Theorem rrx2pxel 46013

Description: The x-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pxel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		1ex 10959	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	prid1 4699	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 1 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8655	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cpr 4564  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268   ↑_m cmap 8603  ℝcr 10858  1c1 10860  2c2 12016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-1cn 10917

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-fv 6435  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-map 8605

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  46018  rrx2plord2  46024  ehl2eudisval0  46027  ehl2eudis0lt  46028  rrx2vlinest  46043  rrx2linest  46044  rrx2linest2  46046  2sphere  46051  2sphere0  46052  line2  46054  line2x  46056  line2y  46057  itsclc0  46073  itsclc0b  46074  itsclinecirc0  46075  itsclinecirc0b  46076  itsclinecirc0in  46077  itscnhlinecirc02plem3  46086  itscnhlinecirc02p  46087  inlinecirc02plem  46088  inlinecirc02p  46089