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Theorem expnbnd 14135
Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 12164 . . 3 1 ∈ ℕ
2 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 lttr 11231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
42, 3mp3an2 1449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
54exp4b 431 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 1 → (1 < 𝐵𝐴 < 𝐵))))
65com34 91 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵))))
763imp1 1347 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 𝐵)
8 recn 11141 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9 exp1 13973 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑1) = 𝐵)
11103ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐵↑1) = 𝐵)
137, 12breqtrrd 5133 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < (𝐵↑1))
14 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐵𝑘) = (𝐵↑1))
1514breq2d 5117 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
1615rspcev 3581 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
171, 13, 16sylancr 587 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
18 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
20 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23 posdif 11648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
242, 23mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
2524biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
2625gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
2726adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
2819, 22, 27redivcld 11983 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
2928adantll 712 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
3018adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31 subge0 11668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
322, 31mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
3332biimparc 480 . . . . . . . . . 10 ((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 − 1))
3430, 33jca 512 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)))
3521, 25jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1)))
36 divge0 12024 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)) ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
3734, 35, 36syl2an 596 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
38 flge0nn0 13725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0)
3929, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0)
40 nn0p1nn 12452 . . . . . . 7 ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
42 simplr 767 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4321adantl 482 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
4743, 46remulcld 11185 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
48 peano2re 11328 . . . . . . . 8 (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
50 simprl 769 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51 reexpcl 13984 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
5250, 45, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
53 flltp1 13705 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
5429, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
5530adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5625adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (𝐵 − 1))
57 ltdivmul 12030 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
5954, 58mpbid 231 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
60 ltsubadd 11625 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
612, 60mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
6242, 47, 61syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1))
64 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
65 0re 11157 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
66 lttr 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
6765, 2, 66mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
6864, 67mpani 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
69 ltle 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
7065, 69mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
7168, 70syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
7271imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
7372adantl 482 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
74 bernneq2 14133 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
7550, 45, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 11315 . . . . . 6 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
77 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
7877breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐴 < (𝐵𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
7978rspcev 3581 . . . . . 6 ((((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
8041, 76, 79syl2anc 584 . . . . 5 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
8180exp43 437 . . . 4 (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘)))))
8281com4l 92 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (1 ≤ 𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘)))))
83823imp1 1347 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
84 simp1 1136 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
85 1red 11156 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
8617, 83, 84, 85ltlecasei 11263 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cfl 13695  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  expnlbnd  14136  expmulnbnd  14138  bitsfzolem  16314  bitsfi  16317  pclem  16710  aaliou3lem8  25705  ostth2lem1  26966  ostth3  26986  knoppndvlem18  34992
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