Theorem rrx2pyel 49642

Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pyel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 23	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		2ex 12342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4	3	prid2 4724	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ 2 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8886	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℝcr 11123  1c1 11125  2c2 12319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828  df-2 12327

This theorem is used by:  rrx2pnedifcoorneor  49646  rrx2pnedifcoorneorr  49647  ehl2eudisval0  49655  ehl2eudis0lt  49656  rrx2vlinest  49671  rrx2linest  49672  rrx2linest2  49674  2sphere  49679  2sphere0  49680  line2  49682  line2x  49684  line2y  49685  itsclc0  49701  itsclc0b  49702  itsclinecirc0  49703  itsclinecirc0b  49704  itsclinecirc0in  49705  itscnhlinecirc02plem3  49714  itscnhlinecirc02p  49715  inlinecirc02plem  49716  inlinecirc02p  49717