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Theorem expnbnd 14204

Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		lttr 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
4	2, 3	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
5	4	exp4b 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 1 → (1 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐵))))
6	5	com34 91	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵))))
7	6	3imp1 1348	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 𝐵)
8		recn 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		exp1 14039	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑1) = 𝐵)
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐵↑1) = 𝐵)
13	7, 12	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < (𝐵↑1))
14		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
15	14	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
16	15	rspcev 3591	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
17	1, 13, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
18		peano2rem 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
20		peano2rem 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23		posdif 11678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
24	2, 23	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
25	24	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
26	25	gt0ne0d 11749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
28	19, 22, 27	redivcld 12017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
29	28	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
30	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		subge0 11698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
32	2, 31	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
33	32	biimparc 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 − 1))
34	30, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)))
35	21, 25	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1)))
36		divge0 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)) ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
37	34, 35, 36	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
38		flge0nn0 13789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
39	29, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀)
40		nn0p1nn 12488	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
46	45	nn0red 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
47	43, 46	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
48		peano2re 11354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
50		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51		reexpcl 14050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
52	50, 45, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
53		flltp1 13769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
55	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
56	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (𝐵 − 1))
57		ltdivmul 12065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
58	55, 46, 43, 56, 57	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
59	54, 58	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
60		ltsubadd 11655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
61	2, 60	mp3an2 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
62	42, 47, 61	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
63	59, 62	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1))
64		0lt1 11707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
65		0re 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
66		lttr 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
67	65, 2, 66	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
68	64, 67	mpani 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
69		ltle 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
70	65, 69	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
71	68, 70	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
72	71	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
73	72	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
74		bernneq2 14202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
75	50, 45, 73, 74	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
76	42, 49, 52, 63, 75	ltletrd 11341	. . . . . 6 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
77		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
78	77	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
79	78	rspcev 3591	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
80	41, 76, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
81	80	exp43 436	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
82	81	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (1 ≤ 𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))))
83	82	3imp1 1348	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
84		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		1red 11182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
86	17, 83, 84, 85	ltlecasei 11289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∃wrex 3054 class class class wbr 5110 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 / cdiv 11842 ℕcn 12193 ℕ₀cn0 12449 ⌊cfl 13759 ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-sup 9400 df-inf 9401 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-n0 12450 df-z 12537 df-uz 12801 df-fl 13761 df-seq 13974 df-exp 14034

This theorem is referenced by: expnlbnd 14205 expmulnbnd 14207 bitsfzolem 16411 bitsfi 16414 pclem 16816 aaliou3lem8 26260 ostth2lem1 27536 ostth3 27556 knoppndvlem18 36524

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