Theorem sinltx 16119

Description: The sine of a positive real number is less than its argument. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltx	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem sinltx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12969	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resincld 16073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
4		1red 11202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
5		sinbnd 16110	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
6	5	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
8	7	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
9		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	3, 4, 2, 8, 9	lelttrd 11359	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
11		df-3an 1090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
12		0xr 11248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
13		1re 11201	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		elioc2 13374	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
15	12, 13, 14	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
16		elrp 12963	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
17	16	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1))
18	11, 15, 17	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		sin01bnd 16115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
20	19	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
21	18, 20	sylbir 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
22		1red 11202	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
23	10, 21, 22, 1	ltlecasei 11309	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℝcr 11096  0cc0 11097  1c1 11098  ℝ^*cxr 11234   < clt 11235   ≤ cle 11236   − cmin 11431  -cneg 11432   / cdiv 11858  3c3 12255  ℝ⁺crp 12961  (,]cioc 13312  ↑cexp 14014  sincsin 15994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-ioc 13316  df-ico 13317  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001

This theorem is referenced by:  pigt3  25996  basellem8  26559