Theorem rrx2pyel 49492

Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pyel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 23	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		2ex 12313	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4	3	prid2 4729	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2862	. . 3 ⊢ 2 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8873	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4591  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11094  1c1 11096  2c2 12290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-2 12298

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  49496  rrx2pnedifcoorneorr  49497  ehl2eudisval0  49505  ehl2eudis0lt  49506  rrx2vlinest  49521  rrx2linest  49522  rrx2linest2  49524  2sphere  49529  2sphere0  49530  line2  49532  line2x  49534  line2y  49535  itsclc0  49551  itsclc0b  49552  itsclinecirc0  49553  itsclinecirc0b  49554  itsclinecirc0in  49555  itscnhlinecirc02plem3  49564  itscnhlinecirc02p  49565  inlinecirc02plem  49566  inlinecirc02p  49567