Theorem fzosumm1 42827

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzosumm1.1	⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fzosumm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fzosumm1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
fzosumm1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzosumm1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fzosumm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosumm1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzosumm1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzoval 13659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
6	5	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
7	6	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
8		fzosumm1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		fzosumm1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
11	1, 9, 10	fsumm1 15769	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
12	4	sumeq1d 15718	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
13		eluzelz 12843	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14		fzoval 13659	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
15	1, 13, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
16	15	sumeq1d 15718	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴)
17	16	oveq1d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
18	11, 12, 17	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653  Σcsu 15704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705

This theorem is referenced by:  fltnltalem  43205