Theorem itg1ge0a 25766

Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1ge0a.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0a	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1ge0a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		i1frn 25731	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
4		difss 4159	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
5		ssfi 9240	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
7		i1ff 25730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	8	frnd 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10	9	ssdifssd 4170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 4008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		i1fima2sn 25734	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
13	1, 12	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11320	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
15		0le0 12394	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
16		i1fima 25732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
18		mblvol 25584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
20	19	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
21	8	ffnd 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
22		fniniseg 7093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
25		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		eldif 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
27		itg1ge0a.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
28	27	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
30		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
31	30	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑘))
32		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 0 ∈ ℝ)
33	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
34	32, 33	lenltd 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 0))
35	31, 34	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ 𝑘 < 0))
36	29, 35	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
37	26, 36	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
38	25, 37	mpand 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 < 0))
39	38	con4d 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 < 0 → 𝑥 ∈ 𝐴))
40	39	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	24, 40	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	41	ssrdv 4014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
43		itg10a.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45		itg10a.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
47		ovolssnul 25541	. . . . . . . . 9 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
48	42, 44, 46, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
49	20, 48	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
50	49	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
51	11	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	52	mul01d 11489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · 0) = 0)
54	50, 53	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
55	15, 54	breqtrrid 5204	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
56	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
57	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
58		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘)
59	17	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
60		mblss 25585	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
62		ovolge0 25535	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
64	19	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
65	63, 64	breqtrrd 5194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
66	56, 57, 58, 65	mulge0d 11867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
67		0red 11293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ∈ ℝ)
68	55, 66, 11, 67	ltlecasei 11398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
69	6, 14, 68	fsumge0 15843	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
70		itg1val 25737	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
71	1, 70	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
72	69, 71	breqtrrd 5194	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  Σcsu 15734  vol*covol 25516  volcvol 25517  ∫₁citg1 25669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674

This theorem is referenced by:  itg1lea  25767