Theorem isltrn 41156

Description: The predicate "is a lattice translation". Similar to definition of translation in [Crawley] p. 111. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnset.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnset.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ltrnset.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
ltrnset.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnset.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
ltrnset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isltrn	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊)))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞   𝐹,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞, 𝑝)   𝐷(𝑞, 𝑝)   𝑇(𝑞, 𝑝)   𝐻(𝑞, 𝑝)   ∨ (𝑞, 𝑝)   ≤ (𝑞, 𝑝)   ∧ (𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem isltrn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnset.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrnset.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		ltrnset.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		ltrnset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		ltrnset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnset.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
7		ltrnset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ltrnset 41155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = {𝑓 ∈ 𝐷 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊))})
9	8	eleq2d 2847	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ 𝐷 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊))}))
10		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑝) = (𝐹‘𝑝))
11	10	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) = (𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)))
12	11	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊))
13		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑞) = (𝐹‘𝑞))
14	13	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) = (𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)))
15	14	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊))
16	12, 15	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊) ↔ ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊)))
17	16	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊)) ↔ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊))))
18	17	2ralbidv 3227	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊))))
19	18	elrab 3645	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ 𝐷 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝑓‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝑓‘𝑞)) ∧ 𝑊))} ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊))))
20	9, 19	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ∀𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) → ((𝑝 ∨ (𝐹‘𝑝)) ∧ 𝑊) = ((𝑞 ∨ (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑊)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  lecple 17428  joincjn 18478  meetcmee 18479  Atomscatm 40300  LHypclh 41021  LDilcldil 41137  LTrncltrn 41138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-ltrn 41142

This theorem is used by:  isltrn2N  41157  ltrnu  41158  ltrnldil  41159  ltrncnv  41183  idltrn  41187  cdleme50ltrn  41594  ltrnco  41756