Theorem ltrnval1 38075

Description: Value of a lattice translation under its co-atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnval1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnval1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnval1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnval1	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ltrnval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnval1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3		ltrnval1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrnldil 38063	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5	4	3adant3 1130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
6		ltrnval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		ltrnval1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7, 1, 2	ldilval 38054	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
9	5, 8	syld3an2 1409	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  LHypclh 37925  LDilcldil 38041  LTrncltrn 38042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-ldil 38045  df-ltrn 38046

This theorem is referenced by:  ltrnid  38076  ltrnatb  38078  ltrnel  38080  ltrncnvel  38083  ltrneq  38090  cdlemc2  38133  cdlemd2  38140  cdlemg7N  38567