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Theorem ltrncnv 38659
Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncnv.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrncnv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncnv (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem ltrncnv
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrncnv.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . 4 ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 ltrncnv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3ltrnldil 38635 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
51, 2ldilcnv 38628 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
64, 5syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
7 simp1 1137 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇))
8 simp1l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp1r 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
10 simp2l 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
11 simp3l 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1412, 13, 1, 3ltrncnvel 38655 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
158, 9, 10, 11, 14syl112anc 1375 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
16 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
17 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1812, 13, 1, 3ltrncnvel 38655 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘ž)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
198, 9, 16, 17, 18syl112anc 1375 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘ž)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
2212, 20, 21, 13, 1, 3ltrnu 38634 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘ž)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
237, 15, 19, 22syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 1, 3ltrn1o 38637 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
2724, 13atbase 37801 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2810, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
29 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑝)
3026, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑝)
3130oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)𝑝))
32 simp1ll 1237 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3312, 13, 1, 3ltrncnvat 38654 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
348, 9, 10, 33syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3520, 13hlatjcom 37880 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘)))
3632, 34, 10, 35syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘)))
3731, 36eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘)))
3837oveq1d 7376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
3924, 13atbase 37801 . . . . . . . . . 10 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
41 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)) = π‘ž)
4226, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)) = π‘ž)
4342oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž))) = ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
4412, 13, 1, 3ltrncnvat 38654 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
458, 9, 16, 44syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
4620, 13hlatjcom 37880 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))
4732, 45, 16, 46syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))
4843, 47eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž))) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))
4948oveq1d 7376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
5023, 38, 493eqtr3d 2781 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
51503exp 1120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5251ralrimivv 3192 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
5312, 20, 21, 13, 1, 2, 3isltrn 38632 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (◑𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
5453adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
556, 52, 54mpbir2and 712 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  joincjn 18208  meetcmee 18209  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LDilcldil 38613  LTrncltrn 38614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-p0 18322  df-lat 18329  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618
This theorem is referenced by:  trlcnv  38678  trlcocnv  39233  trlcoabs2N  39235  trlcoat  39236  trlcocnvat  39237  trlcone  39241  cdlemg46  39248  tgrpgrplem  39262  tendoicl  39309  cdlemh1  39328  cdlemh2  39329  cdlemh  39330  cdlemi2  39332  cdlemi  39333  cdlemk2  39345  cdlemk3  39346  cdlemk4  39347  cdlemk8  39351  cdlemk9  39352  cdlemk9bN  39353  cdlemkvcl  39355  cdlemk10  39356  cdlemk11  39362  cdlemk12  39363  cdlemk14  39367  cdlemk11u  39384  cdlemk12u  39385  cdlemk37  39427  cdlemkfid1N  39434  cdlemkid1  39435  cdlemkid2  39437  tendocnv  39534  tendospcanN  39536  dvhgrp  39620  cdlemn8  39717  dihopelvalcpre  39761  dih1  39799  dihglbcpreN  39813  dihjatcclem3  39933  dihjatcclem4  39934
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