MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem5 26287
Description: Lemma for aaliou 26289. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐴,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐹,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem5
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 aalioulem2.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
3 aalioulem2.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 aalioulem2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 aalioulem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
61, 2, 3, 4, 5aalioulem4 26286 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
7 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
8 1rp 13008 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
9 ifcl 4569 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+)
107, 8, 9sylancl 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+)
12 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
1312nnrpd 13044 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘ž ∈ ℝ+)
143ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1514nnzd 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1613, 15rpexpcld 14239 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ+)
1711, 16rpdivcld 13063 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
1817rpred 13046 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
19 1re 11242 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ∈ ℝ)
214ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
22 znq 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
23 qre 12965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 / π‘ž) ∈ β„š β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
2621, 25resubcld 11670 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
2726recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
2827abscld 15413 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
2918, 20, 283jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
3029adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
3116rprecred 13057 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
3211rpred 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ)
33 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
3433rpred 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
35 min2 13199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ 1)
3634, 19, 35sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ 1)
3732, 20, 16, 36lediv1dd 13104 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (1 / (π‘žβ†‘π‘)))
3814nnnn0d 12560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3912, 38nnexpcld 14237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ β„•)
40 1nn 12251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„•
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ∈ β„•)
4239, 41nnmulcld 12293 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘žβ†‘π‘) Β· 1) ∈ β„•)
4342nnge1d 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· 1))
4420, 20, 16ledivmuld 13099 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1 ↔ 1 ≀ ((π‘žβ†‘π‘) Β· 1)))
4543, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (1 / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1)
4618, 31, 20, 37, 45letrd 11399 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1)
4746adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1)
48 ltle 11330 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ (1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
4919, 28, 48sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
5049imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
5147, 50jca 510 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
52 letr 11336 . . . . . . . . 9 (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ 1 ∧ 1 ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
5330, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
5453olcd 872 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
55542a1d 26 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ 1 < (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
56 pm3.21 470 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1 β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)))
5756adantl 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1)))
5833, 16rpdivcld 13063 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
5958rpred 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
6018, 59, 283jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ))
62 min1 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ π‘Ž)
6334, 19, 62sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ≀ π‘Ž)
6432, 34, 16, 63lediv1dd 13104 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)))
6564anim1i 613 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
66 letr 11336 . . . . . . . . . . 11 (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ) β†’ (((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
6761, 65, 66sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
6867ex 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
6968adantr 479 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
7069orim2d 964 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
7157, 70imim12d 81 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
7255, 71, 20, 28ltlecasei 11350 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
7372ralimdvva 3195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
74 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) = (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)))
7574breq1d 5153 . . . . . . . 8 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ ((π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ↔ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
7675orbi2d 913 . . . . . . 7 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
7776imbi2d 339 . . . . . 6 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
78772ralbidv 3209 . . . . 5 (π‘₯ = if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
7978rspcev 3602 . . . 4 ((if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (if(π‘Ž ≀ 1, π‘Ž, 1) / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
8010, 73, 79syl6an 682 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
8180rexlimdva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ≀ 1) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘Ž / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
826, 81mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) β‰  0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  ifcif 4524   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„€cz 12586  β„šcq 12960  β„+crp 13004  β†‘cexp 14056  abscabs 15211  Polycply 26134  degcdgr 26137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-0p 25615  df-limc 25811  df-dv 25812  df-dvn 25813  df-cpn 25814  df-ply 26138  df-coe 26140  df-dgr 26141
This theorem is referenced by:  aalioulem6  26288
  Copyright terms: Public domain W3C validator