Theorem mapfvd 8824

Description: The value of a function that maps from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfvd.m	⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
mapfvd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
mapfvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfvd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfvd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
2		mapfvd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elmapi 8793	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
4		ffvelcdm 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)
5	4	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
6	2, 3, 5	syl2imc 41	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
7		mapfvd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
8	6, 7	eleq2s 2858	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-map 8772

This theorem is referenced by:  fsuppind  43047  1arympt1  49136  rrx2pxel  49209  rrx2pyel  49210