41, 46, 37, 48	ltsub2dd 11518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)))
50	37, 46	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ)
51		ltaddrp 12696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
52	37, 51	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
53	42, 37, 50, 40, 52	lttrd 11066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))
54	37, 46	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
55	54	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ^*)
56	50	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ^*)
57		elioo2 13049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ^*) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
58	55, 56, 57	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
59	42, 49, 53, 58	mpbir3and 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
60	30	bl2ioo 23861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
61	37, 46, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
62	59, 61	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
63		ssel 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
64	62, 63	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
65	16	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
66	65	sseld 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
67		elicc2 13073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
68		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
69	67, 68	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
70	69	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
71	64, 66, 70	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
72	44, 71	mtod 197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
73	72	nrexdv 3197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
74	36, 73	pm2.65da 813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
75	33	mopni2 23555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
76	31, 75	mp3an1 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
77	29, 76	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
78	25	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	38	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
80	78, 79	ltaddrpd 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
81	79	rpred 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
82	78, 81	readdcld 10935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
83	78, 82	ltnled 11052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ↔ ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
84	80, 83	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
85	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
86	78, 85	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
87		ltsubrp 12695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵)
88	78, 87	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵)
89	86, 78, 82, 88, 80	lttrd 11066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
90	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
91	81, 85, 78, 90	ltadd2dd 11064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))
92	86	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ^*)
93	78, 85	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ^*)
95		elioo2 13049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ^*) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
96	92, 94, 95	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
97	82, 89, 91, 96	mpbir3and 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
98	30	bl2ioo 23861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
99	78, 85, 98	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
100	97, 99	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
101		ssel 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
102	100, 101	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
103	16	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104	103	sseld 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
105		elicc2 13073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
106		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
107	105, 106	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
108	107	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
109	102, 104, 108	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
110	84, 109	mtod 197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
111	110	nrexdv 3197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
112	77, 111	pm2.65da 813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
113		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
114	113	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
115		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
116	115	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
117	114, 116	ralprg 4627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))))
118	74, 112, 117	mpbir2and 709	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
119		disjr 4380	. . . . 5 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
120	118, 119	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
121		disjssun 4398	. . . 4 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
122	120, 121	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
123	27, 122	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
124		iooretop 23835	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
125		ioossicc 13094	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
126	14	ssntr 22117	. . . 4 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
127	124, 125, 126	mpanr12 701	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
128	7, 13, 127	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
129	123, 128	eqssd 3934	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ∀wral 3063 ∃wrex 3064 ∪ cun 3881 ∩ cin 3882 ⊆ wss 3883 ∅c0 4253 {cpr 4560 class class class wbr 5070 × cxp 5578 ran crn 5581 ↾ cres 5582 ∘ ccom 5584 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℝcr 10801 + caddc 10805 ℝ^*cxr 10939 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 / cdiv 11562 2c2 11958 ℝ⁺crp 12659 (,)cioo 13008 [,]cicc 13011 abscabs 14873 topGenctg 17065 ∞Metcxmet 20495 ballcbl 20497 MetOpencmopn 20500 Topctop 21950 intcnt 22076

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-map 8575 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-inf 9132 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-xneg 12777 df-xadd 12778 df-xmul 12779 df-ioo 13012 df-ico 13014 df-icc 13015 df-seq 13650 df-exp 13711 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-topgen 17071 df-psmet 20502 df-xmet 20503 df-met 20504 df-bl 20505 df-mopn 20506 df-top 21951 df-topon 21968 df-bases 22004 df-ntr 22079

This theorem is referenced by: dvmptresicc 24985 rolle 25059 cmvth 25060 mvth 25061 dvlip 25062 dvlipcn 25063 dvlip2 25064 c1liplem1 25065 dvgt0lem1 25071 dvle 25076 lhop1lem 25082 dvcnvrelem1 25086 dvcvx 25089 dvfsumabs 25092 ftc1cn 25112 ftc2 25113 ftc2ditglem 25114 itgparts 25116 itgsubstlem 25117 itgpowd 25119 efcvx 25513 pige3ALT 25581 logccv 25723 lgamgulmlem2 26084 ftc2re 32478 ftc1cnnc 35776 ftc2nc 35786 areacirc 35797 dvrelog2 40000 lhe4.4ex1a 41836 dvbdfbdioolem1 43359 itgsin0pilem1 43381 itgsinexplem1 43385 itgcoscmulx 43400 itgiccshift 43411 itgperiod 43412 itgsbtaddcnst 43413 dirkeritg 43533 fourierdlem39 43577 fourierdlem73 43610 etransclem46 43711

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