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Theorem ltrncnv 39320
Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncnv.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrncnv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncnv (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem ltrncnv
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrncnv.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2730 . . . 4 ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 ltrncnv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3ltrnldil 39296 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
51, 2ldilcnv 39289 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
64, 5syldan 589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
7 simp1 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇))
8 simp1l 1195 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp1r 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
10 simp2l 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
11 simp3l 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
12 eqid 2730 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1412, 13, 1, 3ltrncnvel 39316 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
158, 9, 10, 11, 14syl112anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
16 simp2r 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
17 simp3r 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1812, 13, 1, 3ltrncnvel 39316 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘ž)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
198, 9, 16, 17, 18syl112anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘ž)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
20 eqid 2730 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
21 eqid 2730 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
2212, 20, 21, 13, 1, 3ltrnu 39295 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘ž)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
237, 15, 19, 22syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
24 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 1, 3ltrn1o 39298 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
26253ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
2724, 13atbase 38462 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2810, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
29 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑝)
3026, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑝)
3130oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)𝑝))
32 simp1ll 1234 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3312, 13, 1, 3ltrncnvat 39315 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
348, 9, 10, 33syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3520, 13hlatjcom 38541 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘)))
3632, 34, 10, 35syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘)))
3731, 36eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘)))
3837oveq1d 7426 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
3924, 13atbase 38462 . . . . . . . . . 10 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
41 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)) = π‘ž)
4226, 40, 41syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)) = π‘ž)
4342oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž))) = ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
4412, 13, 1, 3ltrncnvat 39315 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
458, 9, 16, 44syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
4620, 13hlatjcom 38541 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))
4732, 45, 16, 46syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))
4843, 47eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž))) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))
4948oveq1d 7426 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘ž)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ž)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
5023, 38, 493eqtr3d 2778 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
51503exp 1117 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5251ralrimivv 3196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
5312, 20, 21, 13, 1, 2, 3isltrn 39293 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (◑𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
5453adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (◑𝐹 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
556, 52, 54mpbir2and 709 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LDilcldil 39274  LTrncltrn 39275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-p0 18382  df-lat 18389  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279
This theorem is referenced by:  trlcnv  39339  trlcocnv  39894  trlcoabs2N  39896  trlcoat  39897  trlcocnvat  39898  trlcone  39902  cdlemg46  39909  tgrpgrplem  39923  tendoicl  39970  cdlemh1  39989  cdlemh2  39990  cdlemh  39991  cdlemi2  39993  cdlemi  39994  cdlemk2  40006  cdlemk3  40007  cdlemk4  40008  cdlemk8  40012  cdlemk9  40013  cdlemk9bN  40014  cdlemkvcl  40016  cdlemk10  40017  cdlemk11  40023  cdlemk12  40024  cdlemk14  40028  cdlemk11u  40045  cdlemk12u  40046  cdlemk37  40088  cdlemkfid1N  40095  cdlemkid1  40096  cdlemkid2  40098  tendocnv  40195  tendospcanN  40197  dvhgrp  40281  cdlemn8  40378  dihopelvalcpre  40422  dih1  40460  dihglbcpreN  40474  dihjatcclem3  40594  dihjatcclem4  40595
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