Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2pyel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2pyel 45576
Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2px.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx2pyel (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel
StepHypRef Expression
1 rrx2px.b . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . 2 (𝑋𝑃𝑋𝑃)
3 2ex 11786 . . . . 5 2 ∈ V
43prid2 4651 . . . 4 2 ∈ {1, 2}
5 rrx2px.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
64, 5eleqtrri 2832 . . 3 2 ∈ 𝐼
76a1i 11 . 2 (𝑋𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
81, 2, 7mapfvd 8482 1 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  {cpr 4515  cfv 6333  (class class class)co 7164  m cmap 8430  cr 10607  1c1 10609  2c2 11764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-1cn 10666  ax-addcl 10668
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-map 8432  df-2 11772
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  45580  rrx2pnedifcoorneorr  45581  ehl2eudisval0  45589  ehl2eudis0lt  45590  rrx2vlinest  45605  rrx2linest  45606  rrx2linest2  45608  2sphere  45613  2sphere0  45614  line2  45616  line2x  45618  line2y  45619  itsclc0  45635  itsclc0b  45636  itsclinecirc0  45637  itsclinecirc0b  45638  itsclinecirc0in  45639  itscnhlinecirc02plem3  45648  itscnhlinecirc02p  45649  inlinecirc02plem  45650  inlinecirc02p  45651
  Copyright terms: Public domain W3C validator