MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnbnd 14200
Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 12227 . . 3 1 โˆˆ โ„•
2 1re 11218 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
3 lttr 11294 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
42, 3mp3an2 1445 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
54exp4b 430 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 1 โ†’ (1 < ๐ต โ†’ ๐ด < ๐ต))))
65com34 91 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด < 1 โ†’ ๐ด < ๐ต))))
763imp1 1344 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < ๐ต)
8 recn 11202 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 exp1 14038 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
11103ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
1211adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
137, 12breqtrrd 5169 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < (๐ตโ†‘1))
14 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘1))
1514breq2d 5153 . . . 4 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด < (๐ตโ†‘1)))
1615rspcev 3606 . . 3 ((1 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (๐ตโ†‘1)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
171, 13, 16sylancr 586 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
18 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
20 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
23 posdif 11711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
242, 23mpan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
2524biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
2625gt0ne0d 11782 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โ‰  0)
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โ‰  0)
2819, 22, 27redivcld 12046 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2928adantll 711 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3018adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
31 subge0 11731 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
322, 31mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
3332biimparc 479 . . . . . . . . . 10 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1))
3430, 33jca 511 . . . . . . . . 9 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1)))
3521, 25jca 511 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
36 divge0 12087 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1)) โˆง ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)))
3734, 35, 36syl2an 595 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)))
38 flge0nn0 13791 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
3929, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
40 nn0p1nn 12515 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•)
42 simplr 766 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4321adantl 481 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
44 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
4743, 46remulcld 11248 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
48 peano2re 11391 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
50 simprl 768 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51 reexpcl 14049 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
5250, 45, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
53 flltp1 13771 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))
5429, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))
5530adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5625adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
57 ltdivmul 12093 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
5954, 58mpbid 231 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
60 ltsubadd 11688 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
612, 60mp3an2 1445 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
6242, 47, 61syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1))
64 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
65 0re 11220 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
66 lttr 11294 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
6765, 2, 66mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
6864, 67mpani 693 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ 0 < ๐ต))
69 ltle 11306 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7065, 69mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7168, 70syld 47 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7271imp 406 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7372adantl 481 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
74 bernneq2 14198 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7550, 45, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 11378 . . . . . 6 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
77 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7877breq2d 5153 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†’ (๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
7978rspcev 3606 . . . . . 6 ((((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
8041, 76, 79syl2anc 583 . . . . 5 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
8180exp43 436 . . . 4 (1 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
8281com4l 92 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (1 โ‰ค ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
83823imp1 1344 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
84 simp1 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
85 1red 11219 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8617, 83, 84, 85ltlecasei 11326 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โŒŠcfl 13761  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  expnlbnd  14201  expmulnbnd  14203  bitsfzolem  16382  bitsfi  16385  pclem  16780  aaliou3lem8  26235  ostth2lem1  27506  ostth3  27526  knoppndvlem18  35913
  Copyright terms: Public domain W3C validator