Theorem mapfvd 8891

Description: The value of a function that maps from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfvd.m	⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
mapfvd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
mapfvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfvd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfvd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
2		mapfvd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elmapi 8853	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
4		ffvelcdm 7073	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)
5	4	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
6	2, 3, 5	syl2imc 42	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
7		mapfvd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
8	6, 7	eleq2s 2879	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833

This theorem is used by:  fsuppind  43580  1arympt1  49694  rrx2pxel  49767  rrx2pyel  49768