Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | aalioulem2.a |
. . 3
β’ π = (degβπΉ) |
2 | | aalioulem2.b |
. . 3
β’ (π β πΉ β
(Polyββ€)) |
3 | | aalioulem2.c |
. . 3
β’ (π β π β β) |
4 | | aalioulem2.d |
. . 3
β’ (π β π΄ β β) |
5 | | aalioulem3.e |
. . 3
β’ (π β (πΉβπ΄) = 0) |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | aalioulem4 26225 |
. 2
β’ (π β βπ β β+ βπ β β€ βπ β β (((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))))) |
7 | | simpr 484 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β+) β π β
β+) |
8 | | 1rp 12984 |
. . . . 5
β’ 1 β
β+ |
9 | | ifcl 4568 |
. . . . 5
β’ ((π β β+
β§ 1 β β+) β if(π β€ 1, π, 1) β
β+) |
10 | 7, 8, 9 | sylancl 585 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β+) β if(π β€ 1, π, 1) β
β+) |
11 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
if(π β€ 1, π, 1) β
β+) |
12 | | simprr 770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β) |
13 | 12 | nnrpd 13020 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β+) |
14 | 3 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β) |
15 | 14 | nnzd 12589 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β€) |
16 | 13, 15 | rpexpcld 14215 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (πβπ) β
β+) |
17 | 11, 16 | rpdivcld 13039 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
(if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β
β+) |
18 | 17 | rpred 13022 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
(if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β β) |
19 | | 1re 11218 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 1 β
β |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β 1
β β) |
21 | 4 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π΄ β
β) |
22 | | znq 12940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β€ β§ π β β) β (π / π) β β) |
23 | | qre 12941 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π / π) β β β (π / π) β β) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β€ β§ π β β) β (π / π) β β) |
25 | 24 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (π / π) β β) |
26 | 21, 25 | resubcld 11646 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (π΄ β (π / π)) β β) |
27 | 26 | recnd 11246 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (π΄ β (π / π)) β β) |
28 | 27 | abscld 15389 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
(absβ(π΄ β
(π / π))) β β) |
29 | 18, 20, 28 | 3jca 1125 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β β β§ 1 β β
β§ (absβ(π΄ β
(π / π))) β β)) |
30 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β ((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β β β§ 1 β β
β§ (absβ(π΄ β
(π / π))) β β)) |
31 | 16 | rprecred 13033 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (1 /
(πβπ)) β β) |
32 | 11 | rpred 13022 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
if(π β€ 1, π, 1) β
β) |
33 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β+) |
34 | 33 | rpred 13022 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β) |
35 | | min2 13175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β β§ 1 β
β) β if(π β€
1, π, 1) β€
1) |
36 | 34, 19, 35 | sylancl 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
if(π β€ 1, π, 1) β€ 1) |
37 | 32, 20, 16, 36 | lediv1dd 13080 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
(if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (1 / (πβπ))) |
38 | 14 | nnnn0d 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β π β
β0) |
39 | 12, 38 | nnexpcld 14213 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (πβπ) β β) |
40 | | 1nn 12227 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ 1 β
β |
41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β 1
β β) |
42 | 39, 41 | nnmulcld 12269 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β ((πβπ) Β· 1) β
β) |
43 | 42 | nnge1d 12264 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β 1 β€
((πβπ) Β· 1)) |
44 | 20, 20, 16 | ledivmuld 13075 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β ((1 /
(πβπ)) β€ 1 β 1 β€ ((πβπ) Β· 1))) |
45 | 43, 44 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (1 /
(πβπ)) β€ 1) |
46 | 18, 31, 20, 37, 45 | letrd 11375 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
(if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ 1) |
47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ 1) |
48 | | ltle 11306 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((1
β β β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β β) β (1 <
(absβ(π΄ β
(π / π))) β 1 β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
49 | 19, 28, 48 | sylancr 586 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (1 <
(absβ(π΄ β
(π / π))) β 1 β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
50 | 49 | imp 406 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β 1 β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) |
51 | 47, 50 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β ((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ 1 β§ 1 β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
52 | | letr 11312 |
. . . . . . . . 9
β’
(((if(π β€ 1,
π, 1) / (πβπ)) β β β§ 1 β β
β§ (absβ(π΄ β
(π / π))) β β) β (((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ 1 β§ 1 β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
53 | 30, 51, 52 | sylc 65 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) |
54 | 53 | olcd 871 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
55 | 54 | 2a1d 26 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ 1 <
(absβ(π΄ β
(π / π)))) β ((((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
56 | | pm3.21 471 |
. . . . . . . 8
β’
((absβ(π΄
β (π / π))) β€ 1 β ((πΉβ(π / π)) β 0 β ((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1))) |
57 | 56 | adantl 481 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§
(absβ(π΄ β
(π / π))) β€ 1) β ((πΉβ(π / π)) β 0 β ((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1))) |
58 | 33, 16 | rpdivcld 13039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (π / (πβπ)) β
β+) |
59 | 58 | rpred 13022 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β (π / (πβπ)) β β) |
60 | 18, 59, 28 | 3jca 1125 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β β β§ (π / (πβπ)) β β β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β β)) |
61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β ((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β β β§ (π / (πβπ)) β β β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β β)) |
62 | | min1 13174 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β β§ 1 β
β) β if(π β€
1, π, 1) β€ π) |
63 | 34, 19, 62 | sylancl 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
if(π β€ 1, π, 1) β€ π) |
64 | 32, 34, 16, 63 | lediv1dd 13080 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
(if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (π / (πβπ))) |
65 | 64 | anim1i 614 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β ((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (π / (πβπ)) β§ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
66 | | letr 11312 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((if(π β€ 1,
π, 1) / (πβπ)) β β β§ (π / (πβπ)) β β β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β β) β (((if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (π / (πβπ)) β§ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
67 | 61, 65, 66 | sylc 65 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) |
68 | 67 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β ((π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
69 | 68 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§
(absβ(π΄ β
(π / π))) β€ 1) β ((π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
70 | 69 | orim2d 963 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§
(absβ(π΄ β
(π / π))) β€ 1) β ((π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))))) |
71 | 57, 70 | imim12d 81 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β§
(absβ(π΄ β
(π / π))) β€ 1) β ((((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
72 | 55, 71, 20, 28 | ltlecasei 11326 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β β€ β§ π β β)) β
((((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
73 | 72 | ralimdvva 3198 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β β€
βπ β β
(((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
74 | | oveq1 7412 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = if(π β€ 1, π, 1) β (π₯ / (πβπ)) = (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ))) |
75 | 74 | breq1d 5151 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = if(π β€ 1, π, 1) β ((π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))) β (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) |
76 | 75 | orbi2d 912 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = if(π β€ 1, π, 1) β ((π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))) β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))))) |
77 | 76 | imbi2d 340 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = if(π β€ 1, π, 1) β (((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
78 | 77 | 2ralbidv 3212 |
. . . . 5
β’ (π₯ = if(π β€ 1, π, 1) β (βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
79 | 78 | rspcev 3606 |
. . . 4
β’
((if(π β€ 1, π, 1) β β+
β§ βπ β
β€ βπ β
β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (if(π β€ 1, π, 1) / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))))) β βπ₯ β β+ βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))))) |
80 | 10, 73, 79 | syl6an 681 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β β€
βπ β β
(((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β βπ₯ β β+ βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
81 | 80 | rexlimdva 3149 |
. 2
β’ (π β (βπ β β+ βπ β β€ βπ β β (((πΉβ(π / π)) β 0 β§ (absβ(π΄ β (π / π))) β€ 1) β (π΄ = (π / π) β¨ (π / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))) β βπ₯ β β+ βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π))))))) |
82 | 6, 81 | mpd 15 |
1
β’ (π β βπ₯ β β+ βπ β β€ βπ β β ((πΉβ(π / π)) β 0 β (π΄ = (π / π) β¨ (π₯ / (πβπ)) β€ (absβ(π΄ β (π / π)))))) |