Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2pyel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2pyel 44698
Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2px.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx2pyel (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel
StepHypRef Expression
1 rrx2px.b . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . 2 (𝑋𝑃𝑋𝑃)
3 2ex 11713 . . . . 5 2 ∈ V
43prid2 4698 . . . 4 2 ∈ {1, 2}
5 rrx2px.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
64, 5eleqtrri 2912 . . 3 2 ∈ 𝐼
76a1i 11 . 2 (𝑋𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
81, 2, 7mapfvd 8442 1 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  {cpr 4568  cfv 6354  (class class class)co 7155  m cmap 8405  cr 10535  1c1 10537  2c2 11691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-1cn 10594  ax-addcl 10596
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-map 8407  df-2 11699
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  44702  rrx2pnedifcoorneorr  44703  ehl2eudisval0  44711  ehl2eudis0lt  44712  rrx2vlinest  44727  rrx2linest  44728  rrx2linest2  44730  2sphere  44735  2sphere0  44736  line2  44738  line2x  44740  line2y  44741  itsclc0  44757  itsclc0b  44758  itsclinecirc0  44759  itsclinecirc0b  44760  itsclinecirc0in  44761  itscnhlinecirc02plem3  44770  itscnhlinecirc02p  44771  inlinecirc02plem  44772  inlinecirc02p  44773
  Copyright terms: Public domain W3C validator