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Theorem iccntr 24764

Description: The interior of a closed interval in the standard topology on ℝ is the corresponding open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
iccntr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccntr Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		rexr 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		icc0 13307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
6	5	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅))
7		retop 24703	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8		ntr0 23023	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅
10		0ss 4350	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	eqsstri 3978	. . . . 5 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
12	6, 11	eqsstrdi 3976	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
13		iccssre 13343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14		uniretop 24704	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15	14	ntrss2 22999	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
16	7, 13, 15	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18	1, 2	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
19		uncom 4108	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})
20		prunioo 13395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
21	19, 20	eqtrid 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
22	21	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
23	18, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
24	17, 23	sseqtrrd 3969	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	12, 24, 25, 26	ltlecasei 11239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
28	14	ntropn 22991	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
29	7, 13, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
30		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
31	30	rexmet 24733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
33	30, 32	tgioo 24738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
34	33	mopni2 24435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
35	31, 34	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
36	29, 35	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
37	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
38		rphalfcl 12932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
40	37, 39	ltsubrpd 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴)
41	39	rpred 12947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
42	37, 41	resubcld 11563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
43	42, 37	ltnled 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
44	40, 43	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
45		rpre 12912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		rphalflt 12934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑥 / 2) < 𝑥)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
49	41, 46, 37, 48	ltsub2dd 11748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)))
50	37, 46	readdcld 11159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ)
51		ltaddrp 12942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
52	37, 51	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
53	42, 37, 50, 40, 52	lttrd 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))
54	37, 46	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
55	54	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ^*)
56	50	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ^*)
57		elioo2 13300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ^*) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
58	55, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
59	42, 49, 53, 58	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
60	30	bl2ioo 24734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
61	37, 46, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
62	59, 61	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
63		ssel 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
64	62, 63	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
65	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
66	65	sseld 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
67		elicc2 13325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
68		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
69	67, 68	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
71	64, 66, 70	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
72	44, 71	mtod 198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
73	72	nrexdv 3129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
74	36, 73	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
75	33	mopni2 24435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
76	31, 75	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
77	29, 76	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
78	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	38	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
80	78, 79	ltaddrpd 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
81	79	rpred 12947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
82	78, 81	readdcld 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
83	78, 82	ltnled 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ↔ ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
84	80, 83	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
85	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
86	78, 85	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
87		ltsubrp 12941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵)
88	78, 87	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵)
89	86, 78, 82, 88, 80	lttrd 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
90	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
91	81, 85, 78, 90	ltadd2dd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))
92	86	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ^*)
93	78, 85	readdcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ^*)
95		elioo2 13300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ^*) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
96	92, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
97	82, 89, 91, 96	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
98	30	bl2ioo 24734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
99	78, 85, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
100	97, 99	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
101		ssel 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
102	100, 101	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
103	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104	103	sseld 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
105		elicc2 13325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
106		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
107	105, 106	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
108	107	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
109	102, 104, 108	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
110	84, 109	mtod 198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
111	110	nrexdv 3129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
112	77, 111	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
113		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
114	113	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
115		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
116	115	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
117	114, 116	ralprg 4651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))))
118	74, 112, 117	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
119		disjr 4401	. . . . 5 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
120	118, 119	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
121		disjssun 4418	. . . 4 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
122	120, 121	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
123	27, 122	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
124		iooretop 24707	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
125		ioossicc 13347	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
126	14	ssntr 23000	. . . 4 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
127	124, 125, 126	mpanr12 705	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
128	7, 13, 127	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
129	123, 128	eqssd 3949	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∀wral 3049 ∃wrex 3058 ∪ cun 3897 ∩ cin 3898 ⊆ wss 3899 ∅c0 4283 {cpr 4580 class class class wbr 5096 × cxp 5620 ran crn 5623 ↾ cres 5624 ∘ ccom 5626 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℝcr 11023 + caddc 11027 ℝ^*cxr 11163 < clt 11164 ≤ cle 11165 − cmin 11362 / cdiv 11792 2c2 12198 ℝ⁺crp 12903 (,)cioo 13259 [,]cicc 13262 abscabs 15155 topGenctg 17355 ∞Metcxmet 21292 ballcbl 21294 MetOpencmopn 21297 Topctop 22835 intcnt 22959

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-er 8633 df-map 8763 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-sup 9343 df-inf 9344 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-q 12860 df-rp 12904 df-xneg 13024 df-xadd 13025 df-xmul 13026 df-ioo 13263 df-ico 13265 df-icc 13266 df-seq 13923 df-exp 13983 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157 df-topgen 17361 df-psmet 21299 df-xmet 21300 df-met 21301 df-bl 21302 df-mopn 21303 df-top 22836 df-topon 22853 df-bases 22888 df-ntr 22962

This theorem is referenced by: dvmptresicc 25871 rolle 25948 cmvth 25949 cmvthOLD 25950 mvth 25951 dvlip 25952 dvlipcn 25953 dvlip2 25954 c1liplem1 25955 dvgt0lem1 25961 dvle 25966 lhop1lem 25972 dvcnvrelem1 25976 dvcvx 25979 dvfsumabs 25983 ftc1cn 26004 ftc2 26005 ftc2ditglem 26006 itgparts 26008 itgsubstlem 26009 itgpowd 26011 efcvx 26413 pige3ALT 26483 logccv 26626 lgamgulmlem2 26994 ftc2re 34704 ftc1cnnc 37832 ftc2nc 37842 areacirc 37853 dvrelog2 42257 lhe4.4ex1a 44512 dvbdfbdioolem1 46114 itgsin0pilem1 46136 itgsinexplem1 46140 itgcoscmulx 46155 itgiccshift 46166 itgperiod 46167 itgsbtaddcnst 46168 dirkeritg 46288 fourierdlem39 46332 fourierdlem73 46365 etransclem46 46466

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