Theorem rrx2pxel 48561

Description: The x-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pxel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		1ex 11255	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	prid1 4767	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 1 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8918	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cpr 4633  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℝcr 11152  1c1 11154  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  48566  rrx2plord2  48572  ehl2eudisval0  48575  ehl2eudis0lt  48576  rrx2vlinest  48591  rrx2linest  48592  rrx2linest2  48594  2sphere  48599  2sphere0  48600  line2  48602  line2x  48604  line2y  48605  itsclc0  48621  itsclc0b  48622  itsclinecirc0  48623  itsclinecirc0b  48624  itsclinecirc0in  48625  itscnhlinecirc02plem3  48634  itscnhlinecirc02p  48635  inlinecirc02plem  48636  inlinecirc02p  48637