Theorem ltnri 11412

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnri	⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem ltnri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltnr 11398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  lt0ne0d  11874  prodgt0  12157  elnnnn0b  12643  0nrp  13150  geolim  16032  geolim2  16033  georeclim  16034  geoisum1c  16042  0ringnnzr  20769  dscopn  24885  logcnlem3  26965  jensen  27309  gausslemma2dlem0i  27684  2sqreultblem  27768  2sqreunnltblem  27771  ostth  27959  tgcgr4  28987  clwwlkn0  30612  konigsberg  30851  expgt0b  33401  fldext2chn  34353  signswch  35183  signlem0  35209  poimirlem32  38550  oexpreposd  43359  pell1qrgaplem  43859  relexp01min  44698  rexanuz2nf  46471  sbgoldbaltlem1  48846  ex-gt  50790