Theorem fzosumm1 41527

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzosumm1.1	⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fzosumm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fzosumm1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
fzosumm1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzosumm1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fzosumm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosumm1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzosumm1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzoval 13629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	eqcomd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
6	5	eleq2d 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
7	6	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
8		fzosumm1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		fzosumm1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → 𝐴 = 𝐵)
11	1, 9, 10	fsumm1 15693	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
12	4	sumeq1d 15643	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
13		eluzelz 12828	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14		fzoval 13629	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
15	1, 13, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^(𝑁 − 1)) = (𝑀...((𝑁 − 1) − 1)))
16	15	sumeq1d 15643	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴)
17	16	oveq1d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
18	11, 12, 17	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  1c1 11106   + caddc 11108   − cmin 11440  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  fltnltalem  41859