Theorem rrx2pyel 48717

Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2px.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pyel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2px.b	. 2 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		2ex 12224	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4	3	prid2 4717	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
5		rrx2px.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6	4, 5	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ 2 ∈ 𝐼
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 7	mapfvd 8813	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  ℝcr 11027  1c1 11029  2c2 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8762  df-2 12210

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  48721  rrx2pnedifcoorneorr  48722  ehl2eudisval0  48730  ehl2eudis0lt  48731  rrx2vlinest  48746  rrx2linest  48747  rrx2linest2  48749  2sphere  48754  2sphere0  48755  line2  48757  line2x  48759  line2y  48760  itsclc0  48776  itsclc0b  48777  itsclinecirc0  48778  itsclinecirc0b  48779  itsclinecirc0in  48780  itscnhlinecirc02plem3  48789  itscnhlinecirc02p  48790  inlinecirc02plem  48791  inlinecirc02p  48792