Theorem fzosumm1 42901

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzosumm1.1	⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fzosumm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fzosumm1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
fzosumm1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzosumm1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fzosumm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosumm1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzosumm1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzoval 13684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
6	5	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
7	6	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
8		fzosumm1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		fzosumm1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
11	1, 9, 10	fsumm1 15798	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
12	4	sumeq1d 15747	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
13		eluzelz 12868	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14		fzoval 13684	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
15	1, 13, 14	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
16	15	sumeq1d 15747	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴)
17	16	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
18	11, 12, 17	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  ..^cfzo 13678  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  fltnltalem  43279