expnbnd - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > expnbnd		Structured version Visualization version GIF version

Theorem expnbnd 13947

Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11984	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		lttr 11051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
4	2, 3	mp3an2 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
5	4	exp4b 431	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 1 → (1 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐵))))
6	5	com34 91	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵))))
7	6	3imp1 1346	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 𝐵)
8		recn 10961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		exp1 13788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑1) = 𝐵)
11	10	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐵↑1) = 𝐵)
13	7, 12	breqtrrd 5102	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < (𝐵↑1))
14		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
15	14	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
16	15	rspcev 3561	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
17	1, 13, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
18		peano2rem 11288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
20		peano2rem 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23		posdif 11468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
24	2, 23	mpan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
25	24	biimpa 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
26	25	gt0ne0d 11539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
28	19, 22, 27	redivcld 11803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
30	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		subge0 11488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
32	2, 31	mpan2 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
33	32	biimparc 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 − 1))
34	30, 33	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)))
35	21, 25	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1)))
36		divge0 11844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)) ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
37	34, 35, 36	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
38		flge0nn0 13540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
39	29, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
40		nn0p1nn 12272	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
42		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
46	45	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
47	43, 46	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
48		peano2re 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
50		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51		reexpcl 13799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
52	50, 45, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
53		flltp1 13520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
55	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
56	25	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (𝐵 − 1))
57		ltdivmul 11850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
58	55, 46, 43, 56, 57	syl112anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
59	54, 58	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
60		ltsubadd 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
61	2, 60	mp3an2 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
62	42, 47, 61	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
63	59, 62	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1))
64		0lt1 11497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
65		0re 10977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
66		lttr 11051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
67	65, 2, 66	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
68	64, 67	mpani 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
69		ltle 11063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
70	65, 69	mpan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
71	68, 70	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
72	71	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
73	72	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
74		bernneq2 13945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
75	50, 45, 73, 74	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
76	42, 49, 52, 63, 75	ltletrd 11135	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
77		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
78	77	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
79	78	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
80	41, 76, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
81	80	exp43 437	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
82	81	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (1 ≤ 𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
83	82	3imp1 1346	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
84		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		1red 10976	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
86	17, 83, 84, 85	ltlecasei 11083	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3065 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 ℕ₀cn0 12233 ⌊cfl 13510 ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-sup 9201 df-inf 9202 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-fl 13512 df-seq 13722 df-exp 13783

This theorem is referenced by: expnlbnd 13948 expmulnbnd 13950 bitsfzolem 16141 bitsfi 16144 pclem 16539 aaliou3lem8 25505 ostth2lem1 26766 ostth3 26786 knoppndvlem18 34709

W3C validator