Theorem rrx2pyel 49823

Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pyel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 23	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		2ex 12420	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4	3	prid2 4724	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2860	. . 3 ⊢ 2 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8907	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℝcr 11199  1c1 11201  2c2 12397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-2 12405

This theorem is used by:  rrx2pnedifcoorneor  49827  rrx2pnedifcoorneorr  49828  ehl2eudisval0  49836  ehl2eudis0lt  49837  rrx2vlinest  49852  rrx2linest  49853  rrx2linest2  49855  2sphere  49860  2sphere0  49861  line2  49863  line2x  49865  line2y  49866  itsclc0  49882  itsclc0b  49883  itsclinecirc0  49884  itsclinecirc0b  49885  itsclinecirc0in  49886  itscnhlinecirc02plem3  49895  itscnhlinecirc02p  49896  inlinecirc02plem  49897  inlinecirc02p  49898