Theorem itg1ge0a 26076

Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1ge0a.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0a	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1ge0a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		i1frn 26042	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
4		difss 4075	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
5		ssfi 9224	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
7		i1ff 26041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8	1, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	8	frnd 6746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10	9	ssdifssd 4086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		i1fima2sn 26045	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
13	1, 12	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
15		0le0 12482	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
16		i1fima 26043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
18		mblvol 25895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
21	8	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
22		fniniseg 7089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
25		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		eldif 4052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
27		itg1ge0a.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
28	27	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
30		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
31	30	breq2d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑘))
32		0red 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 0 ∈ ℝ)
33	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
34	32, 33	lenltd 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 0))
35	31, 34	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ 𝑘 < 0))
36	29, 35	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
37	26, 36	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
38	25, 37	mpand 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 < 0))
39	38	con4d 116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 < 0 → 𝑥 ∈ 𝐴))
40	39	impancom 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	24, 40	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	41	ssrdv 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
43		itg10a.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45		itg10a.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
47		ovolssnul 25852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
48	42, 44, 46, 47	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
49	20, 48	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
50	49	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
51	11	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	52	mul01d 11546	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · 0) = 0)
54	50, 53	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
55	15, 54	breqtrrid 5147	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
56	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
57	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
58		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘)
59	17	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
60		mblss 25896	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
61	59, 60	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
62		ovolge0 25846	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
63	61, 62	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
64	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
65	63, 64	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
66	56, 57, 58, 65	mulge0d 11931	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
67		0red 11348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ∈ ℝ)
68	55, 66, 11, 67	ltlecasei 11455	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
69	6, 14, 68	fsumge0 16003	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
70		itg1val 26048	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
71	1, 70	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
72	69, 71	breqtrrd 5137	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656  ran crn 5657   “ cima 5659   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Fincfn 9009  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237   · cmul 11242   < clt 11380   ≤ cle 11381  Σcsu 15894  vol*covol 25827  volcvol 25828  ∫₁citg1 25980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xadd 13280  df-ioo 13518  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895  df-xmet 21713  df-met 21714  df-ovol 25829  df-vol 25830  df-mbf 25984  df-itg1 25985

This theorem is used by:  itg1lea  26077