Theorem ltrnldil 39296

Description: A lattice translation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnldil.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnldil.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
ltrnldil.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnldil	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ltrnldil

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		ltrnldil.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnldil.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
7		ltrnldil.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isltrn 39293	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝐹‘𝑝))(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑞(join‘𝐾)(𝐹‘𝑞))(meet‘𝐾)𝑊)))))
9	8	simprbda 499	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  LHypclh 39158  LDilcldil 39274  LTrncltrn 39275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-ltrn 39279

This theorem is referenced by:  ltrnlaut  39297  ltrnval1  39308  ltrncnv  39320  ltrnco  39893