Theorem ltnri 11318

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnri	⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem ltnri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltnr 11304	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ℝcr 11098   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  lt0ne0d  11778  prodgt0  12061  elnnnn0b  12547  0nrp  13052  geolim  15923  geolim2  15924  georeclim  15925  geoisum1c  15933  0ringnnzr  20608  dscopn  24698  logcnlem3  26774  jensen  27118  gausslemma2dlem0i  27493  2sqreultblem  27577  2sqreunnltblem  27580  ostth  27768  tgcgr4  28765  clwwlkn0  30319  konigsberg  30548  expgt0b  33101  fldext2chn  34062  signswch  34892  signlem0  34918  poimirlem32  38190  oexpreposd  42972  pell1qrgaplem  43491  relexp01min  44330  rexanuz2nf  46097  sbgoldbaltlem1  48432  ex-gt  50390