Theorem dyaddisjlem 23911

Description: Lemma for dyaddisj 23912. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyaddisjlem	⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simplrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
4	3	dyadval 23908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	5	fveq2d 6500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
7		df-ov 6977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
8	6, 7	syl6eqr 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9		simpllr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	3	dyadval 23908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
12	9, 10, 11	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
13	12	fveq2d 6500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
14		df-ov 6977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
15	13, 14	syl6eqr 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
16	8, 15	ineq12d 4071	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
17		incom 4060	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
18	16, 17	syl6eq 2824	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
19	18	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
20	1	zred 11898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 10466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		2nn 11511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		nnexpcl 13255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
24	22, 2, 23	sylancr 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℂ)
26		nnexpcl 13255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
27	22, 10, 26	sylancr 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℂ)
29	24	nnne0d 11488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ≠ 0)
30	21, 25, 28, 29	div13d 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴))
31		2cnd 11516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℂ)
32		2ne0 11549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 2 ≠ 0)
34	2	nn0zd 11896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	10	nn0zd 11896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
36	31, 33, 34, 35	expsubd 13334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) = ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)))
37		2z 11825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ≤ 𝐷)
39		znn0sub 11840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0))
40	34, 35, 39	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0))
41	38, 40	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 13257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℤ)
43	37, 41, 42	sylancr 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℤ)
44	36, 43	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) ∈ ℤ)
45	44, 1	zmulcld 11904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴) ∈ ℤ)
46	30, 45	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
47		zltp1le 11843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
48	9, 46, 47	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
49	9	zred 11898	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	20, 24	nndivred 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
51	27	nnred 11454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℝ)
52	27	nngt0d 11487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < (2↑𝐷))
53		ltdivmul2 11316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
54	49, 50, 51, 52, 53	syl112anc 1354	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
55		peano2re 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
56	49, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
57		ledivmul2 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
58	56, 50, 51, 52, 57	syl112anc 1354	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
59	48, 54, 58	3bitr4d 303	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
60	49, 27	nndivred 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 10488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
62	56, 27	nndivred 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
63	62	rexrd 10488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
64	50	rexrd 10488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
65		peano2re 10611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
66	20, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
67	66, 24	nndivred 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
68	67	rexrd 10488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
69		ioodisj 12682	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
70	69	ex 405	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
71	61, 63, 64, 68, 70	syl22anc 826	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
72	59, 71	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
73	72	imp 398	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
74	19, 73	eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
75	74	3mix3d 1318	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
76	50	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
77	67	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
78		simprl 758	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)))
79	66	recnd 10466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
80	79, 25, 28, 29	div13d 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)))
81	1	peano2zd 11901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
82	44, 81	zmulcld 11904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
83	80, 82	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
84		zltp1le 11843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
85	9, 83, 84	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
86		ltdivmul2 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
87	49, 67, 51, 52, 86	syl112anc 1354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
88		ledivmul2 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
89	56, 67, 51, 52, 88	syl112anc 1354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
90	85, 87, 89	3bitr4d 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
91	90	biimpa 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
92	91	adantrl 703	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
93		iccss 12618	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
94	76, 77, 78, 92, 93	syl22anc 826	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
95	12	fveq2d 6500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
96		df-ov 6977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
97	95, 96	syl6eqr 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
98	97	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
99	5	fveq2d 6500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
100		df-ov 6977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
101	99, 100	syl6eqr 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
102	101	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
103	94, 98, 102	3sstr4d 3898	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)))
104	103	3mix2d 1317	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
105	104	anassrs 460	. . 3 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
106	16	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
107		ioodisj 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
108	107	ex 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
109	64, 68, 61, 63, 108	syl22anc 826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
110	109	imp 398	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
111	106, 110	eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
112	111	3mix3d 1318	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
113	112	adantlr 702	. . 3 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
114	60	adantr 473	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
115	67	adantr 473	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
116	105, 113, 114, 115	ltlecasei 10546	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
117	75, 116, 60, 50	ltlecasei 10546	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ w3o 1067   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961   ∩ cin 3822   ⊆ wss 3823  ∅c0 4172  ⟨cop 4441   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ∈ cmpo 6976  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338  ℝ^*cxr 10471   < clt 10472   ≤ cle 10473   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕcn 11437  2c2 11493  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  (,)cioo 12552  [,]cicc 12555  ↑cexp 13242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-ioo 12556  df-icc 12559  df-seq 13183  df-exp 13243

This theorem is referenced by:  dyaddisj  23912