MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyaddisjlem 25540
Description: Lemma for dyaddisj 25541. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ / (2โ†‘๐‘ฆ)), ((๐‘ฅ + 1) / (2โ†‘๐‘ฆ))โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ / (2โ†‘๐‘ฆ)), ((๐‘ฅ + 1) / (2โ†‘๐‘ฆ))โŸฉ)
43dyadval 25537 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด๐น๐ถ) = โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
51, 2, 4syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด๐น๐ถ) = โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
65fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ))
7 df-ov 7418 . . . . . . . 8 ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
86, 7eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
113dyadval 25537 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต๐น๐ท) = โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
129, 10, 11syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต๐น๐ท) = โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
1312fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ))
14 df-ov 7418 . . . . . . . 8 ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
1513, 14eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
168, 15ineq12d 4207 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))))
17 incom 4195 . . . . . 6 (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
1816, 17eqtrdi 2781 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))))
1918adantr 479 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))))
201zred 12694 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2120recnd 11270 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22 2nn 12313 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
23 nnexpcl 14069 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
2422, 2, 23sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
2524nncnd 12256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
26 nnexpcl 14069 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„•)
2722, 10, 26sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„‚)
2924nnne0d 12290 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โ‰  0)
3021, 25, 28, 29div13d 12042 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) = (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท ๐ด))
31 2cnd 12318 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12344 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โ‰  0)
342nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3510nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
3631, 33, 34, 35expsubd 14151 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)))
37 2z 12622 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
39 znn0sub 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0))
4034, 35, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
42 zexpcl 14071 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4337, 41, 42sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4436, 43eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4544, 1zmulcld 12700 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
4630, 45eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค)
47 zltp1le 12640 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
489, 46, 47syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
499zred 12694 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5020, 24nndivred 12294 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
5127nnred 12255 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„)
5227nngt0d 12289 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 < (2โ†‘๐ท))
53 ltdivmul2 12119 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5449, 50, 51, 52, 53syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
55 peano2re 11415 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
5649, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
57 ledivmul2 12121 . . . . . . . 8 (((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5856, 50, 51, 52, 57syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5948, 54, 583bitr4d 310 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ))))
6049, 27nndivred 12294 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
6160rexrd 11292 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)
6256, 27nndivred 12294 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
6362rexrd 11292 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)
6450rexrd 11292 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)
65 peano2re 11415 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6620, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6766, 24nndivred 12294 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
6867rexrd 11292 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)
69 ioodisj 13489 . . . . . . . 8 (((((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)) โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…)
7069ex 411 . . . . . . 7 ((((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7161, 63, 64, 68, 70syl22anc 837 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7259, 71sylbid 239 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7372imp 405 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…)
7419, 73eqtrd 2765 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…)
75743mix3d 1335 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
7650adantr 479 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7767adantr 479 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
78 simprl 769 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)))
7966recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
8079, 25, 28, 29div13d 12042 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) = (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (๐ด + 1)))
811peano2zd 12697 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„ค)
8244, 81zmulcld 12700 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
8380, 82eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค)
84 zltp1le 12640 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
859, 83, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
86 ltdivmul2 12119 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
8749, 67, 51, 52, 86syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
88 ledivmul2 12121 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
8956, 67, 51, 52, 88syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
9085, 87, 893bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9190biimpa 475 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))
9291adantrl 714 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))
93 iccss 13422 . . . . . . 7 ((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โІ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9476, 77, 78, 92, 93syl22anc 837 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โІ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9512fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ))
96 df-ov 7418 . . . . . . . 8 ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
9795, 96eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
9897adantr 479 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
995fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ))
100 df-ov 7418 . . . . . . . 8 ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
10199, 100eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
102101adantr 479 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
10394, 98, 1023sstr4d 4020 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)))
1041033mix2d 1334 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
105104anassrs 466 . . 3 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
10616adantr 479 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))))
107 ioodisj 13489 . . . . . . . . 9 (((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…)
108107ex 411 . . . . . . . 8 ((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…))
10964, 68, 61, 63, 108syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…))
110109imp 405 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…)
111106, 110eqtrd 2765 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…)
1121113mix3d 1335 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
113112adantlr 713 . . 3 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
11460adantr 479 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
11567adantr 479 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
116105, 113, 114, 115ltlecasei 11350 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
11775, 116, 60, 50ltlecasei 11350 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โІ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โІ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ w3o 1083   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   โˆฉ cin 3939   โІ wss 3940  โˆ…c0 4318  โŸจcop 4630   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆˆ cmpo 7417  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141  โ„*cxr 11275   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   โˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  โ†‘cexp 14056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-ioo 13358  df-icc 13361  df-seq 13997  df-exp 14057
This theorem is referenced by:  dyaddisj  25541
  Copyright terms: Public domain W3C validator