MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnbnd 14202
Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 12230 . . 3 1 โˆˆ โ„•
2 1re 11221 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
3 lttr 11297 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
42, 3mp3an2 1448 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
54exp4b 430 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 1 โ†’ (1 < ๐ต โ†’ ๐ด < ๐ต))))
65com34 91 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (๐ด < 1 โ†’ ๐ด < ๐ต))))
763imp1 1346 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < ๐ต)
8 recn 11206 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 exp1 14040 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
11103ad2ant2 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
1211adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
137, 12breqtrrd 5176 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < (๐ตโ†‘1))
14 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘1))
1514breq2d 5160 . . . 4 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด < (๐ตโ†‘1)))
1615rspcev 3612 . . 3 ((1 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (๐ตโ†‘1)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
171, 13, 16sylancr 586 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง ๐ด < 1) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
18 peano2rem 11534 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
20 peano2rem 11534 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
23 posdif 11714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
242, 23mpan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
2524biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
2625gt0ne0d 11785 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โ‰  0)
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โ‰  0)
2819, 22, 27redivcld 12049 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2928adantll 711 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3018adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
31 subge0 11734 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
322, 31mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
3332biimparc 479 . . . . . . . . . 10 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1))
3430, 33jca 511 . . . . . . . . 9 ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1)))
3521, 25jca 511 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
36 divge0 12090 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ 1)) โˆง ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)))
3734, 35, 36syl2an 595 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)))
38 flge0nn0 13792 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
3929, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
40 nn0p1nn 12518 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•)
42 simplr 766 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4321adantl 481 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
44 peano2nn0 12519 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12540 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
4743, 46remulcld 11251 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
48 peano2re 11394 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
50 simprl 768 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51 reexpcl 14051 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
5250, 45, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„)
53 flltp1 13772 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))
5429, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))
5530adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5625adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
57 ltdivmul 12096 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1)) < ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
5954, 58mpbid 231 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
60 ltsubadd 11691 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
612, 60mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
6242, 47, 61syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) โ†” ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1))
64 0lt1 11743 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
65 0re 11223 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
66 lttr 11297 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
6765, 2, 66mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
6864, 67mpani 693 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ 0 < ๐ต))
69 ltle 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7065, 69mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7168, 70syld 47 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7271imp 406 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7372adantl 481 . . . . . . . 8 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
74 bernneq2 14200 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7550, 45, 73, 74syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 11381 . . . . . 6 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
77 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1)))
7877breq2d 5160 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โ†’ (๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))))
7978rspcev 3612 . . . . . 6 ((((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (๐ตโ†‘((โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (๐ต โˆ’ 1))) + 1))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
8041, 76, 79syl2anc 583 . . . . 5 (((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
8180exp43 436 . . . 4 (1 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
8281com4l 92 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ต โ†’ (1 โ‰ค ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
83823imp1 1346 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
84 simp1 1135 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
85 1red 11222 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8617, 83, 84, 85ltlecasei 11329 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121   < clt 11255   โ‰ค cle 11256   โˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  โ„•cn 12219  โ„•0cn0 12479  โŒŠcfl 13762  โ†‘cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  expnlbnd  14203  expmulnbnd  14205  bitsfzolem  16382  bitsfi  16385  pclem  16778  aaliou3lem8  26197  ostth2lem1  27465  ostth3  27485  knoppndvlem18  35871
  Copyright terms: Public domain W3C validator