MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1ge0a 25596
Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg1ge0a.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 25561 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 4126 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
5 ssfi 9175 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 25560 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
98frnd 6719 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
109ssdifssd 4137 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
1110sselda 3977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 25564 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
131, 12sylan 579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11248 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ ℝ)
15 0le0 12317 . . . . 5 0 ≀ 0
16 i1fima 25562 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
18 mblvol 25414 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
218ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
22 fniniseg 7055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
25 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 eldif 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
27 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
2827ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
30 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)
3130breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ π‘˜))
32 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3432, 33lenltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3531, 34bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3629, 35sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3726, 36biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3825, 37mpand 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3938con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘˜ < 0 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4039impancom 451 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4124, 40sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4241ssrdv 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴)
43 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
45 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
47 ovolssnul 25371 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4920, 48eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
5049oveq2d 7421 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· 0))
5111recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5251adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5352mul01d 11417 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
5450, 53eqtrd 2766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = 0)
5515, 54breqtrrid 5179 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
5611adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5713adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
58 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ π‘˜)
5917ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
60 mblss 25415 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
62 ovolge0 25365 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6419ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6563, 64breqtrrd 5169 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6656, 57, 58, 65mulge0d 11795 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
67 0red 11221 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ∈ ℝ)
6855, 66, 11, 67ltlecasei 11326 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
696, 14, 68fsumge0 15747 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
70 itg1val 25567 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
711, 70syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
7269, 71breqtrrd 5169 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  Ξ£csu 15638  vol*covol 25346  volcvol 25347  βˆ«1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504
This theorem is referenced by:  itg1lea  25597
  Copyright terms: Public domain W3C validator