Theorem dyaddisjlem 24759

Description: Lemma for dyaddisj 24760. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyaddisjlem	⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
4	3	dyadval 24756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	5	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
7		df-ov 7278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
8	6, 7	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	3	dyadval 24756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
13	12	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
14		df-ov 7278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
15	13, 14	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
16	8, 15	ineq12d 4147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
17		incom 4135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
18	16, 17	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
20	1	zred 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		2nn 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		nnexpcl 13795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
24	22, 2, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℂ)
26		nnexpcl 13795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
27	22, 10, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℂ)
29	24	nnne0d 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ≠ 0)
30	21, 25, 28, 29	div13d 11775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴))
31		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℂ)
32		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 2 ≠ 0)
34	2	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	10	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
36	31, 33, 34, 35	expsubd 13875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) = ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)))
37		2z 12352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ≤ 𝐷)
39		znn0sub 12367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0))
40	34, 35, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0))
41	38, 40	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℤ)
43	37, 41, 42	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℤ)
44	36, 43	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) ∈ ℤ)
45	44, 1	zmulcld 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴) ∈ ℤ)
46	30, 45	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
47		zltp1le 12370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
48	9, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
49	9	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	20, 24	nndivred 12027	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
51	27	nnred 11988	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℝ)
52	27	nngt0d 12022	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < (2↑𝐷))
53		ltdivmul2 11852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
54	49, 50, 51, 52, 53	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
55		peano2re 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
56	49, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
57		ledivmul2 11854	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
58	56, 50, 51, 52, 57	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
59	48, 54, 58	3bitr4d 311	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
60	49, 27	nndivred 12027	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 11025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
62	56, 27	nndivred 12027	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
63	62	rexrd 11025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
64	50	rexrd 11025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
65		peano2re 11148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
66	20, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
67	66, 24	nndivred 12027	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
69		ioodisj 13214	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
70	69	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
71	61, 63, 64, 68, 70	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
72	59, 71	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
73	72	imp 407	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
74	19, 73	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
75	74	3mix3d 1337	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
76	50	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
77	67	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
78		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)))
79	66	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
80	79, 25, 28, 29	div13d 11775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)))
81	1	peano2zd 12429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
82	44, 81	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
83	80, 82	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
84		zltp1le 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
85	9, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
86		ltdivmul2 11852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
87	49, 67, 51, 52, 86	syl112anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
88		ledivmul2 11854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
89	56, 67, 51, 52, 88	syl112anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
90	85, 87, 89	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
91	90	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
92	91	adantrl 713	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
93		iccss 13147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
94	76, 77, 78, 92, 93	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
95	12	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
96		df-ov 7278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
97	95, 96	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
98	97	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
99	5	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
100		df-ov 7278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
101	99, 100	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
102	101	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
103	94, 98, 102	3sstr4d 3968	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)))
104	103	3mix2d 1336	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
105	104	anassrs 468	. . 3 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
106	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
107		ioodisj 13214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
108	107	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
109	64, 68, 61, 63, 108	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
110	109	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
111	106, 110	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
112	111	3mix3d 1337	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
113	112	adantlr 712	. . 3 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
114	60	adantr 481	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
115	67	adantr 481	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
116	105, 113, 114, 115	ltlecasei 11083	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
117	75, 116, 60, 50	ltlecasei 11083	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  dyaddisj  24760