Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinltx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinltx 15533
 Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinltx (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem sinltx
StepHypRef Expression
1 rpre 12385 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32resincld 15487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
4 1red 10631 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
5 sinbnd 15524 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
65simprd 499 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
87adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
9 simpr 488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
103, 4, 2, 8, 9lelttrd 10787 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
11 df-3an 1086 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
12 0xr 10677 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
13 1re 10630 . . . . 5 1 ∈ ℝ
14 elioc2 12788 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
16 elrp 12379 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1716anbi1i 626 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
1811, 15, 173bitr4i 306 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1))
19 sin01bnd 15529 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
2019simprd 499 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
2118, 20sylbir 238 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
22 1red 10631 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
2310, 21, 22, 1ltlecasei 10737 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  3c3 11681  ℝ+crp 12377  (,]cioc 12727  ↑cexp 13425  sincsin 15408 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415 This theorem is referenced by:  pigt3  25108  basellem8  25671
 Copyright terms: Public domain W3C validator