Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2pyel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2pyel 47398
Description: The y-coordinate of a point in a real Euclidean space of dimension 2 is a real number. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2px.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2px.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx2pyel (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rrx2pyel
StepHypRef Expression
1 rrx2px.b . 2 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . 2 (𝑋𝑃𝑋𝑃)
3 2ex 12289 . . . . 5 2 ∈ V
43prid2 4768 . . . 4 2 ∈ {1, 2}
5 rrx2px.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
64, 5eleqtrri 2833 . . 3 2 ∈ 𝐼
76a1i 11 . 2 (𝑋𝑃 → 2 ∈ 𝐼)
81, 2, 7mapfvd 8873 1 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {cpr 4631  cfv 6544  (class class class)co 7409  m cmap 8820  cr 11109  1c1 11111  2c2 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-2 12275
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  47402  rrx2pnedifcoorneorr  47403  ehl2eudisval0  47411  ehl2eudis0lt  47412  rrx2vlinest  47427  rrx2linest  47428  rrx2linest2  47430  2sphere  47435  2sphere0  47436  line2  47438  line2x  47440  line2y  47441  itsclc0  47457  itsclc0b  47458  itsclinecirc0  47459  itsclinecirc0b  47460  itsclinecirc0in  47461  itscnhlinecirc02plem3  47470  itscnhlinecirc02p  47471  inlinecirc02plem  47472  inlinecirc02p  47473
  Copyright terms: Public domain W3C validator