Theorem ltnri 11343

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnri	⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem ltnri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltnr 11329	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123   < clt 11267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  lt0ne0d  11803  prodgt0  12086  elnnnn0b  12572  0nrp  13079  geolim  15959  geolim2  15960  georeclim  15961  geoisum1c  15969  0ringnnzr  20686  dscopn  24799  logcnlem3  26881  jensen  27225  gausslemma2dlem0i  27600  2sqreultblem  27684  2sqreunnltblem  27687  ostth  27875  tgcgr4  28873  clwwlkn0  30498  konigsberg  30737  expgt0b  33287  fldext2chn  34238  signswch  35069  signlem0  35095  poimirlem32  38401  oexpreposd  43197  pell1qrgaplem  43714  relexp01min  44553  rexanuz2nf  46320  sbgoldbaltlem1  48695  ex-gt  50654