Theorem rrx2pxel 48811

Description: The x-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pxel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		1ex 11108	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	prid1 4712	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2830	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 1 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8803	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cpr 4575  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℝcr 11005  1c1 11007  2c2 12180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  48816  rrx2plord2  48822  ehl2eudisval0  48825  ehl2eudis0lt  48826  rrx2vlinest  48841  rrx2linest  48842  rrx2linest2  48844  2sphere  48849  2sphere0  48850  line2  48852  line2x  48854  line2y  48855  itsclc0  48871  itsclc0b  48872  itsclinecirc0  48873  itsclinecirc0b  48874  itsclinecirc0in  48875  itscnhlinecirc02plem3  48884  itscnhlinecirc02p  48885  inlinecirc02plem  48886  inlinecirc02p  48887