MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfposr 25169
Description: Converse to mbfpos 25168. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfposr.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
mbfposr.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposr (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)
Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
21fmpttd 7115 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
3 mbfposr.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
4 0re 11216 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 ifcl 4574 . . . 4 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
73, 6mbfdm2 25154 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
8 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 < 0)
9 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
109lt0neg1d 11783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 0 ↔ 0 < -𝑦))
118, 10mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 < -𝑦)
1211biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝐡 < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐡 < -𝑦)))
131ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
149, 13ltnegd 11792 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ -𝐡 < -𝑦))
15 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
1613renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
179renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
18 maxlt 13172 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐡 < -𝑦)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐡 < -𝑦)))
2012, 14, 193bitr4rd 312 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ 𝑦 < 𝐡))
211renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
22 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
2321, 4, 22sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
2423ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
2524biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦)))
2613biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2720, 25, 263bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2817rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
29 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦)))
319rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
32 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
3427, 30, 333bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
3736fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
3835, 23, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
3938eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
4039ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4241fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
4335, 1, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
4443eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4544ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4634, 40, 453bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
4746pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
4823fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„)
49 ffn 6718 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) Fn 𝐴)
50 elpreima 7060 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5251ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
53 ffn 6718 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴)
54 elpreima 7060 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
552, 53, 543syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5655ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5747, 52, 563bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
5857alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
59 nfmpt1 5257 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
6059nfcnv 5879 . . . . . . 7 β„²π‘₯β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
61 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯(-∞(,)-𝑦)
6260, 61nfima 6068 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦))
63 nfmpt1 5257 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
6463nfcnv 5879 . . . . . . 7 β„²π‘₯β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
65 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑦(,)+∞)
6664, 65nfima 6068 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))
6762, 66cleqf 2935 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
6858, 67sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)))
69 mbfposr.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
70 mbfima 25147 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7169, 48, 70syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7271ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrrd 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝑦)
75 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
761ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
77 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
78 maxle 13170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ (0 ≀ 𝑦 ∧ 𝐡 ≀ 𝑦)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ (0 ≀ 𝑦 ∧ 𝐡 ≀ 𝑦)))
8074, 79mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
8180notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 𝑦))
8276, 4, 5sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
8377, 82ltnled 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ Β¬ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦))
8477, 76ltnled 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 𝑦))
8581, 83, 843bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ 𝑦 < 𝐡))
8682biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
8776biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8885, 86, 873bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8977rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
9289, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
9388, 91, 923bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
94 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
9594fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
9635, 6, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
9796eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
9897ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
9944ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
10093, 98, 993bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
101100pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
1026fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„)
103 ffn 6718 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) Fn 𝐴)
104 elpreima 7060 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
106105ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
10755ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
108101, 106, 1073bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
109108alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
110 nfmpt1 5257 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
111110nfcnv 5879 . . . . . . 7 β„²π‘₯β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
112111, 65nfima 6068 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞))
113112, 66cleqf 2935 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
114109, 113sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)))
115 mbfima 25147 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
1163, 102, 115syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
117116ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
118114, 117eqeltrrd 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
119 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
120 0red 11217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
12173, 118, 119, 120ltlecasei 11322 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
122 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 < 𝑦)
123 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
1241ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
125 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
126 maxlt 13172 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦 ∧ 𝐡 < 𝑦)))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦 ∧ 𝐡 < 𝑦)))
128122, 127mpbirand 706 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ 𝐡 < 𝑦))
1296ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
130129biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦)))
131124biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 𝑦 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
132128, 130, 1313bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
133125rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
134 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦)))
136 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
137133, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
138132, 135, 1373bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
13996eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
140139ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
14143eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
142141ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
143138, 140, 1423bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦)))
144143pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
145 elpreima 7060 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
146102, 103, 1453syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
147146ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
148 elpreima 7060 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
1492, 53, 1483syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
150149ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
151144, 147, 1503bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
152151alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
153 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯(-∞(,)𝑦)
154111, 153nfima 6068 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦))
15564, 153nfima 6068 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))
156154, 155cleqf 2935 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
157152, 156sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)))
158 mbfima 25147 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1593, 102, 158syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
160159ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
161157, 160eqeltrrd 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
162 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ≀ 0)
163 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
164163le0neg1d 11785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ 0 ↔ 0 ≀ -𝑦))
165162, 164mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ -𝑦)
166165biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝐡 ≀ -𝑦 ↔ (0 ≀ -𝑦 ∧ -𝐡 ≀ -𝑦)))
1671ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
168163, 167lenegd 11793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ -𝐡 ≀ -𝑦))
169 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
170167renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
171163renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
172 maxle 13170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ (0 ≀ -𝑦 ∧ -𝐡 ≀ -𝑦)))
173169, 170, 171, 172syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ (0 ≀ -𝑦 ∧ -𝐡 ≀ -𝑦)))
174166, 168, 1733bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
175174notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ 𝐡))
17623ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
177171, 176ltnled 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ↔ Β¬ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦))
178167, 163ltnled 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ 𝐡))
179175, 177, 1783bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ↔ 𝐡 < 𝑦))
180176biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
181167biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 𝑦 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
182179, 180, 1813bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
183171rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
184 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
185183, 184syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
186163rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
187186, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
188182, 185, 1873bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
18938eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
190189ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
191141ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
192188, 190, 1913bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦)))
193192pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
194 elpreima 7060 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
19548, 49, 1943syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
196195ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
197149ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
198193, 196, 1973bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
199198alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
200 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯(-𝑦(,)+∞)
20160, 200nfima 6068 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞))
202201, 155cleqf 2935 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
203199, 202sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)))
204 mbfima 25147 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
20569, 48, 204syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
206205ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
207203, 206eqeltrrd 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
208161, 207, 120, 119ltlecasei 11322 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
2092, 7, 121, 208ismbf2d 25157 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445  (,)cioo 13324  volcvol 24980  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  mbfposb  25170
  Copyright terms: Public domain W3C validator