Theorem mapfvd 8935

Description: The value of a function that maps from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfvd.m	⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
mapfvd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
mapfvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfvd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfvd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
2		mapfvd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elmapi 8897	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
4		ffvelcdm 7105	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)
5	4	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
6	2, 3, 5	syl2imc 42	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
7		mapfvd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
8	6, 7	eleq2s 2882	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-map 8877

This theorem is used by:  fsuppind  43811  1arympt1  49955  rrx2pxel  50028  rrx2pyel  50029