MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposr 25016
Description: Converse to mbfpos 25015. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfposr.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
mbfposr.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposr (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21fmpttd 7063 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
3 mbfposr.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
4 0re 11157 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 ifcl 4531 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
73, 6mbfdm2 25001 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 < 0)
9 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
109lt0neg1d 11724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 0 ↔ 0 < -𝑦))
118, 10mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < -𝑦)
1211biantrurd 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
131ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
149, 13ltnegd 11733 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑦))
15 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
1613renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
179renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
18 maxlt 13112 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2012, 14, 193bitr4rd 311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦𝑦 < 𝐵))
211renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
22 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2321, 4, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2423ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2524biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
2613biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
2720, 25, 263bitr3d 308 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
2817rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
29 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
319rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
32 elioopnf 13360 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3427, 30, 333bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3736fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3835, 23, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3938eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
4039ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
4241fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4335, 1, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4443eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4544ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4634, 40, 453bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
4746pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
4823fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
49 ffn 6668 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴)
50 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5251ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
53 ffn 6668 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
54 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
552, 53, 543syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5655ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5747, 52, 563bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
5857alrimiv 1930 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
59 nfmpt1 5213 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
6059nfcnv 5834 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
61 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)-𝑦)
6260, 61nfima 6021 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦))
63 nfmpt1 5213 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
6463nfcnv 5834 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
65 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥(𝑦(,)+∞)
6664, 65nfima 6021 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))
6762, 66cleqf 2938 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
6858, 67sylibr 233 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
69 mbfposr.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
70 mbfima 24994 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7169, 48, 70syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7271ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
75 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
761ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
77 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
78 maxle 13110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8074, 79mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
8180notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8276, 4, 5sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
8377, 82ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦))
8477, 76ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8581, 83, 843bitr4d 310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ 𝑦 < 𝐵))
8682biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
8776biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
8885, 86, 873bitr3d 308 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
8977rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 13360 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9289, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9388, 91, 923bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
94 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9594fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9635, 6, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9796eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
9897ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
9944ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
10093, 98, 993bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
101100pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
1026fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
103 ffn 6668 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴)
104 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
106105ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
10755ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
108101, 106, 1073bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
109108alrimiv 1930 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
110 nfmpt1 5213 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
111110nfcnv 5834 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
112111, 65nfima 6021 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞))
113112, 66cleqf 2938 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
114109, 113sylibr 233 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
115 mbfima 24994 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
1163, 102, 115syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
117116ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
118114, 117eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
119 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
120 0red 11158 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
12173, 118, 119, 120ltlecasei 11263 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
122 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
123 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
1241ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
125 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
126 maxlt 13112 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
128122, 127mpbirand 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦𝐵 < 𝑦))
1296ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
130129biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
131124biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
132128, 130, 1313bitr3d 308 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
133125rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
134 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
136 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
137133, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
138132, 135, 1373bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
13996eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
140139ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
14143eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
142141ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
143138, 140, 1423bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
144143pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
145 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
146102, 103, 1453syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
147146ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
148 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
1492, 53, 1483syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
150149ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
151144, 147, 1503bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
152151alrimiv 1930 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
153 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)𝑦)
154111, 153nfima 6021 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦))
15564, 153nfima 6021 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))
156154, 155cleqf 2938 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
157152, 156sylibr 233 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
158 mbfima 24994 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1593, 102, 158syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
160159ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
161157, 160eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
162 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ≤ 0)
163 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
164163le0neg1d 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑦))
165162, 164mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ -𝑦)
166165biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
1671ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
168163, 167lenegd 11734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
169 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
170167renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
171163renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
172 maxle 13110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
173169, 170, 171, 172syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
174166, 168, 1733bitr4rd 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦𝑦𝐵))
175174notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
17623ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
177171, 176ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦))
178167, 163ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
179175, 177, 1783bitr4d 310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ 𝐵 < 𝑦))
180176biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
181167biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
182179, 180, 1813bitr3d 308 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
183171rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
184 elioopnf 13360 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
185183, 184syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
186163rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
187186, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
188182, 185, 1873bitr4d 310 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
18938eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
190189ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
191141ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
192188, 190, 1913bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
193192pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
194 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
19548, 49, 1943syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
196195ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
197149ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
198193, 196, 1973bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
199198alrimiv 1930 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
200 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥(-𝑦(,)+∞)
20160, 200nfima 6021 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞))
202201, 155cleqf 2938 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
203199, 202sylibr 233 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
204 mbfima 24994 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
20569, 48, 204syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
206205ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
207203, 206eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
208161, 207, 120, 119ltlecasei 11263 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
2092, 7, 121, 208ismbf2d 25004 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386  (,)cioo 13264  volcvol 24827  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  mbfposb  25017
  Copyright terms: Public domain W3C validator