Theorem aalioulem5 26317

Description: Lemma for aaliou 26319. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem5

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem4 26316	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
8		1rp 12923	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
9		ifcl 4527	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
10	7, 8, 9	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+)
12		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
14	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	13, 15	rpexpcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
17	11, 16	rpdivcld 12980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
19		1re 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
21	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		znq 12879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
23		qre 12880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
26	21, 25	resubcld 11579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
29	18, 20, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
31	16	rprecred 12974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
32	11	rpred 12963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ)
33		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
34	33	rpred 12963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35		min2 13119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 1)
36	34, 19, 35	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 1)
37	32, 20, 16, 36	lediv1dd 13021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (1 / (𝑞↑𝑁)))
38	14	nnnn0d 12476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	12, 38	nnexpcld 14182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℕ)
40		1nn 12170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ)
42	39, 41	nnmulcld 12212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) · 1) ∈ ℕ)
43	42	nnge1d 12207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · 1))
44	20, 20, 16	ledivmuld 13016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · 1)))
45	43, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
46	18, 31, 20, 37, 45	letrd 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1)
48		ltle 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
49	19, 28, 48	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
51	47, 50	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
52		letr 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
53	30, 51, 52	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
54	53	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
55	54	2a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 1 < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
56		pm3.21 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)))
57	56	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)))
58	33, 16	rpdivcld 12980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
60	18, 59, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
62		min1 13118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 𝑎)
63	34, 19, 62	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ≤ 𝑎)
64	32, 34, 16, 63	lediv1dd 13021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)))
65	64	anim1i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
66		letr 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
68	67	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
70	69	orim2d 969	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71	57, 70	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
72	55, 71, 20, 28	ltlecasei 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
73	72	ralimdvva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
74		oveq1 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)))
75	74	breq1d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
76	75	orbi2d 916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
77	76	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ↔ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
78	77	2ralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
79	78	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎 ≤ 1, 𝑎, 1) / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
80	10, 73, 79	syl6an 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
81	80	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
82	6, 81	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378   / cdiv 11808  ℕcn 12159  ℤcz 12502  ℚcq 12875  ℝ⁺crp 12919  ↑cexp 13998  abscabs 15171  Polycply 26162  degcdgr 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-cmp 23348  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-0p 25644  df-limc 25840  df-dv 25841  df-dvn 25842  df-cpn 25843  df-ply 26166  df-coe 26168  df-dgr 26169

This theorem is referenced by:  aalioulem6  26318