Theorem rrx2pxel 49745

Description: The x-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pxel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 23	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		1ex 11274	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	prid1 4722	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 1 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8885	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4585  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  ℝcr 11170  1c1 11172  2c2 12366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-1cn 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8827

This theorem is used by:  rrx2pnedifcoorneor  49750  rrx2plord2  49756  ehl2eudisval0  49759  ehl2eudis0lt  49760  rrx2vlinest  49775  rrx2linest  49776  rrx2linest2  49778  2sphere  49783  2sphere0  49784  line2  49786  line2x  49788  line2y  49789  itsclc0  49805  itsclc0b  49806  itsclinecirc0  49807  itsclinecirc0b  49808  itsclinecirc0in  49809  itscnhlinecirc02plem3  49818  itscnhlinecirc02p  49819  inlinecirc02plem  49820  inlinecirc02p  49821