Theorem rrx2pxel 49100

Description: The x-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pxel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		1ex 11142	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	prid1 4721	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2836	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 1 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8831	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4584  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  ℝcr 11039  1c1 11041  2c2 12214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-1cn 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-map 8779

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  49105  rrx2plord2  49111  ehl2eudisval0  49114  ehl2eudis0lt  49115  rrx2vlinest  49130  rrx2linest  49131  rrx2linest2  49133  2sphere  49138  2sphere0  49139  line2  49141  line2x  49143  line2y  49144  itsclc0  49160  itsclc0b  49161  itsclinecirc0  49162  itsclinecirc0b  49163  itsclinecirc0in  49164  itscnhlinecirc02plem3  49173  itscnhlinecirc02p  49174  inlinecirc02plem  49175  inlinecirc02p  49176