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Theorem expnbnd 14182

Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12210	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1re 11201	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		lttr 11277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
4	2, 3	mp3an2 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
5	4	exp4b 432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 1 → (1 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐵))))
6	5	com34 91	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵))))
7	6	3imp1 1348	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 𝐵)
8		recn 11187	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		exp1 14020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑1) = 𝐵)
11	10	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
12	11	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐵↑1) = 𝐵)
13	7, 12	breqtrrd 5172	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < (𝐵↑1))
14		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
15	14	breq2d 5156	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
16	15	rspcev 3611	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
17	1, 13, 16	sylancr 588	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
18		peano2rem 11514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
20		peano2rem 11514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23		posdif 11694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
24	2, 23	mpan 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
25	24	biimpa 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
26	25	gt0ne0d 11765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
27	26	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
28	19, 22, 27	redivcld 12029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
30	18	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		subge0 11714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
32	2, 31	mpan2 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
33	32	biimparc 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 − 1))
34	30, 33	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)))
35	21, 25	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1)))
36		divge0 12070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)) ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
37	34, 35, 36	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
38		flge0nn0 13772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
39	29, 37, 38	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
40		nn0p1nn 12498	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	21	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
46	45	nn0red 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
47	43, 46	remulcld 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
48		peano2re 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
50		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51		reexpcl 14031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
52	50, 45, 51	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
53		flltp1 13752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
55	30	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
56	25	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (𝐵 − 1))
57		ltdivmul 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
58	55, 46, 43, 56, 57	syl112anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
59	54, 58	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
60		ltsubadd 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
61	2, 60	mp3an2 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
62	42, 47, 61	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
63	59, 62	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1))
64		0lt1 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
65		0re 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
66		lttr 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
67	65, 2, 66	mp3an12 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
68	64, 67	mpani 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
69		ltle 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
70	65, 69	mpan 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
71	68, 70	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
72	71	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
73	72	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
74		bernneq2 14180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
75	50, 45, 73, 74	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
76	42, 49, 52, 63, 75	ltletrd 11361	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
77		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
78	77	breq2d 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
79	78	rspcev 3611	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
80	41, 76, 79	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
81	80	exp43 438	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
82	81	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (1 ≤ 𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
83	82	3imp1 1348	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
84		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		1red 11202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
86	17, 83, 84, 85	ltlecasei 11309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∃wrex 3071 class class class wbr 5144 ‘cfv 6535 (class class class)co 7396 ℂcc 11095 ℝcr 11096 0cc0 11097 1c1 11098 + caddc 11100 · cmul 11102 < clt 11235 ≤ cle 11236 − cmin 11431 / cdiv 11858 ℕcn 12199 ℕ₀cn0 12459 ⌊cfl 13742 ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7712 ax-cnex 11153 ax-resscn 11154 ax-1cn 11155 ax-icn 11156 ax-addcl 11157 ax-addrcl 11158 ax-mulcl 11159 ax-mulrcl 11160 ax-mulcom 11161 ax-addass 11162 ax-mulass 11163 ax-distr 11164 ax-i2m1 11165 ax-1ne0 11166 ax-1rid 11167 ax-rnegex 11168 ax-rrecex 11169 ax-cnre 11170 ax-pre-lttri 11171 ax-pre-lttrn 11172 ax-pre-ltadd 11173 ax-pre-mulgt0 11174 ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3776 df-csb 3892 df-dif 3949 df-un 3951 df-in 3953 df-ss 3963 df-pss 3965 df-nul 4321 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4905 df-iun 4995 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6292 df-ord 6359 df-on 6360 df-lim 6361 df-suc 6362 df-iota 6487 df-fun 6537 df-fn 6538 df-f 6539 df-f1 6540 df-fo 6541 df-f1o 6542 df-fv 6543 df-riota 7352 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-om 7843 df-2nd 7963 df-frecs 8253 df-wrecs 8284 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-er 8691 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-sup 9424 df-inf 9425 df-pnf 11237 df-mnf 11238 df-xr 11239 df-ltxr 11240 df-le 11241 df-sub 11433 df-neg 11434 df-div 11859 df-nn 12200 df-n0 12460 df-z 12546 df-uz 12810 df-fl 13744 df-seq 13954 df-exp 14015

This theorem is referenced by: expnlbnd 14183 expmulnbnd 14185 bitsfzolem 16362 bitsfi 16365 pclem 16758 aaliou3lem8 25827 ostth2lem1 27088 ostth3 27108 knoppndvlem18 35310

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