Theorem dyaddisjlem 25659

Description: Lemma for dyaddisj 25660. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyaddisjlem	⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simplrl 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
4	3	dyadval 25656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	5	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
7		df-ov 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
8	6, 7	eqtr4di 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	3	dyadval 25656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
12	9, 10, 11	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
13	12	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
14		df-ov 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
15	13, 14	eqtr4di 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
16	8, 15	ineq12d 4175	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
17		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
18	16, 17	eqtrdi 2815	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
20	1	zred 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		2nn 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		nnexpcl 14089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
24	22, 2, 23	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℂ)
26		nnexpcl 14089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
27	22, 10, 26	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℂ)
29	24	nnne0d 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐶) ≠ 0)
30	21, 25, 28, 29	div13d 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴))
31		2cnd 12298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℂ)
32		2ne0 12326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 2 ≠ 0)
34	2	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	10	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
36	31, 33, 34, 35	expsubd 14172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) = ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)))
37		2z 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐶 ≤ 𝐷)
39		znn0sub 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0))
40	34, 35, 39	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0))
41	38, 40	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 14091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℤ)
43	37, 41, 42	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℤ)
44	36, 43	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) ∈ ℤ)
45	44, 1	zmulcld 12685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴) ∈ ℤ)
46	30, 45	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
47		zltp1le 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
48	9, 46, 47	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
49	9	zred 12679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	20, 24	nndivred 12269	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
51	27	nnred 12227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℝ)
52	27	nngt0d 12264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 < (2↑𝐷))
53		ltdivmul2 12071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
54	49, 50, 51, 52, 53	syl112anc 1395	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
55		peano2re 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
56	49, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
57		ledivmul2 12073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
58	56, 50, 51, 52, 57	syl112anc 1395	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
59	48, 54, 58	3bitr4d 313	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
60	49, 27	nndivred 12269	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
62	56, 27	nndivred 12269	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
63	62	rexrd 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
64	50	rexrd 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
65		peano2re 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
66	20, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
67	66, 24	nndivred 12269	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
69		ioodisj 13488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
70	69	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
71	61, 63, 64, 68, 70	syl22anc 849	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
72	59, 71	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
73	72	imp 410	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
74	19, 73	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
75	74	3mix3d 1353	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
76	50	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
77	67	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
78		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)))
79	66	recnd 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
80	79, 25, 28, 29	div13d 11993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)))
81	1	peano2zd 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
82	44, 81	zmulcld 12685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
83	80, 82	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
84		zltp1le 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
85	9, 83, 84	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
86		ltdivmul2 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
87	49, 67, 51, 52, 86	syl112anc 1395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
88		ledivmul2 12073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
89	56, 67, 51, 52, 88	syl112anc 1395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
90	85, 87, 89	3bitr4d 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
91	90	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
92	91	adantrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
93		iccss 13420	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
94	76, 77, 78, 92, 93	syl22anc 849	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
95	12	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
96		df-ov 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
97	95, 96	eqtr4di 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
98	97	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
99	5	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
100		df-ov 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
101	99, 100	eqtr4di 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
102	101	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
103	94, 98, 102	3sstr4d 3993	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)))
104	103	3mix2d 1352	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
105	104	anassrs 471	. . 3 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
106	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
107		ioodisj 13488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
108	107	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
109	64, 68, 61, 63, 108	syl22anc 849	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
110	109	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
111	106, 110	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
112	111	3mix3d 1353	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
113	112	adantlr 725	. . 3 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
114	60	adantr 484	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
115	67	adantr 484	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
116	105, 113, 114, 115	ltlecasei 11293	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
117	75, 116, 60, 50	ltlecasei 11293	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ w3o 1098   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219   − cmin 11416   / cdiv 11846  ℕcn 12212  2c2 12274  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354  ↑cexp 14076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-ioo 13355  df-icc 13358  df-seq 14017  df-exp 14077

This theorem is referenced by:  dyaddisj  25660