MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposr 23632
Description: Converse to mbfpos 23631. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfposr.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
mbfposr.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposr (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 eqid 2771 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6525 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
4 mbfposr.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
5 0re 10240 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4269 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancl 574 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
84, 7mbfdm2 23618 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 < 0)
10 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110lt0neg1d 10797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 0 ↔ 0 < -𝑦))
129, 11mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < -𝑦)
1312biantrurd 522 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
14 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝜑)
1514, 1sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1610, 15ltnegd 10805 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑦))
17 0red 10241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
1815renegcld 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
1910renegcld 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
20 maxlt 12222 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2213, 16, 213bitr4rd 301 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦𝑦 < 𝐵))
231renegcld 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
24 ifcl 4269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2523, 5, 24sylancl 574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2614, 25sylan 569 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2726biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
2815biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
2922, 27, 283bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3019rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
31 elioomnf 12467 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3310rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioopnf 12466 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3629, 32, 353bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
37 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3938fvmpt2 6431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
4037, 25, 39syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
4140eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
4214, 41sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
432fvmpt2 6431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4437, 1, 43syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4544eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4614, 45sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4736, 42, 463bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
4847pm5.32da 568 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
4925, 38fmptd 6525 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
50 ffn 6183 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴)
51 elpreima 6478 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5352ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
54 ffn 6183 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
55 elpreima 6478 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
563, 54, 553syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5756ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5848, 53, 573bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
5958alrimiv 2007 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
60 nfmpt1 4881 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
6160nfcnv 5437 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
62 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)-𝑦)
6361, 62nfima 5613 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦))
64 nfmpt1 4881 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
6564nfcnv 5437 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
66 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥(𝑦(,)+∞)
6765, 66nfima 5613 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))
6863, 67cleqf 2939 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
6959, 68sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
70 mbfposr.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
71 mbfima 23611 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7270, 49, 71syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7372ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7469, 73eqeltrrd 2851 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 0red 10241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
76 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 𝜑)
7776, 1sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
79 maxle 12220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8075, 77, 78, 79syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
81 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
8281biantrurd 522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8380, 82bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
8483notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8577, 5, 6sylancl 574 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
8678, 85ltnled 10384 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦))
8778, 77ltnled 10384 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8884, 86, 873bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ 𝑦 < 𝐵))
8985biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9077biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9188, 89, 903bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9278rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
93 elioopnf 12466 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9592, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9691, 94, 953bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
97 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9897fvmpt2 6431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9937, 7, 98syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
10099eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
10176, 100sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
10276, 45sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
10396, 101, 1023bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
104103pm5.32da 568 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
1057, 97fmptd 6525 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
106 ffn 6183 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴)
107 elpreima 6478 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
109108ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
11056ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
111104, 109, 1103bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
112111alrimiv 2007 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
113 nfmpt1 4881 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
114113nfcnv 5437 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
115114, 66nfima 5613 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞))
116115, 67cleqf 2939 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
117112, 116sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
118 mbfima 23611 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
1194, 105, 118syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
120119ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
121117, 120eqeltrrd 2851 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
122 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
123 0red 10241 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
12474, 121, 122, 123ltlecasei 10345 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
125 0red 10241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
126 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
127126, 1sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
128 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
129 maxlt 12222 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
130125, 127, 128, 129syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
131 simplr 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
132131biantrurd 522 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
133130, 132bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦𝐵 < 𝑦))
134126, 7sylan 569 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
135134biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
136127biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
137133, 135, 1363bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
138128rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
139 elioomnf 12467 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
141 elioomnf 12467 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
142138, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
143137, 140, 1423bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
14499eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
145126, 144sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
14644eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
147126, 146sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
148143, 145, 1473bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
149148pm5.32da 568 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
150 elpreima 6478 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
151105, 106, 1503syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
152151ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
153 elpreima 6478 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
1543, 54, 1533syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
155154ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
156149, 152, 1553bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
157156alrimiv 2007 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
158 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)𝑦)
159114, 158nfima 5613 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦))
16065, 158nfima 5613 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))
161159, 160cleqf 2939 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
162157, 161sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
163 mbfima 23611 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1644, 105, 163syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
165164ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
166162, 165eqeltrrd 2851 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
167 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ≤ 0)
168 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
169168le0neg1d 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑦))
170167, 169mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ -𝑦)
171170biantrurd 522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
172 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → 𝜑)
173172, 1sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
174168, 173lenegd 10806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
175 0red 10241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
176173renegcld 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
177168renegcld 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
178 maxle 12220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
179175, 176, 177, 178syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
180171, 174, 1793bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦𝑦𝐵))
181180notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
182172, 25sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
183177, 182ltnled 10384 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦))
184173, 168ltnled 10384 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
185181, 183, 1843bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ 𝐵 < 𝑦))
186182biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
187173biantrurd 522 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
188185, 186, 1873bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
189177rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
190 elioopnf 12466 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
192168rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
193192, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
194188, 191, 1933bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
19540eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
196172, 195sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
197172, 146sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
198194, 196, 1973bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
199198pm5.32da 568 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
200 elpreima 6478 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
20149, 50, 2003syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
202201ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
203154ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
204199, 202, 2033bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
205204alrimiv 2007 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
206 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥(-𝑦(,)+∞)
20761, 206nfima 5613 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞))
208207, 160cleqf 2939 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
209205, 208sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
210 mbfima 23611 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
21170, 49, 210syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
212211ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
213209, 212eqeltrrd 2851 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
214166, 213, 123, 122ltlecasei 10345 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
2153, 8, 124, 214ismbf2d 23621 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  cima 5252   Fn wfn 6024  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136  +∞cpnf 10271  -∞cmnf 10272  *cxr 10273   < clt 10274  cle 10275  -cneg 10467  (,)cioo 12373  volcvol 23444  MblFncmbf 23595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xadd 12145  df-ioo 12377  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-xmet 19947  df-met 19948  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600
This theorem is referenced by:  mbfposb  23633
  Copyright terms: Public domain W3C validator