MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0a 24306
Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1ge0a.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (𝜑 → 0 ≤ (∫1𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 24272 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 4108 . . . 4 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
5 ssfi 8732 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 588 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 24271 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
98frnd 6516 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109ssdifssd 4119 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
1110sselda 3967 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 24275 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
131, 12sylan 582 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 10665 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
15 0le0 11732 . . . . 5 0 ≤ 0
16 i1fima 24273 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
18 mblvol 24125 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
218ffnd 6510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
22 fniniseg 6825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
25 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 eldif 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
27 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
2827ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥)))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥)))
30 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
3130breq2d 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑘))
32 0red 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 0 ∈ ℝ)
3311adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3432, 33lenltd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 0))
3531, 34bitrd 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ 𝑘 < 0))
3629, 35sylibd 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
3726, 36syl5bir 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
3825, 37mpand 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥𝐴 → ¬ 𝑘 < 0))
3938con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 < 0 → 𝑥𝐴))
4039impancom 454 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘) → 𝑥𝐴))
4124, 40sylbid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥𝐴))
4241ssrdv 3973 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
43 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
47 ovolssnul 24082 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
4920, 48eqtrd 2856 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5049oveq2d 7166 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
5111recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
5251adantr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5352mul01d 10833 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · 0) = 0)
5450, 53eqtrd 2856 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
5515, 54breqtrrid 5097 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
5611adantr 483 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
5713adantr 483 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
58 simpr 487 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘)
5917ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
60 mblss 24126 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
62 ovolge0 24076 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6419ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6563, 64breqtrrd 5087 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑘})))
6656, 57, 58, 65mulge0d 11211 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
67 0red 10638 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ∈ ℝ)
6855, 66, 11, 67ltlecasei 10742 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
696, 14, 68fsumge0 15144 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
70 itg1val 24278 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
711, 70syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
7269, 71breqtrrd 5087 1 (𝜑 → 0 ≤ (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cdif 3933  wss 3936  {csn 4561   class class class wbr 5059  ccnv 5549  dom cdm 5550  ran crn 5551  cima 5553   Fn wfn 6345  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  Σcsu 15036  vol*covol 24057  volcvol 24058  1citg1 24210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-xmet 20532  df-met 20533  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-mbf 24214  df-itg1 24215
This theorem is referenced by:  itg1lea  24307
  Copyright terms: Public domain W3C validator