MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem5 26226
Description: Lemma for aaliou 26228. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐴,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐹,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem5
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 aalioulem2.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
3 aalioulem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 aalioulem2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 aalioulem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
61, 2, 3, 4, 5aalioulem4 26225 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
7 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
8 1rp 12984 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
9 ifcl 4568 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+)
107, 8, 9sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+)
12 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
1312nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘ž ∈ ℝ+)
143ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1514nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1613, 15rpexpcld 14215 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ+)
1711, 16rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
1817rpred 13022 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
19 1re 11218 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ∈ ℝ)
214ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
22 znq 12940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
23 qre 12941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 / π‘ž) ∈ β„š β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2621, 25resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
2726recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
2827abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
2918, 20, 283jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
3116rprecred 13033 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
3211rpred 13022 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ)
33 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
3433rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
35 min2 13175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ 1)
3634, 19, 35sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ 1)
3732, 20, 16, 36lediv1dd 13080 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (1 / (π‘žβ†‘π‘)))
3814nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3912, 38nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ β„•)
40 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„•
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ∈ β„•)
4239, 41nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· 1) ∈ β„•)
4342nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· 1))
4420, 20, 16ledivmuld 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1 ↔ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· 1)))
4543, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1)
4618, 31, 20, 37, 45letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1)
48 ltle 11306 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ (1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
4919, 28, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
5049imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
5147, 50jca 511 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
52 letr 11312 . . . . . . . . 9 (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
5330, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
5453olcd 871 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
55542a1d 26 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
56 pm3.21 471 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)))
5756adantl 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)))
5833, 16rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
5958rpred 13022 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
6018, 59, 283jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
62 min1 13174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ π‘Ž)
6334, 19, 62sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ π‘Ž)
6432, 34, 16, 63lediv1dd 13080 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)))
6564anim1i 614 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
66 letr 11312 . . . . . . . . . . 11 (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
6761, 65, 66sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
6867ex 412 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
6968adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
7069orim2d 963 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
7157, 70imim12d 81 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
7255, 71, 20, 28ltlecasei 11326 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
7372ralimdvva 3198 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
74 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) = (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)))
7574breq1d 5151 . . . . . . . 8 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ ((π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ↔ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
7675orbi2d 912 . . . . . . 7 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
7776imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
78772ralbidv 3212 . . . . 5 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
7978rspcev 3606 . . . 4 ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
8010, 73, 79syl6an 681 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
8180rexlimdva 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
826, 81mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  ifcif 4523   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  abscabs 15187  Polycply 26073  degcdgr 26076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-dvn 25752  df-cpn 25753  df-ply 26077  df-coe 26079  df-dgr 26080
This theorem is referenced by:  aalioulem6  26227
  Copyright terms: Public domain W3C validator