Theorem mapfvd 8667

Description: The value of a function that maps from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfvd.m	⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
mapfvd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
mapfvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfvd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfvd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
2		mapfvd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elmapi 8637	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
4		ffvelrn 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)
5	4	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
6	2, 3, 5	syl2imc 41	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
7		mapfvd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐴 ↑m 𝐵)
8	6, 7	eleq2s 2857	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617

This theorem is referenced by:  fsuppind  40279  1arympt1  45984  rrx2pxel  46057  rrx2pyel  46058