Theorem sinltx 16363

Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltx	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem sinltx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resincld 16317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
4		1red 11313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
5		sinbnd 16354	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
6	5	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	3, 4, 2, 8, 9	lelttrd 11472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
11		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
12		0xr 11360	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
13		1re 11312	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		elioc2 13544	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
16		elrp 13126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
17	16	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
18	11, 15, 17	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		sin01bnd 16359	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
20	19	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
21	18, 20	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
22		1red 11313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
23	10, 21, 22, 1	ltlecasei 11422	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   -cneg 11546   / cdiv 11977  3c3 12402  ℝ⁺crp 13124  (,]cioc 13481  ↑cexp 14208  sincsin 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242

This theorem is used by:  pigt3  26852  basellem8  27421