MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinltx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinltx 16078
Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinltx (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)

Proof of Theorem sinltx
StepHypRef Expression
1 rpre 12930 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32resincld 16032 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4 1red 11163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 sinbnd 16069 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) ≀ 1))
65simprd 497 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) ≀ 1)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (sinβ€˜π΄) ≀ 1)
87adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) β†’ (sinβ€˜π΄) ≀ 1)
9 simpr 486 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) β†’ 1 < 𝐴)
103, 4, 2, 8, 9lelttrd 11320 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) β†’ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)
11 df-3an 1090 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≀ 1))
12 0xr 11209 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
13 1re 11162 . . . . 5 1 ∈ ℝ
14 elioc2 13334 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
16 elrp 12924 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1716anbi1i 625 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≀ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≀ 1))
1811, 15, 173bitr4i 303 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≀ 1))
19 sin01bnd 16074 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
2019simprd 497 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)
2118, 20sylbir 234 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)
22 1red 11163 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ)
2310, 21, 22, 1ltlecasei 11270 1 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  3c3 12216  β„+crp 12922  (,]cioc 13272  β†‘cexp 13974  sincsin 15953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  pigt3  25890  basellem8  26453
  Copyright terms: Public domain W3C validator