MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnbnd 14234
Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 12261 . . 3 1 โˆˆ โ„•
2 1re 11252 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
3 lttr 11328 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
42, 3mp3an2 1445 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
54exp4b 429 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 1 โ†’ (1 < ๐ต โ†’ ๐ด < ๐ต))))
65com34 91 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด < 1 โ†’ ๐ด < ๐ต))))
763imp1 1344 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < ๐ต)
8 recn 11236 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 exp1 14072 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
11103ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
1211adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
137, 12breqtrrd 5180 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < (๐ตโ†‘1))
14 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘1))
1514breq2d 5164 . . . 4 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด < (๐ตโ†‘1)))
1615rspcev 3611 . . 3 ((1 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (๐ตโ†‘1)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
171, 13, 16sylancr 585 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
18 peano2rem 11565 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1918adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
20 peano2rem 11565 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2221adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
23 posdif 11745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
242, 23mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
2524biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
2625gt0ne0d 11816 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โ‰  0)
2726adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โ‰  0)
2819, 22, 27redivcld 12080 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2928adantll 712 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3018adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
31 subge0 11765 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
322, 31mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
3332biimparc 478 . . . . . . . . . 10 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1))
3430, 33jca 510 . . . . . . . . 9 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1)))
3521, 25jca 510 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
36 divge0 12121 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1)) โˆง ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)))
3734, 35, 36syl2an 594 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)))
38 flge0nn0 13825 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
3929, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
40 nn0p1nn 12549 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•)
42 simplr 767 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4321adantl 480 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
44 peano2nn0 12550 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12571 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
4743, 46remulcld 11282 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
48 peano2re 11425 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
50 simprl 769 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51 reexpcl 14083 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
5250, 45, 51syl2anc 582 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
53 flltp1 13805 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))
5429, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))
5530adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5625adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
57 ltdivmul 12127 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
5954, 58mpbid 231 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
60 ltsubadd 11722 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
612, 60mp3an2 1445 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
6242, 47, 61syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1))
64 0lt1 11774 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
65 0re 11254 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
66 lttr 11328 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
6765, 2, 66mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
6864, 67mpani 694 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ 0 < ๐ต))
69 ltle 11340 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7065, 69mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7168, 70syld 47 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7271imp 405 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7372adantl 480 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
74 bernneq2 14232 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7550, 45, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 11412 . . . . . 6 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
77 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7877breq2d 5164 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†’ (๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
7978rspcev 3611 . . . . . 6 ((((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
8041, 76, 79syl2anc 582 . . . . 5 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
8180exp43 435 . . . 4 (1 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
8281com4l 92 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (1 โ‰ค ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
83823imp1 1344 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
84 simp1 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
85 1red 11253 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8617, 83, 84, 85ltlecasei 11360 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โŒŠcfl 13795  โ†‘cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by:  expnlbnd  14235  expmulnbnd  14237  bitsfzolem  16416  bitsfi  16419  pclem  16814  aaliou3lem8  26300  ostth2lem1  27571  ostth3  27591  knoppndvlem18  36037
  Copyright terms: Public domain W3C validator