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Theorem iccntr 25196

Description: The interior of a closed interval in the standard topology on ℝ is the corresponding open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
iccntr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccntr Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		rexr 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		icc0 13564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
5	4	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
6	5	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅))
7		retop 25135	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8		ntr0 23454	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅
10		0ss 4353	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	eqsstri 3959	. . . . 5 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
12	6, 11	eqsstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
13		iccssre 13600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14		uniretop 25136	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15	14	ntrss2 23430	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
16	7, 13, 15	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18	1, 2	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
19		uncom 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})
20		prunioo 13652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
21	19, 20	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
22	21	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
23	18, 22	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
24	17, 23	sseqtrrd 3950	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	12, 24, 25, 26	ltlecasei 11457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
28	14	ntropn 23422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
29	7, 13, 28	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
30		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
31	30	rexmet 25165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
33	30, 32	tgioo 25170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
34	33	mopni2 24867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
35	31, 34	mp3an1 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
36	29, 35	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
37	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
38		rphalfcl 13189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
40	37, 39	ltsubrpd 13236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴)
41	39	rpred 13204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
42	37, 41	resubcld 11783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
43	42, 37	ltnled 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
44	40, 43	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
45		rpre 13169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		rphalflt 13191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑥 / 2) < 𝑥)
48	47	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
49	41, 46, 37, 48	ltsub2dd 11969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)))
50	37, 46	readdcld 11377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ)
51		ltaddrp 13199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
52	37, 51	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
53	42, 37, 50, 40, 52	lttrd 11510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))
54	37, 46	resubcld 11783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
55	54	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ^*)
56	50	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ^*)
57		elioo2 13557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ^*) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
58	55, 56, 57	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
59	42, 49, 53, 58	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
60	30	bl2ioo 25166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
61	37, 46, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴 − 𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
62	59, 61	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
63		ssel 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
64	62, 63	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
65	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
66	65	sseld 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
67		elicc2 13582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
68		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
69	67, 68	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
70	69	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
71	64, 66, 70	3syld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
72	44, 71	mtod 201	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
73	72	nrexdv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
74	36, 73	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
75	33	mopni2 24867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
76	31, 75	mp3an1 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
77	29, 76	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
78	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	38	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
80	78, 79	ltaddrpd 13237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
81	79	rpred 13204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
82	78, 81	readdcld 11377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
83	78, 82	ltnled 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ↔ ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
84	80, 83	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
85	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
86	78, 85	resubcld 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
87		ltsubrp 13198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵)
88	78, 87	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < 𝐵)
89	86, 78, 82, 88, 80	lttrd 11510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
90	47	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
91	81, 85, 78, 90	ltadd2dd 11508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))
92	86	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ^*)
93	78, 85	readdcld 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ^*)
95		elioo2 13557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ^*) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
96	92, 94, 95	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
97	82, 89, 91, 96	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
98	30	bl2ioo 25166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
99	78, 85, 98	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵 − 𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
100	97, 99	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
101		ssel 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
102	100, 101	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
103	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104	103	sseld 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
105		elicc2 13582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
106		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
107	105, 106	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
108	107	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
109	102, 104, 108	3syld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
110	84, 109	mtod 201	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
111	110	nrexdv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
112	77, 111	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
113		eleq1 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
114	113	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
115		eleq1 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
116	115	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
117	114, 116	ralprg 4658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))))
118	74, 112, 117	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
119		disjr 4407	. . . . 5 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
120	118, 119	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
121		disjssun 4424	. . . 4 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
122	120, 121	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
123	27, 122	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
124		iooretop 25139	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
125		ioossicc 13604	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
126	14	ssntr 23431	. . . 4 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
127	124, 125, 126	mpanr12 718	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
128	7, 13, 127	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
129	123, 128	eqssd 3930	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ∀wral 3080 ∃wrex 3090 ⊆ wss 3900 ∩ cin 4092 ∪ cun 4152 ∅c0 4281 {cpr 4590 class class class wbr 5108 × cxp 5656 ran crn 5659 ↾ cres 5660 ∘ ccom 5662 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℝcr 11238 + caddc 11242 ℝ^*cxr 11381 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 / cdiv 12013 2c2 12437 ℝ⁺crp 13160 (,)cioo 13516 [,]cicc 13519 abscabs 15444 topGenctg 17658 ∞Metcxmet 21714 ballcbl 21716 MetOpencmopn 21719 Topctop 23266 intcnt 23390

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-er 8755 df-map 8887 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-sup 9471 df-inf 9472 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-q 13116 df-rp 13161 df-xneg 13281 df-xadd 13282 df-xmul 13283 df-ioo 13520 df-ico 13522 df-icc 13523 df-seq 14185 df-exp 14245 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-topgen 17664 df-psmet 21721 df-xmet 21722 df-met 21723 df-bl 21724 df-mopn 21725 df-top 23267 df-topon 23284 df-bases 23319 df-ntr 23393

This theorem is used by: dvmptresicc 26291 rolle 26365 cmvth 26366 mvth 26367 dvlip 26368 dvlipcn 26369 dvlip2 26370 c1liplem1 26371 dvgt0lem1 26377 dvle 26382 lhop1lem 26388 dvcnvrelem1 26392 dvcvx 26395 dvfsumabs 26398 ftc1cn 26418 ftc2 26419 ftc2ditglem 26420 itgparts 26422 itgsubstlem 26423 itgpowd 26425 efcvx 26833 pige3ALT 26905 logccv 27048 lgamgulmlem2 27414 ftc2re 35338 ftc1cnnc 38878 ftc2nc 38888 areacirc 38899 dvrelog2 43380 lhe4.4ex1a 45574 dvbdfbdioolem1 47211 itgsin0pilem1 47233 itgsinexplem1 47237 itgcoscmulx 47252 itgiccshift 47263 itgperiod 47264 itgsbtaddcnst 47265 dirkeritg 47385 fourierdlem39 47429 fourierdlem73 47462 etransclem46 47563

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