Theorem sinltx 16147

Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltx	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem sinltx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resincld 16101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
4		1red 11136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
5		sinbnd 16138	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
6	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	3, 4, 2, 8, 9	lelttrd 11295	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
11		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
12		0xr 11183	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
13		1re 11135	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		elioc2 13353	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
15	12, 13, 14	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
16		elrp 12935	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
17	16	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
18	11, 15, 17	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		sin01bnd 16143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
20	19	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
21	18, 20	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
22		1red 11136	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
23	10, 21, 22, 1	ltlecasei 11245	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  3c3 12228  ℝ⁺crp 12933  (,]cioc 13290  ↑cexp 14014  sincsin 16019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026

This theorem is referenced by:  pigt3  26495  basellem8  27065