Theorem fzosumm1 42371

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzosumm1.1	⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fzosumm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fzosumm1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
fzosumm1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzosumm1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fzosumm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosumm1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzosumm1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzoval 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
6	5	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
7	6	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
8		fzosumm1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		fzosumm1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
11	1, 9, 10	fsumm1 15662	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
12	4	sumeq1d 15611	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
13		eluzelz 12750	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14		fzoval 13564	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
15	1, 13, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
16	15	sumeq1d 15611	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴)
17	16	oveq1d 7369	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
18	11, 12, 17	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  1c1 11016   + caddc 11018   − cmin 11353  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740  ...cfz 13411  ..^cfzo 13558  Σcsu 15597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-sum 15598

This theorem is referenced by:  fltnltalem  42783