MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0a 25092
Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg1ge0a.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 25057 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 4096 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
5 ssfi 9124 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 25056 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
98frnd 6681 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
109ssdifssd 4107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
1110sselda 3949 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 25060 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
131, 12sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11192 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ ℝ)
15 0le0 12261 . . . . 5 0 ≀ 0
16 i1fima 25058 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
18 mblvol 24910 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
218ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
22 fniniseg 7015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
25 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
27 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
2827ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
30 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)
3130breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ π‘˜))
32 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3311adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3432, 33lenltd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3531, 34bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3629, 35sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3726, 36biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3825, 37mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3938con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘˜ < 0 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4039impancom 453 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4124, 40sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4241ssrdv 3955 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴)
43 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
45 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
47 ovolssnul 24867 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4920, 48eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
5049oveq2d 7378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· 0))
5111recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5251adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5352mul01d 11361 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
5450, 53eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = 0)
5515, 54breqtrrid 5148 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
5611adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5713adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
58 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ π‘˜)
5917ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
60 mblss 24911 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
62 ovolge0 24861 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6419ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6563, 64breqtrrd 5138 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6656, 57, 58, 65mulge0d 11739 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
67 0red 11165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ∈ ℝ)
6855, 66, 11, 67ltlecasei 11270 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
696, 14, 68fsumge0 15687 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
70 itg1val 25063 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
711, 70syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
7269, 71breqtrrd 5138 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197  Ξ£csu 15577  vol*covol 24842  volcvol 24843  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg1lea  25093
  Copyright terms: Public domain W3C validator