MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1ge0a 25220
Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg1ge0a.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 25185 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 4130 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
5 ssfi 9169 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 25184 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
98frnd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
109ssdifssd 4141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
1110sselda 3981 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 25188 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
131, 12sylan 580 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11240 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ ℝ)
15 0le0 12309 . . . . 5 0 ≀ 0
16 i1fima 25186 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
18 mblvol 25038 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
218ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
22 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
25 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
27 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
2827ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
30 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)
3130breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ π‘˜))
32 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3432, 33lenltd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3531, 34bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘˜ < 0))
3629, 35sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3726, 36biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3825, 37mpand 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘˜ < 0))
3938con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘˜ < 0 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4039impancom 452 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4124, 40sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4241ssrdv 3987 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴)
43 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
45 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
47 ovolssnul 24995 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
4920, 48eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
5049oveq2d 7421 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· 0))
5111recnd 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5251adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5352mul01d 11409 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
5450, 53eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = 0)
5515, 54breqtrrid 5185 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘˜ < 0) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
5611adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5713adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
58 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ π‘˜)
5917ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
60 mblss 25039 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
62 ovolge0 24989 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6419ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6563, 64breqtrrd 5175 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
6656, 57, 58, 65mulge0d 11787 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 0 ≀ π‘˜) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
67 0red 11213 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ∈ ℝ)
6855, 66, 11, 67ltlecasei 11318 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
696, 14, 68fsumge0 15737 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
70 itg1val 25191 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
711, 70syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
7269, 71breqtrrd 5175 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245  Ξ£csu 15628  vol*covol 24970  volcvol 24971  βˆ«1citg1 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128
This theorem is referenced by:  itg1lea  25221
  Copyright terms: Public domain W3C validator