| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | rexr 11307 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 2 | | rexr 11307 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 3 | | icc0 13435 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴)) |
| 4 | 1, 2, 3 | syl2an 596 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴)) |
| 5 | 4 | biimpar 477 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅) |
| 6 | 5 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) =
((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅)) |
| 7 | | retop 24782 |
. . . . . . 7
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 8 | | ntr0 23089 |
. . . . . . 7
⊢
((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘∅) = ∅) |
| 9 | 7, 8 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
⊢
((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) =
∅ |
| 10 | | 0ss 4400 |
. . . . . 6
⊢ ∅
⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) |
| 11 | 9, 10 | eqsstri 4030 |
. . . . 5
⊢
((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) |
| 12 | 6, 11 | eqsstrdi 4028 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))) |
| 13 | | iccssre 13469 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
| 14 | | uniretop 24783 |
. . . . . . . 8
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) |
| 15 | 14 | ntrss2 23065 |
. . . . . . 7
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
| 16 | 7, 13, 15 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
| 17 | 16 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
| 18 | 1, 2 | anim12i 613 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) |
| 19 | | uncom 4158 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) |
| 20 | | prunioo 13521 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵)) |
| 21 | 19, 20 | eqtrid 2789 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵)) |
| 22 | 21 | 3expa 1119 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵)) |
| 23 | 18, 22 | sylan 580 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵)) |
| 24 | 17, 23 | sseqtrrd 4021 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))) |
| 25 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 26 | | simpl 482 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) |
| 27 | 12, 24, 25, 26 | ltlecasei 11369 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))) |
| 28 | 14 | ntropn 23057 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran
(,))) |
| 29 | 7, 13, 28 | sylancr 587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran
(,))) |
| 30 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) |
| 31 | 30 | rexmet 24812 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) |
| 32 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ ×
ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ ×
ℝ))) |
| 33 | 30, 32 | tgioo 24817 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))) |
| 34 | 33 | mopni2 24506 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))
∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 35 | 31, 34 | mp3an1 1450 |
. . . . . . . 8
⊢
((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 36 | 29, 35 | sylan 580 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 37 | 26 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈
ℝ) |
| 38 | | rphalfcl 13062 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ℝ+
→ (𝑥 / 2) ∈
ℝ+) |
| 39 | 38 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈
ℝ+) |
| 40 | 37, 39 | ltsubrpd 13109 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴) |
| 41 | 39 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈
ℝ) |
| 42 | 37, 41 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ) |
| 43 | 42, 37 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))) |
| 44 | 40, 43 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬
𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))) |
| 45 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ ℝ+
→ 𝑥 ∈
ℝ) |
| 46 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 47 | | rphalflt 13064 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ ℝ+
→ (𝑥 / 2) < 𝑥) |
| 48 | 47 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) < 𝑥) |
| 49 | 41, 46, 37, 48 | ltsub2dd 11876 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2))) |
| 50 | 37, 46 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ) |
| 51 | | ltaddrp 13072 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
→ 𝐴 < (𝐴 + 𝑥)) |
| 52 | 37, 51 | sylancom 588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥)) |
| 53 | 42, 37, 50, 40, 52 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥)) |
| 54 | 37, 46 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ) |
| 55 | 54 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝑥) ∈
ℝ*) |
| 56 | 50 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝑥) ∈
ℝ*) |
| 57 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥)))) |
| 58 | 55, 56, 57 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥)))) |
| 59 | 42, 49, 53, 58 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥))) |
| 60 | 30 | bl2ioo 24813 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥))) |
| 61 | 37, 46, 60 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥))) |
| 62 | 59, 61 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑥)) |
| 63 | | ssel 3977 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 64 | 62, 63 | syl5com 31 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 65 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
| 66 | 65 | sseld 3982 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵))) |
| 67 | | elicc2 13452 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))) |
| 68 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))) |
| 69 | 67, 68 | biimtrdi 253 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))) |
| 70 | 69 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))) |
| 71 | 64, 66, 70 | 3syld 60 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))) |
| 72 | 44, 71 | mtod 198 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬
(𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 73 | 72 | nrexdv 3149 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 74 | 36, 73 | pm2.65da 817 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬
𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 75 | 33 | mopni2 24506 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))
∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 76 | 31, 75 | mp3an1 1450 |
. . . . . . . 8
⊢
((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 77 | 29, 76 | sylan 580 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 78 | 25 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 79 | 38 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈
ℝ+) |
| 80 | 78, 79 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2))) |
| 81 | 79 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈
ℝ) |
| 82 | 78, 81 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ) |
| 83 | 78, 82 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ↔ ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)) |
| 84 | 80, 83 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬
(𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) |
| 85 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 86 | 78, 85 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ) |
| 87 | | ltsubrp 13071 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
→ (𝐵 − 𝑥) < 𝐵) |
| 88 | 78, 87 | sylancom 588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵) |
| 89 | 86, 78, 82, 88, 80 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2))) |
| 90 | 47 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) < 𝑥) |
| 91 | 81, 85, 78, 90 | ltadd2dd 11420 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥)) |
| 92 | 86 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝑥) ∈
ℝ*) |
| 93 | 78, 85 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ) |
| 94 | 93 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈
ℝ*) |
| 95 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥)))) |
| 96 | 92, 94, 95 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥)))) |
| 97 | 82, 89, 91, 96 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥))) |
| 98 | 30 | bl2ioo 24813 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥))) |
| 99 | 78, 85, 98 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥))) |
| 100 | 97, 99 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑥)) |
| 101 | | ssel 3977 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 102 | 100, 101 | syl5com 31 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 103 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
| 104 | 103 | sseld 3982 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵))) |
| 105 | | elicc2 13452 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))) |
| 106 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) |
| 107 | 105, 106 | biimtrdi 253 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)) |
| 108 | 107 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)) |
| 109 | 102, 104,
108 | 3syld 60 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)) |
| 110 | 84, 109 | mtod 198 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬
(𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 111 | 110 | nrexdv 3149 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 112 | 77, 111 | pm2.65da 817 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬
𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 113 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 114 | 113 | notbid 318 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 115 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 116 | 115 | notbid 318 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐵 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))) |
| 117 | 114, 116 | ralprg 4696 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
(∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 ∈
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))))) |
| 118 | 74, 112, 117 | mpbir2and 713 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 119 | | disjr 4451 |
. . . . 5
⊢
((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 120 | 118, 119 | sylibr 234 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
(((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅) |
| 121 | | disjssun 4468 |
. . . 4
⊢
((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ →
(((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵))) |
| 122 | 120, 121 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
(((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵))) |
| 123 | 27, 122 | mpbid 232 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
| 124 | | iooretop 24786 |
. . . 4
⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran
(,)) |
| 125 | | ioossicc 13473 |
. . . 4
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
| 126 | 14 | ssntr 23066 |
. . . 4
⊢
((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 127 | 124, 125,
126 | mpanr12 705 |
. . 3
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 128 | 7, 13, 127 | sylancr 587 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐵))) |
| 129 | 123, 128 | eqssd 4001 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)) |