Theorem rrx2pyel 47678

Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pyel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		2ex 12293	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4	3	prid2 4762	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2826	. . 3 ⊢ 2 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8875	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4625  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8822  ℝcr 11111  1c1 11113  2c2 12271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-2 12279

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  47682  rrx2pnedifcoorneorr  47683  ehl2eudisval0  47691  ehl2eudis0lt  47692  rrx2vlinest  47707  rrx2linest  47708  rrx2linest2  47710  2sphere  47715  2sphere0  47716  line2  47718  line2x  47720  line2y  47721  itsclc0  47737  itsclc0b  47738  itsclinecirc0  47739  itsclinecirc0b  47740  itsclinecirc0in  47741  itscnhlinecirc02plem3  47750  itscnhlinecirc02p  47751  inlinecirc02plem  47752  inlinecirc02p  47753