Theorem ltrnval1 41192

Description: Value of a lattice translation under its co-atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnval1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnval1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnval1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnval1	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ltrnval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnval1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3		ltrnval1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrnldil 41180	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
6		ltrnval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		ltrnval1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7, 1, 2	ldilval 41171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
9	5, 8	syld3an2 1438	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  LHypclh 41042  LDilcldil 41158  LTrncltrn 41159

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-ldil 41162  df-ltrn 41163

This theorem is used by:  ltrnid  41193  ltrnatb  41195  ltrnel  41197  ltrncnvel  41200  ltrneq  41207  cdlemc2  41250  cdlemd2  41257  cdlemg7N  41684