MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyaddisjlem 25479
Description: Lemma for dyaddisj 25480. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ / (2โ†‘๐‘ฆ)), ((๐‘ฅ + 1) / (2โ†‘๐‘ฆ))โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ / (2โ†‘๐‘ฆ)), ((๐‘ฅ + 1) / (2โ†‘๐‘ฆ))โŸฉ)
43dyadval 25476 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด๐น๐ถ) = โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
51, 2, 4syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด๐น๐ถ) = โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
65fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ))
7 df-ov 7408 . . . . . . . 8 ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
86, 7eqtr4di 2784 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
113dyadval 25476 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต๐น๐ท) = โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
129, 10, 11syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต๐น๐ท) = โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
1312fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ))
14 df-ov 7408 . . . . . . . 8 ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
1513, 14eqtr4di 2784 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
168, 15ineq12d 4208 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))))
17 incom 4196 . . . . . 6 (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
1816, 17eqtrdi 2782 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))))
1918adantr 480 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))))
201zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2120recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22 2nn 12289 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
23 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
2422, 2, 23sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
2524nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
26 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„•)
2722, 10, 26sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„‚)
2924nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โ‰  0)
3021, 25, 28, 29div13d 12018 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) = (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท ๐ด))
31 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โ‰  0)
342nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3510nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
3631, 33, 34, 35expsubd 14127 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)))
37 2z 12598 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
39 znn0sub 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0))
4034, 35, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
42 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4337, 41, 42sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4436, 43eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4544, 1zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
4630, 45eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค)
47 zltp1le 12616 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
489, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
499zred 12670 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5020, 24nndivred 12270 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
5127nnred 12231 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„)
5227nngt0d 12265 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 < (2โ†‘๐ท))
53 ltdivmul2 12095 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5449, 50, 51, 52, 53syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
55 peano2re 11391 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
5649, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
57 ledivmul2 12097 . . . . . . . 8 (((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5856, 50, 51, 52, 57syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5948, 54, 583bitr4d 311 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ))))
6049, 27nndivred 12270 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
6160rexrd 11268 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)
6256, 27nndivred 12270 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
6362rexrd 11268 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)
6450rexrd 11268 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)
65 peano2re 11391 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6620, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6766, 24nndivred 12270 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
6867rexrd 11268 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)
69 ioodisj 13465 . . . . . . . 8 (((((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)) โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…)
7069ex 412 . . . . . . 7 ((((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7161, 63, 64, 68, 70syl22anc 836 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7259, 71sylbid 239 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7372imp 406 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…)
7419, 73eqtrd 2766 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…)
75743mix3d 1335 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
7650adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7767adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
78 simprl 768 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)))
7966recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
8079, 25, 28, 29div13d 12018 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) = (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (๐ด + 1)))
811peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„ค)
8244, 81zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
8380, 82eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค)
84 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
859, 83, 84syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
86 ltdivmul2 12095 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
8749, 67, 51, 52, 86syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
88 ledivmul2 12097 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
8956, 67, 51, 52, 88syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
9085, 87, 893bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9190biimpa 476 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))
9291adantrl 713 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))
93 iccss 13398 . . . . . . 7 ((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โІ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9476, 77, 78, 92, 93syl22anc 836 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โІ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9512fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ))
96 df-ov 7408 . . . . . . . 8 ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
9795, 96eqtr4di 2784 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
9897adantr 480 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
995fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ))
100 df-ov 7408 . . . . . . . 8 ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
10199, 100eqtr4di 2784 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
102101adantr 480 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
10394, 98, 1023sstr4d 4024 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)))
1041033mix2d 1334 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
105104anassrs 467 . . 3 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
10616adantr 480 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))))
107 ioodisj 13465 . . . . . . . . 9 (((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…)
108107ex 412 . . . . . . . 8 ((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…))
10964, 68, 61, 63, 108syl22anc 836 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…))
110109imp 406 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…)
111106, 110eqtrd 2766 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…)
1121113mix3d 1335 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
113112adantlr 712 . . 3 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
11460adantr 480 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
11567adantr 480 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
116105, 113, 114, 115ltlecasei 11326 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
11775, 116, 60, 50ltlecasei 11326 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ w3o 1083   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  dyaddisj  25480
  Copyright terms: Public domain W3C validator