Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzosumm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosumm1 39931
Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fzosumm1.1 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
fzosumm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fzosumm1.3 (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
fzosumm1.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
fzosumm1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fzosumm1
StepHypRef Expression
1 fzosumm1.1 . . 3 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2 fzosumm1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 fzoval 13244 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
54eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
65eleq2d 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
76biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
8 fzosumm1.2 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8syldan 594 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 fzosumm1.3 . . 3 (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
111, 9, 10fsumm1 15315 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
124sumeq1d 15265 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
13 eluzelz 12448 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14 fzoval 13244 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
151, 13, 143syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
1615sumeq1d 15265 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴)
1716oveq1d 7228 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
1811, 12, 173eqtr4d 2787 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  1c1 10730   + caddc 10732  cmin 11062  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  Σcsu 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250
This theorem is referenced by:  fltnltalem  40202
  Copyright terms: Public domain W3C validator