MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposr 25032
Description: Converse to mbfpos 25031. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfposr.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
mbfposr.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposr (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
21fmpttd 7068 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
3 mbfposr.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
4 0re 11164 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 ifcl 4536 . . . 4 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
73, 6mbfdm2 25017 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
8 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 < 0)
9 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
109lt0neg1d 11731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 0 ↔ 0 < -𝑦))
118, 10mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 < -𝑦)
1211biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝐡 < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐡 < -𝑦)))
131ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
149, 13ltnegd 11740 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ -𝐡 < -𝑦))
15 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
1613renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
179renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
18 maxlt 13119 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐡 < -𝑦)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐡 < -𝑦)))
2012, 14, 193bitr4rd 312 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ 𝑦 < 𝐡))
211renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
22 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
2321, 4, 22sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
2423ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
2524biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦 ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦)))
2613biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2720, 25, 263bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
2817rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
29 elioomnf 13368 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) < -𝑦)))
319rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
32 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
3427, 30, 333bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
3736fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
3835, 23, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
3938eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
4039ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4241fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
4335, 1, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
4443eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4544ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4634, 40, 453bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
4746pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
4823fmpttd 7068 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„)
49 ffn 6673 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) Fn 𝐴)
50 elpreima 7013 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5251ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
53 ffn 6673 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴)
54 elpreima 7013 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
552, 53, 543syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5655ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5747, 52, 563bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
5857alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
59 nfmpt1 5218 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
6059nfcnv 5839 . . . . . . 7 β„²π‘₯β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
61 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯(-∞(,)-𝑦)
6260, 61nfima 6026 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦))
63 nfmpt1 5218 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
6463nfcnv 5839 . . . . . . 7 β„²π‘₯β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
65 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑦(,)+∞)
6664, 65nfima 6026 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))
6762, 66cleqf 2939 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
6858, 67sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)))
69 mbfposr.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
70 mbfima 25010 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7169, 48, 70syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7271ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrrd 2839 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝑦)
75 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
761ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
77 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
78 maxle 13117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ (0 ≀ 𝑦 ∧ 𝐡 ≀ 𝑦)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ (0 ≀ 𝑦 ∧ 𝐡 ≀ 𝑦)))
8074, 79mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
8180notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 𝑦))
8276, 4, 5sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
8377, 82ltnled 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ Β¬ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ≀ 𝑦))
8477, 76ltnled 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 𝑦))
8581, 83, 843bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ 𝑦 < 𝐡))
8682biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
8776biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝐡 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8885, 86, 873bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8977rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
9289, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐡)))
9388, 91, 923bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
94 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
9594fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
9635, 6, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
9796eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
9897ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
9944ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (𝑦(,)+∞)))
10093, 98, 993bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
101100pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
1026fmpttd 7068 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„)
103 ffn 6673 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) Fn 𝐴)
104 elpreima 7013 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
106105ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
10755ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
108101, 106, 1073bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
109108alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
110 nfmpt1 5218 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
111110nfcnv 5839 . . . . . . 7 β„²π‘₯β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
112111, 65nfima 6026 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞))
113112, 66cleqf 2939 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞))))
114109, 113sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)))
115 mbfima 25010 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
1163, 102, 115syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
117116ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
118114, 117eqeltrrd 2839 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≀ 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
119 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
120 0red 11165 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
12173, 118, 119, 120ltlecasei 11270 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
122 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 < 𝑦)
123 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
1241ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
125 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
126 maxlt 13119 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦 ∧ 𝐡 < 𝑦)))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦 ∧ 𝐡 < 𝑦)))
128122, 127mpbirand 706 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ 𝐡 < 𝑦))
1296ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
130129biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦 ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦)))
131124biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 𝑦 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
132128, 130, 1313bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
133125rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
134 elioomnf 13368 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) < 𝑦)))
136 elioomnf 13368 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
137133, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
138132, 135, 1373bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
13996eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
140139ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
14143eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
142141ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
143138, 140, 1423bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦)))
144143pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
145 elpreima 7013 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
146102, 103, 1453syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
147146ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
148 elpreima 7013 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
1492, 53, 1483syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
150149ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
151144, 147, 1503bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
152151alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
153 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯(-∞(,)𝑦)
154111, 153nfima 6026 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦))
15564, 153nfima 6026 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))
156154, 155cleqf 2939 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
157152, 156sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)))
158 mbfima 25010 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1593, 102, 158syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
160159ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
161157, 160eqeltrrd 2839 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
162 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ≀ 0)
163 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
164163le0neg1d 11733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ 0 ↔ 0 ≀ -𝑦))
165162, 164mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ -𝑦)
166165biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝐡 ≀ -𝑦 ↔ (0 ≀ -𝑦 ∧ -𝐡 ≀ -𝑦)))
1671ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
168163, 167lenegd 11741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ -𝐡 ≀ -𝑦))
169 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
170167renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
171163renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
172 maxle 13117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ (0 ≀ -𝑦 ∧ -𝐡 ≀ -𝑦)))
173169, 170, 171, 172syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ (0 ≀ -𝑦 ∧ -𝐡 ≀ -𝑦)))
174166, 168, 1733bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
175174notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ 𝐡))
17623ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
177171, 176ltnled 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ↔ Β¬ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ≀ -𝑦))
178167, 163ltnled 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ 𝐡))
179175, 177, 1783bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ↔ 𝐡 < 𝑦))
180176biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
181167biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 𝑦 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
182179, 180, 1813bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
183171rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
184 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
185183, 184syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
186163rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
187186, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 𝑦)))
188182, 185, 1873bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
18938eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
190189ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
191141ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐡 ∈ (-∞(,)𝑦)))
192188, 190, 1913bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦)))
193192pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
194 elpreima 7013 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
19548, 49, 1943syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
196195ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))β€˜π‘₯) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
197149ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝑦))))
198193, 196, 1973bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
199198alrimiv 1931 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
200 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯(-𝑦(,)+∞)
20160, 200nfima 6026 . . . . . 6 β„²π‘₯(β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞))
202201, 155cleqf 2939 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦))))
203199, 202sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)))
204 mbfima 25010 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
20569, 48, 204syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
206205ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) β€œ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
207203, 206eqeltrrd 2839 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≀ 0) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
208161, 207, 120, 119ltlecasei 11270 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
2092, 7, 121, 208ismbf2d 25020 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  -cneg 11393  (,)cioo 13271  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfposb  25033
  Copyright terms: Public domain W3C validator