Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnval1 40136
Description: Value of a lattice translation under its co-atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnval1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnval1.l = (le‘𝐾)
ltrnval1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnval1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnval1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ltrnval1
StepHypRef Expression
1 ltrnval1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2737 . . . 4 ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3 ltrnval1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrnldil 40124 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
543adant3 1133 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
6 ltrnval1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 ltrnval1.l . . 3 = (le‘𝐾)
86, 7, 1, 2ldilval 40115 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑋)
95, 8syld3an2 1413 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LHypclh 39986  LDilcldil 40102  LTrncltrn 40103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ldil 40106  df-ltrn 40107
This theorem is referenced by:  ltrnid  40137  ltrnatb  40139  ltrnel  40141  ltrncnvel  40144  ltrneq  40151  cdlemc2  40194  cdlemd2  40201  cdlemg7N  40628
  Copyright terms: Public domain W3C validator