Theorem sinltx 16337

Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltx	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem sinltx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resincld 16291	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
4		1red 11290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
5		sinbnd 16328	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
6	5	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	3, 4, 2, 8, 9	lelttrd 11449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
11		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
12		0xr 11337	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
13		1re 11289	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		elioc2 13521	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
16		elrp 13103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
17	16	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
18	11, 15, 17	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		sin01bnd 16333	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
20	19	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
21	18, 20	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
22		1red 11290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
23	10, 21, 22, 1	ltlecasei 11399	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954  3c3 12379  ℝ⁺crp 13101  (,]cioc 13458  ↑cexp 14184  sincsin 16209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216

This theorem is used by:  pigt3  26828  basellem8  27397