MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1ge0a 25657
Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg1ge0a.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 25622 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 4122 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
5 ssfi 9194 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 25621 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
98frnd 6723 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
109ssdifssd 4133 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
1110sselda 3972 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 25625 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
131, 12sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11272 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ ℝ)
15 0le0 12341 . . . . 5 0 ≀ 0
16 i1fima 25623 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
18 mblvol 25475 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
218ffnd 6716 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
22 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
25 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 eldif 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
27 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
2827ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
30 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)
3130breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ π‘˜))
32 0red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3311adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3432, 33lenltd 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3531, 34bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3629, 35sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3726, 36biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3825, 37mpand 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3938con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘˜ < 0 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4039impancom 450 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4124, 40sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4241ssrdv 3978 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴)
43 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
45 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
47 ovolssnul 25432 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4920, 48eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
5049oveq2d 7430 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· 0))
5111recnd 11270 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5251adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5352mul01d 11441 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
5450, 53eqtrd 2765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = 0)
5515, 54breqtrrid 5179 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
5611adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5713adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
58 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ π‘˜)
5917ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
60 mblss 25476 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
62 ovolge0 25426 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6419ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6563, 64breqtrrd 5169 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6656, 57, 58, 65mulge0d 11819 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
67 0red 11245 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ∈ ℝ)
6855, 66, 11, 67ltlecasei 11350 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
696, 14, 68fsumge0 15771 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
70 itg1val 25628 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
711, 70syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
7269, 71breqtrrd 5169 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4622   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5669  dom cdm 5670  ran crn 5671   β€œ cima 5673   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Fincfn 8960  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277  Ξ£csu 15662  vol*covol 25407  volcvol 25408  βˆ«1citg1 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-xmet 21274  df-met 21275  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565
This theorem is referenced by:  itg1lea  25658
  Copyright terms: Public domain W3C validator