Theorem aalioulem5 26316

Description: Lemma for aaliou 26318. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem5

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem4 26315	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
8		1rp 12940	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9		ifcl 4513	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
10	7, 8, 9	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
12		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
14	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	13, 15	rpexpcld 14203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
17	11, 16	rpdivcld 12997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
19		1re 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
21	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		znq 12896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
23		qre 12897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
26	21, 25	resubcld 11572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
29	18, 20, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
31	16	rprecred 12991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
32	11	rpred 12980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ)
33		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
34	33	rpred 12980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35		min2 13136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 1)
36	34, 19, 35	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 1)
37	32, 20, 16, 36	lediv1dd 13038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (1 / (𝑞↑𝑁)))
38	14	nnnn0d 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	12, 38	nnexpcld 14201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℕ)
40		1nn 12179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ)
42	39, 41	nnmulcld 12224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) · 1) ∈ ℕ)
43	42	nnge1d 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · 1))
44	20, 20, 16	ledivmuld 13033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · 1)))
45	43, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
46	18, 31, 20, 37, 45	letrd 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
48		ltle 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
49	19, 28, 48	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
51	47, 50	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
52		letr 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
53	30, 51, 52	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
54	53	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
55	54	2a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
56		pm3.21 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)))
57	56	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)))
58	33, 16	rpdivcld 12997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
60	18, 59, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
62		min1 13135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 𝑎)
63	34, 19, 62	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 𝑎)
64	32, 34, 16, 63	lediv1dd 13038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)))
65	64	anim1i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
66		letr 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
68	67	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
70	69	orim2d 969	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71	57, 70	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
72	55, 71, 20, 28	ltlecasei 11248	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
73	72	ralimdvva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
74		oveq1 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)))
75	74	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
76	75	orbi2d 916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
77	76	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ↔ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
78	77	2ralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
79	78	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
80	10, 73, 79	syl6an 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
81	80	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
82	6, 81	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℤcz 12518  ℚcq 12892  ℝ⁺crp 12936  ↑cexp 14017  abscabs 15190  Polycply 26162  degcdgr 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-cmp 23365  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-0p 25650  df-limc 25846  df-dv 25847  df-dvn 25848  df-cpn 25849  df-ply 26166  df-coe 26168  df-dgr 26169

This theorem is referenced by:  aalioulem6  26317