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Theorem expnbnd 14288

Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12262	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1re 11226	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		lttr 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
4	2, 3	mp3an2 1478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
5	4	exp4b 436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 1 → (1 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐵))))
6	5	com34 92	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵))))
7	6	3imp1 1366	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 𝐵)
8		recn 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		exp1 14123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑1) = 𝐵)
11	10	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐵↑1) = 𝐵)
13	7, 12	breqtrrd 5144	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < (𝐵↑1))
14		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
15	14	breq2d 5126	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
16	15	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
17	1, 13, 16	sylancr 599	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
18		peano2rem 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
20		peano2rem 11543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23		posdif 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
24	2, 23	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
25	24	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
26	25	gt0ne0d 11796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
28	19, 22, 27	redivcld 12061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
30	18	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		subge0 11745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
32	2, 31	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
33	32	biimparc 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 − 1))
34	30, 33	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)))
35	21, 25	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1)))
36		divge0 12102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)) ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
37	34, 35, 36	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
38		flge0nn0 13873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
39	29, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
40		nn0p1nn 12561	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
41	39, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
42		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	21	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
45	39, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
46	45	nn0red 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
47	43, 46	remulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
48		peano2re 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
50		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51		reexpcl 14134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
52	50, 45, 51	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
53		flltp1 13853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
54	29, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
55	30	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
56	25	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (𝐵 − 1))
57		ltdivmul 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
58	55, 46, 43, 56, 57	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
59	54, 58	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
60		ltsubadd 11702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
61	2, 60	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
62	42, 47, 61	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
63	59, 62	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1))
64		0lt1 11754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
65		0re 11228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
66		lttr 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
67	65, 2, 66	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
68	64, 67	mpani 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
69		ltle 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
70	65, 69	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
71	68, 70	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
72	71	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
73	72	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
74		bernneq2 14286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
75	50, 45, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
76	42, 49, 52, 63, 75	ltletrd 11388	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
77		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
78	77	breq2d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
79	78	rspcev 3584	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
80	41, 76, 79	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
81	80	exp43 442	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
82	81	com4l 93	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (1 ≤ 𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
83	82	3imp1 1366	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
84		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		1red 11227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
86	17, 83, 84, 85	ltlecasei 11336	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2961 ∃wrex 3092 class class class wbr 5114 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ℂcc 11116 ℝcr 11117 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 < clt 11261 ≤ cle 11262 − cmin 11459 / cdiv 11889 ℕcn 12251 ℕ₀cn0 12522 ⌊cfl 13843 ↑cexp 14117

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8703 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-sup 9412 df-inf 9413 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-n0 12523 df-z 12610 df-uz 12881 df-fl 13845 df-seq 14058 df-exp 14118

This theorem is used by: expnlbnd 14289 expmulnbnd 14291 bitsfzolem 16517 bitsfi 16520 pclem 16923 aaliou3lem8 26545 ostth2lem1 27819 ostth3 27839 knoppndvlem18 37158

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