Theorem ltrnldil 40568

Description: A lattice translation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnldil.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnldil.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
ltrnldil.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnldil	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ltrnldil

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		ltrnldil.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnldil.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
7		ltrnldil.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isltrn 40565	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝐹‘𝑝))(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑞(join‘𝐾)(𝐹‘𝑞))(meet‘𝐾)𝑊)))))
9	8	simprbda 498	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  lecple 17227  joincjn 18277  meetcmee 18278  Atomscatm 39709  LHypclh 40430  LDilcldil 40546  LTrncltrn 40547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-ltrn 40551

This theorem is referenced by:  ltrnlaut  40569  ltrnval1  40580  ltrncnv  40592  ltrnco  41165