MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccntr 22903
Description: The interior of a closed interval in the standard topology on is the corresponding open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccntr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccntr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 10339 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10339 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 icc0 12425 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
54biimpar 469 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
65fveq2d 6379 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅))
7 retop 22844 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8 ntr0 21165 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) = ∅
10 0ss 4134 . . . . . 6 ∅ ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
119, 10eqsstri 3795 . . . . 5 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘∅) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
126, 11syl6eqss 3815 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
13 iccssre 12457 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14 uniretop 22845 . . . . . . . 8 ℝ = (topGen‘ran (,))
1514ntrss2 21141 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
167, 13, 15sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1716adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
181, 2anim12i 606 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
19 uncom 3919 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})
20 prunioo 12508 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2119, 20syl5eq 2811 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
22213expa 1147 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
2318, 22sylan 575 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
2417, 23sseqtr4d 3802 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
25 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2712, 24, 25, 26ltlecasei 10399 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
2814ntropn 21133 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
297, 13, 28sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
30 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3130rexmet 22873 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3330, 32tgioo 22878 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3433mopni2 22577 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
3531, 34mp3an1 1572 . . . . . . . 8 ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
3629, 35sylan 575 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
3726ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
38 rphalfcl 12056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
3938adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
4037, 39ltsubrpd 12102 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴)
4139rpred 12070 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
4237, 41resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
4342, 37ltnled 10438 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
4440, 43mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
45 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 rphalflt 12058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) < 𝑥)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
4941, 46, 37, 48ltsub2dd 10894 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)))
5037, 46readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ)
51 ltaddrp 12065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
5237, 51sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑥))
5342, 37, 50, 40, 52lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))
5437, 46resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
5554rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ*)
5650rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ*)
57 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
5855, 56, 57syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑥) < (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) < (𝐴 + 𝑥))))
5942, 49, 53, 58mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐴𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
6030bl2ioo 22874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
6137, 46, 60syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐴𝑥)(,)(𝐴 + 𝑥)))
6259, 61eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
63 ssel 3755 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
6462, 63syl5com 31 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
6516ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
6665sseld 3760 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
67 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
68 simp2 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ∧ (𝐴 − (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2)))
6967, 68syl6bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
7069ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
7164, 66, 703syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 − (𝑥 / 2))))
7244, 71mtod 189 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
7372nrexdv 3147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
7436, 73pm2.65da 851 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
7533mopni2 22577 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
7631, 75mp3an1 1572 . . . . . . . 8 ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
7729, 76sylan 575 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
7825ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7938adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8078, 79ltaddrpd 12103 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
8179rpred 12070 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
8278, 81readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
8378, 82ltnled 10438 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ↔ ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
8480, 83mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
8545adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
8678, 85resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
87 ltsubrp 12064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑥) < 𝐵)
8878, 87sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑥) < 𝐵)
8986, 78, 82, 88, 80lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)))
9047adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) < 𝑥)
9181, 85, 78, 90ltadd2dd 10450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))
9286rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ*)
9378, 85readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
9493rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
95 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
9692, 94, 95syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑥) < (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) < (𝐵 + 𝑥))))
9782, 89, 91, 96mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((𝐵𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
9830bl2ioo 22874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
9978, 85, 98syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) = ((𝐵𝑥)(,)(𝐵 + 𝑥)))
10097, 99eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥))
101 ssel 3755 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
102100, 101syl5com 31 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
10316ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104103sseld 3760 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
105 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)))
106 simp3 1168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ∧ (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵)
107105, 106syl6bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
108107ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝑥 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
109102, 104, 1083syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + (𝑥 / 2)) ≤ 𝐵))
11084, 109mtod 189 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ¬ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
111110nrexdv 3147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑥) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
11277, 111pm2.65da 851 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
113 eleq1 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
114113notbid 309 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
115 eleq1 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
116115notbid 309 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
117114, 116ralprg 4390 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))))
11874, 112, 117mpbir2and 704 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
119 disjr 4179 . . . . 5 ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
120118, 119sylibr 225 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
121 disjssun 4196 . . . 4 ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
122120, 121syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)))
12327, 122mpbid 223 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
124 iooretop 22848 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
125 ioossicc 12461 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
12614ssntr 21142 . . . 4 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
127124, 125, 126mpanr12 696 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
1287, 13, 127sylancr 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
129123, 128eqssd 3778 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {cpr 4336   class class class wbr 4809   × cxp 5275  ran crn 5278  cres 5279  ccom 5281  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188   + caddc 10192  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  abscabs 14259  topGenctg 16364  ∞Metcxmet 20004  ballcbl 20006  MetOpencmopn 20009  Topctop 20977  intcnt 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-ntr 21104
This theorem is referenced by:  rolle  24044  cmvth  24045  mvth  24046  dvlip  24047  dvlipcn  24048  dvlip2  24049  c1liplem1  24050  dvgt0lem1  24056  dvle  24061  lhop1lem  24067  dvcnvrelem1  24071  dvcvx  24074  dvfsumabs  24077  ftc1cn  24097  ftc2  24098  ftc2ditglem  24099  itgparts  24101  itgsubstlem  24102  efcvx  24494  pige3  24561  logccv  24700  lgamgulmlem2  25047  ftc2re  31127  ftc1cnnc  33907  ftc2nc  33917  areacirc  33928  itgpowd  38476  lhe4.4ex1a  39202  dvmptresicc  40772  dvbdfbdioolem1  40781  itgsin0pilem1  40803  itgsinexplem1  40807  itgcoscmulx  40822  itgiccshift  40833  itgperiod  40834  itgsbtaddcnst  40835  dirkeritg  40956  fourierdlem39  41000  fourierdlem73  41033  etransclem46  41134
  Copyright terms: Public domain W3C validator