MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyaddisjlem 24982
Description: Lemma for dyaddisj 24983. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ / (2โ†‘๐‘ฆ)), ((๐‘ฅ + 1) / (2โ†‘๐‘ฆ))โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ / (2โ†‘๐‘ฆ)), ((๐‘ฅ + 1) / (2โ†‘๐‘ฆ))โŸฉ)
43dyadval 24979 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด๐น๐ถ) = โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
51, 2, 4syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด๐น๐ถ) = โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
65fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ))
7 df-ov 7364 . . . . . . . 8 ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
86, 7eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
113dyadval 24979 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต๐น๐ท) = โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
129, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต๐น๐ท) = โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
1312fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ))
14 df-ov 7364 . . . . . . . 8 ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) = ((,)โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
1513, 14eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
168, 15ineq12d 4177 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))))
17 incom 4165 . . . . . 6 (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
1816, 17eqtrdi 2789 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))))
1918adantr 482 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))))
201zred 12615 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2120recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22 2nn 12234 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
23 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
2422, 2, 23sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
2524nncnd 12177 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
26 nnexpcl 13989 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„•)
2722, 10, 26sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12177 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„‚)
2924nnne0d 12211 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ถ) โ‰  0)
3021, 25, 28, 29div13d 11963 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) = (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท ๐ด))
31 2cnd 12239 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12265 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โ‰  0)
342nn0zd 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3510nn0zd 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
3631, 33, 34, 35expsubd 14071 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)))
37 2z 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
38 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
39 znn0sub 12558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0))
4034, 35, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†” (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
42 zexpcl 13991 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4337, 41, 42sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4436, 43eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
4544, 1zmulcld 12621 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
4630, 45eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค)
47 zltp1le 12561 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
489, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
499zred 12615 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5020, 24nndivred 12215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
5127nnred 12176 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„)
5227nngt0d 12210 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 < (2โ†‘๐ท))
53 ltdivmul2 12040 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5449, 50, 51, 52, 53syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
55 peano2re 11336 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
5649, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
57 ledivmul2 12042 . . . . . . . 8 (((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5856, 50, 51, 52, 57syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
5948, 54, 583bitr4d 311 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ))))
6049, 27nndivred 12215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
6160rexrd 11213 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)
6256, 27nndivred 12215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
6362rexrd 11213 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)
6450rexrd 11213 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)
65 peano2re 11336 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6620, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6766, 24nndivred 12215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
6867rexrd 11213 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)
69 ioodisj 13408 . . . . . . . 8 (((((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)) โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…)
7069ex 414 . . . . . . 7 ((((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*)) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7161, 63, 64, 68, 70syl22anc 838 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7259, 71sylbid 239 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…))
7372imp 408 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โˆฉ ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) = โˆ…)
7419, 73eqtrd 2773 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…)
75743mix3d 1339 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < (๐ด / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
7650adantr 482 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7767adantr 482 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
78 simprl 770 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)))
7966recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
8079, 25, 28, 29div13d 11963 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) = (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (๐ด + 1)))
811peano2zd 12618 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„ค)
8244, 81zmulcld 12621 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((2โ†‘๐ท) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
8380, 82eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค)
84 zltp1le 12561 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
859, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
86 ltdivmul2 12040 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
8749, 67, 51, 52, 86syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ๐ต < (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
88 ledivmul2 12042 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
8956, 67, 51, 52, 88syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” (๐ต + 1) โ‰ค (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) ยท (2โ†‘๐ท))))
9085, 87, 893bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ†” ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9190biimpa 478 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))
9291adantrl 715 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))
93 iccss 13341 . . . . . . 7 ((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โ‰ค ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โŠ† ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9476, 77, 78, 92, 93syl22anc 838 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) โŠ† ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
9512fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ))
96 df-ov 7364 . . . . . . . 8 ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ต / (2โ†‘๐ท)), ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))โŸฉ)
9795, 96eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
9897adantr 482 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) = ((๐ต / (2โ†‘๐ท))[,]((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท))))
995fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ))
100 df-ov 7364 . . . . . . . 8 ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) = ([,]โ€˜โŸจ(๐ด / (2โ†‘๐ถ)), ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))โŸฉ)
10199, 100eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
102101adantr 482 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) = ((๐ด / (2โ†‘๐ถ))[,]((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))))
10394, 98, 1023sstr4d 3995 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)))
1041033mix2d 1338 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
105104anassrs 469 . . 3 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โˆง (๐ต / (2โ†‘๐ท)) < ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
10616adantr 482 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))))
107 ioodisj 13408 . . . . . . . . 9 (((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…)
108107ex 414 . . . . . . . 8 ((((๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„*) โˆง ((๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„* โˆง ((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„*)) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…))
10964, 68, 61, 63, 108syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…))
110109imp 408 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((๐ด / (2โ†‘๐ถ))(,)((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ))) โˆฉ ((๐ต / (2โ†‘๐ท))(,)((๐ต + 1) / (2โ†‘๐ท)))) = โˆ…)
111106, 110eqtrd 2773 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…)
1121113mix3d 1339 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
113112adantlr 714 . . 3 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โˆง ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
11460adantr 482 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (๐ต / (2โ†‘๐ท)) โˆˆ โ„)
11567adantr 482 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ ((๐ด + 1) / (2โ†‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
116105, 113, 114, 115ltlecasei 11271 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐ถ)) โ‰ค (๐ต / (2โ†‘๐ท))) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
11775, 116, 60, 50ltlecasei 11271 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โˆจ ([,]โ€˜(๐ต๐น๐ท)) โŠ† ([,]โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆจ (((,)โ€˜(๐ด๐น๐ถ)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐ต๐น๐ท))) = โˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆฉ cin 3913   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  โŸจcop 4596   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  dyaddisj  24983
  Copyright terms: Public domain W3C validator